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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Lineare Regelvorgänge

1. Aufgabenstellung der Regelungstechnik

Zusammenfassung
Das Wort „Regeln“ mit seinen verschiedenen Abwandlungen wird in unserem Sprachgebrauch täglich verwendet. Man kann irgendeine Angelegenheit regeln, etwa menschliche Beziehungen, Studienfragen oder Finanzprobleme; man kann ein geregeltes oder ungeregeltes Leben führen, regelnd in ein Streitgespräch eingreifen und vieles mehr. Man versteht unter dem Begriff „Regeln“ also offenbar die Herstellung oder Bewahrung einer wünschenswerten Situation, die durch störende Einflüsse von innen oder außen in Unordnung geraten ist.
Werner Leonhard

2. Analytische Beschreibung des dynamischen Verhaltens (mathematisches Modell) einer Regelstrecke

Zusammenfassung
Für die Beurteilung oder den Entwurf eines Regelsystems genügen empirische oder intuitive Verfahren nur in den einfachsten Fällen. Normalerweise ist es notwendig, das Problem zu objektivieren und — wenn auch nur näherungsweise — quantitativ zu beschreiben. Da es sich bei fast allen Regelstrecken um dynamische Systeme handelt, sind Differentialgleichungen, deren unabhängige Variable die Zeit ist, die hierfür geeigneten Hilfsmittel. Technische Regelstrecken sind jedoch gewöhnlich zu kompliziert, als daß man die Differentialgleichung zwischen Stellgröße und Regelgröße sofort angeben könnte. Aus diesem Grund ist es meist vorteilhaft, die gesamte Strecke durch Definition von Zwischengrößen in einzelne Bestandteile, Übertragungs- oder Steuerungselemente genannt, aufzulösen, deren Verhalten einfach zu überblicken ist. Die Zwischengrößen werden dabei so gewählt, daß ein (angenähert) eindeutiger Signalfluß entsteht.
Werner Leonhard

3. Dynamisches Verhalten einfacher Übertragungselemente

Zusammenfassung
Der in Bild 3.1 skizzierte Gleichstromgenerator läßt sich bei vernachlässigter Ankerinduktivität durch folgende Gleichungen beschreiben:
$$ u_1 = R_1 i_1 + \frac{{d\psi }}{{dt}} $$
(1)
$$ u_2 = e - R_1 i_2 $$
(2)
$$ e = c\omega \psi $$
(3)
$$ \psi = \psi \left( {i_1 } \right) $$
(4)
ψ(i1) ist die eindeutig angenommene Magnetisierungskennlinie des Erregerkreises.
Werner Leonhard

4. Berechnung der Systemantwort bei verschiedenen Anregungsfunktionen

Zusammenfassung
Im vorigen Abschnitt wurde die Spmngantwort als eine für das dynamische Verhalten eines linearen Übertragungselementes typische Kennfunktion hervorgehoben. Die Sprungantwort ist jedoch nur eine von mehreren häufig verwendeten Kennfunktionen, die auseinander hervorgehen und vollständig äquivalent sind. In diesem Abschnitt werden weitere Kennfunktionen behandelt; außerdem wird gezeigt, daß sich die Antwort auf eine beliebige Anregung, d.h. die Lösung der Differentialgleichung bei beliebiger Störfunktion, auf diese Kennfunktionen zurückfuhren läßt.
Werner Leonhard

5. Die Übertragungsfunktion

Zusammenfassung
Lineare Systeme mit konzentrierten Speichern können wahlweise durch eine gewöhnliche Differentialgleichung mit der unabhängigen Variablen t (Zeitbereich) oder durch eine rationale Übertragungsfunktion in p (Frequenzbereich) beschrieben werden.
Werner Leonhard

6. Gegenkopplung und Regelung

Zusammenfassung
EineRückkopplung liegt vor, wenn die Ausgangsgröße x2(t) einer Übertragungsstrecke (Bild 6.1), eventuell nach einer dynamischen Verformung als x4(t), dem Eingang der gleichen Übertragungsstrecke additiv zugeführt wird. Je nach dem Vorzeichen der Rückkopplung unterscheidet man zwischen Mit- und Gegen-Kopplung.
Werner Leonhard

7. Stabilität eines Regelkreises

Zusammenfassung
Die Möglichkeit der Instabilität eines Regelkreises ist, wie zuvor begründet, eine Folge der durch die Speicher der Regelstrecke bewirkten Verzögerungen und der Signalverstärkung im geschlossenen Kreis.
Werner Leonhard

