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Über dieses Buch

Welche Art von Gegenständen untersucht die Mathematik und in welchem Sinne existieren diese Gegenstände? Warum dürfen wir die Aussagen der Mathematik zu unserem Wissen zählen und wie lassen sich diese Aussagen rechtfertigen?
Eine Philosophie der Mathematik versucht solche Fragen zu beantworten. In dieser Einführung stellen wir maßgebliche Positionen in der Philosophie der Mathematik vor und formulieren die Essenz dieser Positionen in möglichst einfachen Thesen. Der Leser erfährt, auf welche Philosophen eine Position zurückgeht und in welchem historischen Kontext diese entstand. Ausgehend von Grundintuitionen und wissenschaftlichen Befunden lässt sich für oder gegen eine These in der Philosophie der Mathematik argumentieren. Solche Argumente bilden den zweiten Schwerpunkt dieses Buchs. Das Buch soll den Leser dazu anregen, über die Philosophie der Mathematik nachzudenken und eine eigene Position zu formulieren und für diese zu argumentieren.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Wenn wir Philosophie als vernünftige Bezugnahme auf die Welt als Ganzes begreifen, so ist eine Philosophie der Mathematik eine vernünftige Bezugnahme auf die Mathematik als Ganzes. Wir erwarten von solch einer Bezugnahme in jedem Fall, dass sie verständlich und aussagekräftig ist, im Idealfall ist sie auch noch begründet. Eine Philosophie der Mathematik erscheint uns verständlich, wenn die verwendeten Begriffe einleuchtend erläutert werden oder sich zumindest zufriedenstellend deuten lassen und wenn zentrale Aussagen klar und unmissverständlich formuliert werden oder sich zumindest so formulieren lassen.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 2. Pythagorismus

Zusammenfassung
Pythagoras  war bereits in der Antike eine legendäre Gestalt; die Quellen sind im Hinblick auf seine Biographie nicht ganz eindeutig. Pythagoras wurde vermutlich 570 v. Chr. auf der griechischen Insel Samos in der östlichen Ägäis nahe der Küste Kleinasiens geboren.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 3. Platonismus

Zusammenfassung
Der Platonismus ist ein metaphysisches und erkenntnistheoretisches Konzept, das auf den antiken griechischen Philosophen Platon (428–348 v. Chr.) aus Athen zurückgeht. Platon war ein Schüler des Sokrates (469–399 v. Chr.) und Lehrer Aristoteles und ist eine der bedeutendsten Persönlichkeiten der europäischen Geistesgeschichte. Das Werk von Platon ist umfangreich, originell und vielfältig.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 4. Rationalismus

Zusammenfassung
Die Grundannahme des Rationalismus ist, dass wir als rationale Wesen apriorisches Wissen besitzen, das unabhängig von jedweder Erfahrung ist und keiner Begründung durch Erfahrung bedarf. Dieses Wissen ist unserer Vernunft entweder unmittelbar gegeben oder es wird durch die Tätigkeit der reinen Vernunft, ohne Rückgriff auf Erfahrung, erschlossen. Die Tätigkeit der reinen Vernunft wird gewöhnlich als Deduktion beschrieben, d. h., unsere Vernunft zieht aus gegebenen Voraussetzungen gültige Schlüsse.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 5. Kantianismus

Zusammenfassung
Immanuel Kant (1724–1804) gilt manchen als der bedeutendste Philosoph der Neuzeit, sein Werk ist in der Tat umfangreich, vielfältig und originell.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 6. Logizismus

Zusammenfassung
Die logizistische Position in der Philosophie der Mathematik geht, kurz gesagt, davon aus, dass sich die Mathematik auf eine hinreichend umfangreiche formale Logik zurückführen lässt und die Mathematik daher einen Teil der Logik darstellt.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 7. Intuitionismus

Zusammenfassung
Der Intuitionismus in der Philosophie der Mathematik geht auf den niederländischen Mathematiker Luitzen Brouwer (1881–1966) zurück und ist bis heute untrennbar mit dessen Werk verknüpft. Wir beginnen daher dieses Kapitel mit einer kurzen Biographie.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 8. Formalismus

Zusammenfassung
Formeln sind nicht nur Instrument der Formalisierung mathematischer Theorien, sondern auch die Grundlage des Formalismus in der Philosophie der Mathematik.  Eine Formel ist eine endliche Aneinanderreihung primitiver Symbole aus einem Alphabet.  Primitive Symbole sind wohlunterschiedene und eindeutig identifizierbare Zeichen, die sich physikalisch etwa durch Tintenstriche auf einem Blatt Papier oder auch Bytes in einem digitalen Speichermedium repräsentieren lassen.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 9. Konstruktivismus

Zusammenfassung
Ein Konstruktivismus in der Philosophie der Mathematik geht von folgender ontologischen Grundannahme aus
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 10. Strukturalismus

Zusammenfassung
Wir werden in diesem Abschnitt die grundlegende Idee des Strukturalismus in der Philosophie der Mathematik vorstellen.  Dazu müssen wir zunächst erläutern, was eine Struktur ist.  Betrachten wir ein System, das aus einer Zusammenfassung von Gegenständen und aus Relationen zwischen diesen Gegenständen besteht.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 11. Naturalismus

Zusammenfassung
Der Naturalismus ist eine einflussreiche philosophische Denkrichtung, die Spuren im aktuellen medialen Diskurs hinterlässt: Alles was existiert, auch der Mensch und sein Werk, sind Teil der Natur. Wenn wir Natur als Gegensatz der spirituell-mystischen Welt des Übernatürlichen begreifen, ist die These des Naturalismus ein Grundsatz der Aufklärung. Der Begriff der Natur wird in der zeitgenössischen Philosophie allerdings anders gefasst.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 12. Weitere Entwicklungen

Zusammenfassung
Der Konzeptualismus ist eine aktuelle Position in der Philosophie der Mathematik, die durch den amerikanischen Mathematiker und Philosophen Nik Weaver (1969) vertreten wird.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 13. Anhang: Mengenlehre

Zusammenfassung
Wir geben in diesem Anhang eine kurze Einführung in die Mengenlehre, die eine Grundlage der modernen Mathematik darstellt.  Details findet der Leser zum Beispiel in Deiser (2010).   Eine Menge, im Sinne der naiven Mengenlehre, ist eine wohlbestimmte Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten unseres Denkens oder unserer Anschauungen zu einem Ganzen.
Jörg Neunhäuserer

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