Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Stochastik ist die Mathematik des Zufalls. Sie ist von größter Bedeutung für die Berufs­ praxis der Mathematiker. An vielen Schulen hat sie ihren festen Platz gefunden. Die beiden Hauptgebiete der Stochastik sind Wahrscheinlichkeitstheorie und Stati­ stik. In der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht man zufällige Prozesse mit festen als bekannt angenommenen steuernden Wahrscheinlichkeiten. Dies ist theoretisch und prak­ tisch von eigenständigem Interesse. Darüber hinaus liefert die Wahrscheinlichkeitstheorie Grundlagen für die Statistik, in der aus beobachteten Daten Schlüsse über unbekannte Wahrscheinlichkeiten und über zweckmäßiges Verhalten gezogen werden sollen. Stochastische Fragen treten in den unterschiedlichsten Problemkreisen auf. Hier einige Beispiele: • Was sind gute Strategien bei Glücksspielen und anderen Entscheidungsprozessen unter Unsicherheit? • Welche Wahrscheinlichkeitsaussagen lassen sich über das Wachstum von Popula­ tionen und über die Vererbung von Eigenschaften machen? • Wie übermittelt man ökonomisch Nachrichten? • