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Erschienen in:

2019 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Einführung in die Tensorrechnung

verfasst von : Michael Riemer, Wolfgang Seemann, Jörg Wauer, Walter Wedig

Erschienen in: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Die Tensorrechnung ist bei der Entwicklung neuer Materialmodelle, zur Beschreibung (geometrisch) komplizierter Flächentragwerke, aber auch in der Strömungslehre ein bedeutsames mathematisches Hilfsmittel. Eine Darstellung von Grundbegriffen, wie indizierte Größen und Summationskonvention, einer Vektoralgebra zur Einführung in die allgemeine Tensoralgebra für Tensoren zweiter und höherer Stufe sowie der Vektor- und Tensoranalysis mit Funktionen skalarwertiger Parameter und einer Theorie der Felder ist heute wichtig, um einer modernen Einführung bereits in die lineare Elastizitätstheorie als Anwendung zu folgen. Der Nutzer soll nach Durcharbeiten des Inhaltes des vorliegenden Kapitels in der Lage sein, alle aktuellen Aufgaben der Tensoralgebra und -analysis mit ihren Anwendungen zu verstehen und durchzuführen.

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Vorheriges Kapitel Einführung in die Matrizenrechnung

Nächstes Kapitel Einführung in die Theorie linearer Differenzialgleichungen

Es wird damit deutlich unterschieden zwischen „wirklichen“ Vektoren und Spaltenmatrizen, die in Kap. 1 eingeführt und durch Kleinbuchstaben in Fettdruck gekennzeichnet werden.

Ist eine schiefwinklige (affine) Basis abhängig vom jeweiligen Ort, so spricht man manchmal auch von einer „krummlinigen“ Basis in Anlehnung an das zugrunde liegende Koordinatensystem.

Für den eigentlichen Euklidischen Vektorraum fallen duale und reziproke Basis zusammen.

In der Literatur werden die \(u^{m}\) manchmal auch als Koeffizienten der Komponenten \(u^{\not m}\overrightarrow{e}_{\not m}\) oder oft sogar als Komponenten des Vektors \(\overrightarrow{u}\) bezeichnet.

Eine Metrik prägt einem Raum dadurch eine sog. topologische Struktur auf, dass der Begriff der Umgebung eingeführt wird. Dabei spielt insbesondere die Festlegung von Entfernungen und Abständen eine Rolle. Eigentliches Ziel ist es, Konvergenz von Folgen erklären zu können.

Die spezielle Berechnung (2.17) lässt sich auch für allgemeine Koordinaten angeben; man erhält mit (2.16) über (2.27) das Ergebnis (2.28). Wegen (2.7) folgt aus (2.28) sofort der Spezialfall (2.17) für kartesische Koordinaten \(u_{\alpha}=u^{\alpha},v_{\alpha}=v^{\alpha}\).

Die Koordinaten \(u_{i}\) und \(u^{i}\) sind also nicht voneinander unabhängig; sie werden deshalb auch als assoziierte Koordinaten des Vektors \(\overrightarrow{u}\) bezeichnet.

Der Name rührt daher, dass man den Betrag des Spatprodukts als Volumen der durch die Basisvektoren \(\overrightarrow{e}_{i}\), \(\overrightarrow{e}_{k}\) und \(\overrightarrow{e}_{m}\) aufgespannten Parallelepipeds (Spats) interpretieren kann.

In der Literatur werden über \(\det(g_{ik})e_{ikl}=\varepsilon_{ikl}\) bzw. \(\det(g^{ik})e^{ikl}=\varepsilon^{ikl}\) anstelle der \(\varepsilon_{ikl}\) bzw. \(\varepsilon^{ikl}\) auch normierte Permutationssymbole \(e_{ikl}\) bzw. \(e^{ikl}\) benutzt.

Dies ist der entscheidende Unterschied zu einer sog. Punkttransformation oder Abbildung. Dort wird das Koordinatensystem beibehalten, aber das „Objekt“ geändert (also z. B. der Vektor \(\overrightarrow{u}\) in einen anderen Vektor \(\overrightarrow{v}\) „abgebildet“).

Ein Tensor (2. Stufe) wird manchmal auch als „Dyade“ bezeichnet.

Man bezeichnet diesen tensoriellen Produktraum mit \(\mathcal{E}^{3}\otimes\mathcal{E}^{3}\). Er ist neun-dimensional und wird von den tensoriellen Produkten \(\overrightarrow{e}_{i}\otimes\overrightarrow{e}_{k}\) der Basis \(\overrightarrow{e}_{i}\) „aufgespannt“.

Wäre \(\overrightarrow{\overrightarrow{\delta}}\) ein Tensor, würde gemäß (2.61) nämlich \(\delta^{ik}=g^{kl}\delta^{i}_{l}\) gelten. Mit der „Ausblend“-Eigenschaft würde daraus \(\delta^{ik}\equiv g^{ki}\) folgen. Dies kann jedoch nicht sein, da i. Allg. \(g^{ki}\neq 1\) oder \(\neq 0\) ist. Also nicht \(\delta^{ik}\) ist der Tensor, sondern \(g^{ik}\) bzw. \(g_{ik},\,g^{\,i}_{k}\), und nur in der gemischtvarianten Darstellung gilt \(g^{\,i}_{k}\equiv\delta^{\,i}_{k}\).

