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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch bietet Studierenden der ersten Semester eine Einführung in die Theoretische Physik sowie die dazu erforderlichen mathematischen Werkzeuge. Parallel zu den Inhalten der Klassischen Mechanik lernen Sie die nötige Mathematik gleich mit – und auch die Denkweise in der Theoretischen Physik kennen.

Unter sorgfältiger Berücksichtigung des Wissensstands von Studienanfängern wird eine ausführliche, schrittweise Darstellung von allen Herleitungen und Beispielen geboten. Dabei werden Ihnen nicht nur die analytischen Lösungsverfahren gezeigt, sondern Sie erhalten auch einen Einblick in die große Bedeutung von computergestützten, numerischen Verfahren.

Das Buch beginnt mit den Leitbegriffen des Zustands und der Bewegungsgleichung, worauf aufbauend die Struktur der Newton‘schen Mechanik in leicht nachvollziehbarer Art und Weise vermittelt wird. Als dazugehörige mathematische Themen werden komplexe Zahlen, Vektoren und Matrizen, Taylor-Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen, Fourier-Reihen, partielle Ableitungen und Elemente der Vektoranalysis behandelt. Ebenso finden Sie in diesem Buch eine Untersuchung elementarer Erhaltungssätze als auch deren Anwendung auf physikalische Fragestellungen wie z.B. die Begründung der Kepler‘schen Gesetze.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Grundkonzepte

Zusammenfassung
Dieses Lehrbuch führt Sie in die Theoretische Physik anhand der Klassischen Mechanik ein. In diesem einleitenden Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Begriff Theoretische Physik, und Sie lernen die Grundziele und Grundannahmen der Klassischen Mechanik kennen. Anhand eines abstrakten, aber einfachen Modells erarbeiten wir uns, welche prinzipiellen mathematischen Strukturen aus den Grundzielen und Grundannahmen der Klassischen Mechanik folgen. In diesem Zusammenhang nutzen wir insbesondere den Begriff des Zustands eines physikalischen Systems und untersuchen dynamische Gesetze, die die zeitliche Entwicklung des Zustands beschreiben.
Robin Santra

Kapitel 2. Beschreibung der Bewegung von Massenpunkten

Zusammenfassung
Wir wollen uns nun dem Begriff des Zustands für ein zentrales Modellsystem der Klassischen Mechanik nähern: dem Punktteilchen. Das Konzept eines Punktteilchens ist eine für die Theoretische Physik nützliche Idealisierung. In vielen Situationen kann man die räumliche Ausdehnung von Objekten ignorieren und sie als Punkte behandeln.
Robin Santra

Kapitel 3. Dynamische Gesetze für einen Massenpunkt

Zusammenfassung
Nachdem wir uns in Kap. 2 das mathematische Werkzeug angeeignet haben, um die Bewegung von Punktteilchen beschreiben zu können, kommen wir nun zu dynamischen Gesetzen, die die zeitliche Entwicklung des Zustands eines Punktteilchens bestimmen. Dabei legt das jeweils betrachtete dynamische Gesetz fest, mit welchen mathematischen Objekten gearbeitet werden muss, um den Zustandsbegriff zu präzisieren. Wir werden dies sowohl anhand der sogenannten Aristoteles’schen Bewegungsgleichung als auch anhand der Newton’schen Bewegungsgleichung illustrieren.
Robin Santra

Kapitel 4. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Eine Gleichung, in der Ableitungen der zu bestimmenden Funktion auftreten, heißt Differentialgleichung. Liegt bei der Gleichung nur eine unabhängige Variable vor (z. B. die Zeit t), dann handelt es sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung. Auf diese wollen wir uns hier konzentrieren, da die dynamischen Gesetze für Punktteilchen von diesem Typ sind.
Robin Santra

Kapitel 5. Fourier-Reihen

Zusammenfassung
Ein einfaches Beispiel für eine periodische Funktion, die selbst keine trigonometrische Funktion ist, ist eine Dreieckschwingung. Eine solche können wir beispielsweise dadurch generieren, indem wir die auf dem Intervall \([-1,1]\) definierte Funktion
$$\begin{aligned} f(x) = {\left\{ \begin{array}{ll} -x-\frac{1}{2}, &{} -1 \le x \le 0 \\ x-\frac{1}{2}, &{} 0 \le x \le 1 \end{array}\right. } \end{aligned}$$
periodisch fortsetzen. Im Folgenden bezeichnen wir die auf diese Weise konstruierte periodische Funktion selbst als f(x).
Robin Santra