8. Anwendung des Nyquist-Kriteriums zur Festlegung freier Regler-Parameter

Zusammenfassung
Das Nyquist-Kriterium in der bisher verwendeten Form zeigt an, ob ein Kreisfrequenzgang, dessen Ortskurve Fk(jω) vorliegt, einen stabilen Regelkreis erwarten läßt oder nicht und wie viele Eigenwerte sich gegebenenfalls in der rechten p-Halbebene befinden. Es wurde aber schon darauf hingewiesen, daß ein Regelkreis, um brauchbar zu sein, nicht nur absolut stabil, sondern auch hinreichend gut gedämpft sein muß.
Werner Leonhard

9. Funktionsbausteine für Regler und Regelstrecken

Zusammenfassung
Die Übertragungsfunktion eines linearen Systems mit konzentrierten Speichern, etwa eines einzelnen Übertragungselementes oder eines aufgeschnittenen oder geschlossenen Regelkreises ohne Laufzeit, ist, wie schon mehrfach festgestellt, eine rationale Funktion in p,
$$ F\left( p \right) = \left| {F\left( p \right)} \right|e^{j\phi \left( p \right)} = \frac{{b_m }} {{a_n }} \cdot \frac{{\prod\limits_1^m {\left( {p - q_\mu } \right)} }} {{\prod\limits_1^n {\left( {p - q_\nu } \right)} }},\,m \leqslant n. $$
Werner Leonhard

10. Regelung mit proportional wirkendem Regler (P)

Zusammenfassung
Der proportional wirkende Regler (P-Regler) stellt die einfachste Form eines Reglers dar, bei dem die Regelabweichung x3 = x1 - x2 lediglich verstärkt und ohne dynamische Verformung als Stellgröße
$$ y\left( t \right) = Vx_3 \left( t \right) = V\left( {x_1 \left( t \right) - x_2 \left( t \right)} \right) $$
(1)
weitergegeben wird. Bild 10.1 zeigt das zugehörige Blockschaltbild. Die Differenz wird meistens im Regler selbst, manchmal allerdings auch außerhalb des eigentlichen Regelgerätes, gebildet.
Werner Leonhard

11. Regelung durch einen Proportionalregler mit Vorhalt (PD)

Zusammenfassung
Zur Erhöhung der Regelgeschwindigkeit und der Kreisverstärkung bei gegebener Dämpfung kann man daran denken, die Stellgröße nicht nur durch die Regelabweichung, sondern auch durch deren Ableitung zu beeinflussen. Auf diese Weise entsteht ein Proportional-Differential-Regler (PD). In Büd 11.1 ist das Blockschaltbild des idealen PD-Reglers gezeichnet. Die Differentialgleichung lautet
$$ y = V\left( {T_v x'_3 + x_3 } \right). $$
Die Stellgröße y ist also eine Linearkombination der Regelabweichung und ihres Differentialquotienten; Tv wird Vorhaltzeitkonstante genannt.
Werner Leonhard

12. Regelung mit einem Integralregler (I)

Zusammenfassung
Die bisher untersuchten Regelungen sind vor allem wegen der stationären Regelabweichung unbefriedigend. Wie in Abschnitt 8.3 begründet, läßt sich dieser Mangel durch Verwendung eines integrierenden Reglers beheben, wobei der Integralregler den einfachsten Typ darstellt.
Werner Leonhard

13. Regelkreis mit Proportional-Integral-Regler (PI)

Zusammenfassung
Die bisherigen Überlegungen ergaben bei den proportional wirkenden Regelungen annehmbare Regelgeschwindigkeit bei ungenügender Genauigkeit und bei der Integralregelung gute Genauigkeit, jedoch stark reduzierte Regelgeschwindigkeit. Somit stellt sich die Frage, ob die Vorzüge der beiden Lösungen nicht vereinigt werden können; der Proportional-Integral-Regler stellt eine solche Kombination dar.
Werner Leonhard

14. Regelung mit Proportional-Integral-Differential-Regler (PID)

Zusammenfassung
Der PID-Regler stellt eine weitere dynamische Verbesserung gegenüber dem I- und PI- Regler dar. Die Differentialgleichung lautet
$$ T_1 y' = V\left( {T_1 T_2 X''_3 + T_1 X'_3 + x_3 } \right),\,x_3 = x_1 - x_2 , $$
oder nach einmaliger Integration
$$ y\left( t \right) = V\left[ {x_3 + \frac{1} {{T_1 }}\int\limits_{ - \infty }^t {x_3 d\tau + T_2 x'_3 } } \right]. $$
Werner Leonhard