Im Rahmen einer linearen Theorie, wie sie hier verfolgt wird, macht es keinen Unterschied, ob man vom Piola-Kirchhoffschen (2. Art) oder vom Cauchyschen Spannungstensor [s. auch Abschn. 4.2.2, (4.103) ff.] spricht.

Im vorliegenden Buch wird insbesondere in Kap. 3 davon Gebrauch gemacht.

Die zugehörige kontravariante Basis \({\overrightarrow{e}}^{\;i}\) wird mit Hilfe der Orthogonalitätsrelation (2.11) eingeführt. Eine zu (2.121) analoge Definition kontravarianter Basisvektoren \({\overrightarrow{e}}^{\;i}=\frac{\partial\overrightarrow{x}}{\partial\xi_{i}}\) ist nicht sinnvoll, weil sie i. Allg. nicht mit (2.11) verträglich ist.

In der Ebene sind die beiden „Koordinatenlinien“ in \(P\) die Kurven \(\xi^{1}=\text{const}\) und \(\xi^{2}=\text{const}\). Im Raum sind die drei „Koordinatenlinien“ in \(P\) Schnittkurven der (paarweise geschnittenen) „Koordinatenflächen“ \(\xi^{1}=\text{const}\), \(\xi^{2}=\text{const}\) und \(\xi^{3}=\text{const}\).

Die Darstellung des Ortsvektors in krummlinigen Koordinaten ist also \(\overrightarrow{x}=x^{\alpha}\overrightarrow{e}_{\alpha}=x_{\alpha}a_{\alpha}^{\,\cdot\,i}\overrightarrow{e}_{i}\). Mit (2.42)\({}_{1}\) wird man auf \(\overrightarrow{x}=x^{i}\overrightarrow{e}_{i}\) geführt und nicht etwa auf \(\overrightarrow{x}=\xi^{i}\overrightarrow{e}_{i}\). D. h. in krummlinigen Koordinaten sind die Koordinaten eines Punktes \(P(\xi^{1}|\xi^{2}|\xi^{3})\) nicht identisch mit den Koordinaten \(x^{1},x^{2},x^{3}\) des Ortsvektors \(\overrightarrow{x}=x^{i}\overrightarrow{e}_{i}\).

Die gleichzeitige Definition einer kontravarianten Ableitung analog zu (2.136) und (2.137) ist nicht sinnvoll, weil die so entstehenden „Tensorkoordinaten“ \((\,)^{|k}\) i. Allg. nicht mit der mittels des Metriktensors \(g^{lk}\) „gezogenen“ kovarianten Ableitung \((\,)_{|l}g^{lk}\equiv(\,)^{|k}\) übereinstimmen.

Viele Autoren verwenden diese Bezeichnungen für die wirklichen Winkeländerungen \(\gamma_{xy}=2\varepsilon_{xy}\), \(\gamma_{xz}=2\varepsilon_{xz}\) und \(\gamma_{yz}=2\varepsilon_{yz}\).

Auf die Thematik dieses Kapitels wird übrigens im Rahmen analytischer Methoden der Mechanik (s. Abschn. 4.2.2) nochmals und hinsichtlich einiger Details sogar ausführlicher eingegangen.

de Boer, R.: Vektor- und Tensorrechnung für Ingenieure. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (1982) CrossRef

Duschek, A., Hochrainer, A.: Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung, Bd. 1, 4. Aufl. Springer, Wien (1960) MATH

Duschek, A., Hochrainer, A.: Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung, Bd. 2, 2. Aufl. Springer, Wien (1961) MATH

Duschek, A., Hochrainer, A.: Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung, Bd. 3. Springer, Wien (1955) MATH

Ericksen, J.L.: Tensor fields. In: Flügge, S. (Hrsg.) Handbuch der Physik III/1. Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg (1960)

Flügge, W.: Tensor Analysis and Continuum Mechanics. Springer, New York (1972) CrossRef

Green, A.E., Zerna, W.: Theoretical Elasticity, 2. Aufl. Clarendon Press, Oxford (1968) MATH

Klingbeil, E.: Tensorrechnung für Ingenieure. Bibl. Inst., Mannheim (1966) MATH

Michal, A.D.: Matrix and Tensor Calculus. John Wiley & Sons, New York/London (1947)

10.

Riemer, M.: Technische Kontinuumsmechanik. B.I.-Wiss.-Verlag, Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich (1993) MATH

11.

Schultz-Piszachich, W.: Tensoralgebra und -analysis. Harry Deutsch, Thun/ Frankfurt (1979) MATH

12.

Sokolnikoff, I.S.: Tensor Analysis. John Wiley & Sons, New York (1951) MATH

Titel: Einführung in die Tensorrechnung
verfasst von: Michael Riemer
Wolfgang Seemann
Jörg Wauer
Walter Wedig
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Buch: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik
Print ISBN: 978-3-658-25612-8

Electronic ISBN: 978-3-658-25613-5

Copyright-Jahr: 2019
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-25613-5_2

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