Kapitel 6. Nichtlineare Dynamik

Zusammenfassung
In Kap. 1 hatten wir herausgearbeitet, dass eine Grundeigenschaft der Klassischen Physik der Determinismus ist: Die Grundgleichungen der Klassischen Physik erlauben es einem, unter vollständiger Angabe der Anfangsbedingungen, das Verhalten eines Systems zu allen Zeiten vorherzusagen. Im Laufe der vergangenen 100 Jahre hat sich herauskristallisiert, dass diese Sichtweise zwar im Prinzip (im Rahmen der Klassischen Physik) korrekt ist, Determinismus im Allgemeinen aber nicht unbedingt Regularität und tatsächliche Vorhersagbarkeit der Zukunft impliziert. In sogenannten nichtlinearen Systemen kann extrem irreguläres Verhalten auftreten, das als Chaos bezeichnet wird.
Robin Santra

Kapitel 7. Systeme mit mehr als einem Teilchen

Zusammenfassung
Bisher haben wir die Newton’sche Bewegungsgleichung nur für Situationen betrachtet, bei denen auf ein einzelnes Teilchen eine Kraft wirkte und wir die resultierende Bewegung des Teilchens bestimmten. Mit diesem Kapitel beginnend erweitern wir unsere Untersuchungen auf Systeme, bei denen wir explizit mehr als ein Teilchen berücksichtigen. Dabei wird es sich als sinnvoll erweisen, zur Charakterisierung des Zustands des Systems nicht die Geschwindigkeitsvektoren, sondern die sogenannten Impulsvektoren der Teilchen heranzuziehen (zusätzlich zu den Ortsvektoren).
Robin Santra

Kapitel 8. Partielle Ableitungen

Zusammenfassung
Außer dem Impulserhaltungssatz werden wir uns noch mit dem Energieerhaltungssatz und dem Drehimpulserhaltungssatz für abgeschlossene N-Teilchensysteme auseinandersetzen. Zur Vorbereitung auf den Energieerhaltungssatz beschäftigen wir uns in diesem Kapitel mit dem Thema der partiellen Ableitungen, durch die der Begriff der Ableitung für Funktionen mit mehreren Variablen verallgemeinert wird. Die Kenntnisse, die Sie sich dabei aneignen werden, sind nicht nur für die Klassische Mechanik von großer Bedeutung, sondern spielen auch in der Elektrodynamik, in der Thermodynamik (=Wärmelehre) und in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle.
Robin Santra

Kapitel 9. Energie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel postulieren wir für abgeschlossene N-Teilchensysteme die Existenz eines sogenannten Potentials. Auf dieser Grundlage werden wir den Energieerhaltungssatz beweisen. Wir werden uns die Frage stellen, ob der Energieerhaltungssatz auch gilt, wenn sich ein Teilchen unter der Wirkung von einer äußeren Kraft bewegt.
Robin Santra

Kapitel 10. Zweiteilchenproblem mit Gravitationskraft

Zusammenfassung
Das Problem eines abgeschlossenen Zweiteilchensystems, in dem die beiden Teilchen miteinander über die Gravitation wechselwirken, lässt sich analytisch lösen. Es handelt sich hierbei um ein grundlegendes Modell für die Bewegung eines Planeten um einen Stern, z. B. die Sonne. Wie Ihnen aus der Experimentalphysik vertraut ist, wird diese Bewegung empirisch durch die Kepler’schen Gesetze beschrieben.
Robin Santra

Kapitel 11. Drehbewegungen

Zusammenfassung
Das Konzept des Drehimpulses hat sich in Kap. 10 bei der Lösung des Zweiteilchenproblems als außerordentlich hilfreich erwiesen.
Robin Santra

Kapitel 12. Anhänge

Zusammenfassung
Die in Abb. 1.​2 bis 1.​4 gezeigten numerischen Ergebnisse zur Dynamik in einem eindimensionalen, reellen Zustandsraum wurden mit dem unten gezeigten, in Fortran geschriebenen Programm berechnet.
Robin Santra

Backmatter

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