15. Wahl des Reglers für eine Tiefpaß-Regelstrecke höherer Ordnung

Zusammenfassung
In den vorhergehenden Abschnitten wurde die Auswahl und Dimensionierung der Regler für bestimmte wohldefinierte Modell-Regelstrecken erörtert. In der Praxis sind die Verhältnisse meistens weniger leicht überschaubar. Die Regelstrecke kann z.B. eine größere Anzahl von Verzögerungen mit bekannten Parametern enthalten ; manchmal sind die Parameterwerte auch nur näherungsweise bekannt. Sehr häufig ist der Fall, daß von der Regelstrecke lediglich ein Oszillogramm, etwa die Sprungantwort, vorliegt oder daß von Ergebnissen bei früher ausgeführten Anlagen extrapoliert werden muß.
Werner Leonhard

16. Regelkreis mit Rückführung

Zusammenfassung
Bisher wurden sogenannte einschleifige Regelkreise betrachtet, bei denen die Verarbeitung der Regelabweichung nur in dem der Regelstrecke vorgeschalteten Regler erfolgt. Dies ist nicht die einzig mögliche Struktur eines Regelkreises. Ein in der Praxis häufig verwendetes Verfahren besteht z.B. darin, der Regelstrecke neben der (Haupt)-Regelgröße eine oder mehrere Hilfsgrößen mit unterschiedlichem dynamischen Verhalten zu entnehmen, um so den Regler zu vereinfachen. Bild 16.1 zeigt das Blockschaltbild eines solchen Regelkreises. Die Regelstrecke, in den meisten Fällen ein Verzögerungsglied höherer Ordnung, ist in zwei Abschnitte unterteilt. Das an der Trennstelle verfügbare Regelsignal y1(t) wird abgegriffen und über ein sogenanntes Rückführglied mit der Übertragungsfunktion Fy(p) der eigentlichen Regelgröße x2(t) hinzugefügt, so daß ein synthetischer Istwert x4(t) entsteht.
Werner Leonhard

17. Kaskadenregelung

Zusammenfassung
Der in Bild 16.1 gezeichnete lineare Regelkreis mit Rückführung durch Abgriff eines Hilfssignals aus der Regelstrecke läßt sich, wie in Bild 17.1 a,b gezeigt, noch auf andere Weise umformen. Bild b) entsteht aus Bild a) durch Verschiebung des inneren Vergleichspunktes. Die Störgröße z(t) wird dabei wieder vernachlässigt. Bei den verschiedenen Umformungen bleiben die äußeren Größen X1 und X2 unverändert, während die inneren Variablen z.T. ihre Identität verlieren. Die in Bild 17.1b entstandene Schaltung hat die Struktur einer zweischleifigen Kaskadenregelung, wie sie schon in Abschnitt 1.2.3 kurz zur Sprache kam.
Werner Leonhard

18. Störgrößen-Aufschaltung

Zusammenfassung
Die Wirkungsweise einer Regelung besteht in der Messung der von irgendwelchen Störgrößen herrührenden Regelabweichung und ihrer Korrektur durch eine entgegengesetzte Auslenkung der Stellgröße. Sofern nur verteilte Störgrößen vorliegen, deren Ursache und Angriffsort unbekannt sind, ist dies das einzige mögliche Verfahren. Wenn es sich jedoch um meßbare und an bekannten Stellen der Regelstrecke angreifende Störgrößen handelt, kann ein aus der Störgröße selbst abgeleiteter, unmittelbarer Korrektureingriff schneller zum Ziele führen, da nicht erst die Regelabweichung am Ausgang der Regelstrecke abgewartet werden muß.
Werner Leonhard

19. Mehrgrößen-Regelung

Zusammenfassung
In Abschnitt 1.2.2 wurde bereits auf den praktisch häufig vorkommenden Fall hingewiesen, daß mehrere Regelkreise in unbeabsichtigter Weise über die Regelstrecke miteinander gekoppelt sind. Bild 19.1 zeigt den Fall einer Zweigrößen-Regelung, bei der die beiden Ausgangsgrößen x1, x2 einer Regelstrecke mit Hilfe von zwei Reglern und Stellgrößen auf die Sollwerte u1, u2 geregelt werden. Dabei beeinflußt jede der Stellgrößen beide Regelgrößen. Um von einem stationären Betriebspunkt x1(0), x2(0) zu einem anderen stationären Betriebspunkt x1(1), x2(1) zu gelangen, müssen im allgemeinen beide Stellgrößen verändert werden.
Werner Leonhard

Nichtlineare Regelvorgänge

20. Stellglied mit zweiwertiger unstetiger Kennlinie

Zusammenfassung
Bei der Beurteilung der vor allem als Leistungsverstärker dienenden Stellglieder zeigt sich, daß es zwei verschiedene Grundtypen gibt, solche
  • mit steuerbarer Quelle, z.B. Pumpen mit variablem Druck oder elektrische Quellen mit steuerbarer Spannung und solche
  • mit steuerbarer Drossel, etwa Ventile mit veränderlichem Querschnitt oder steuerbare elektrische Vorwiderstände.
Werner Leonhard

21. Stellglied mit dreiwertiger unstetiger Kennlinie

Zusammenfassung
Das periodische Arbeiten eines Zweipunktreglers mit nachfolgendem Schaltglied ist, selbst bei reduzierter Schaltfrequenz, bei vielen Anwendungen unzulässig oder unerwünscht. Einige Gründe wurden schon genannt: Verschleiß und Schaltverluste, vor allem bei mechanischen Stellgliedern. Bei vielen Regelstrecken kommt hinzu, daß aus betrieblichen Gründen eine abrupte Änderung der Stellgröße um den vollen Hub nicht zulässig ist. Häufig, vor allem bei verfahrenstechnischen Regelstrecken, dürfen die Stellgrößen vielmehr nur langsam oder in kleinen Schritten verändert werden, um den Prozeß nicht zu stören oder um die Regelstrecke nicht zusätzlich zu beanspruchen. Dies ist z. B. bei hochausgenutzten Dampferzeugern oder Dampfturbinen der Fall und ohne weiteres einleuchtend. Dennoch ist man auch dort bestrebt, die Vorteile nichtstetiger Regler und Stellglieder zu nutzen.
Werner Leonhard

22. Darstellung von Regelvorgängen durch Zustandskurven

Zusammenfassung
Eine dynamische Übertragungsstrecke nach Bild 22.1 mit n unabhängigen konzentrierten Energiespeichern läßt sich bekanntlich (Abs. 3.2.3) durch eine gewöhnliche Differentialgleichung n. Ordnung beschreiben. Wenn die Gleichung linear ist, spricht man von einem linearen, bei zeitunabhängigen Koeffizienten außerdem von einem zeitinvarianten System.
Werner Leonhard

23. Beschreibung der Wirkungsweise unstetiger Regler anhand des Zustandsdiagrammes

Zusammenfassung
Der vorhergehende Abschnitt hat gezeigt, daß sich das dynamische Verhalten linearer Regelstrecken mit zwei Energiespeichern und konstanter Anregung auf übersichtliche Weise in der Zustandsebene darstellen läßt. Diese Erkenntnisse sollen nun dazu verwendet werden, die Wirkungsweise einfacher Regelkreise zu untersuchen, bei denen ein Zwei- oder Dreipunktregler über das nachfolgende Schaltglied die Regelstrecke mit einer abschnittsweise konstanten Stellgröße aussteuert. Wegen der Darstellungsschwierigkeiten von Zustandskurven höherer Ordnung ist das Verfahren allerdings auf Systeme zweiter Ordnung beschränkt, so daß der praktische Nutzen begrenzt ist.
Werner Leonhard

24. Zeitlich optimale Regelung

Zusammenfassung
Bei der Behandlung unstetiger Regelvorgänge stellt sich die Frage nach dem theoretisch schnellsten Regelvorgang zum Ausgleich einer vorgegebenen Störung. Diese Fragestellung ist natürlich nur sinnvoll, wenn die verwendbare Stellgröße begrenzt ist, entsprechendetwa einer vorgegebenen maximalen Stell-Leistung.
Werner Leonhard

25. Näherungsweise Stabilitätsprüfung eines nichtlinearen Systems mit Hilfe der Beschreibungsfunktion

Zusammenfassung
Die Darstellung nichtlinearer Systeme in der Zustandsebene ist zwar exakt, jedoch auf Fälle mit zwei Energiespeichern beschränkt. Bei einer Erweiterung auf Systeme höherer Ordnung lassen sich wegen der Schwierigkeiten der Darstellung im n-dimensionalen Raum und wegen des unübersichtlichen Kurvenverlaufes keine nennenswerten allgemeinen Aussagen mehr machen; man ist dann auf zahlenmäßige Rechnungen angewiesen.
Werner Leonhard

26. Weitere Stabilitätskriterien für nichtlineare Regelsysteme

Zusammenfassung
Bei den bisher behandelten Verfahren zur Prüfung der Stabilität nichtlinearer Systeme waren weitgehende Einschränkungen erforderlich; es handelte sich also um ziemlich konkrete Aufgabenstellungen. Es gibt daneben auch Verfahren, bei denen nur geringere Einschränkungen notwendig sind. Allerdings führen solche allgemeineren Verfahren auch zu weniger konkreten Ergebnissen und bereiten oft in der Handhabung größere Schwierigkeiten, so daß sie für die Anwendung weniger geeignet sind.
Werner Leonhard

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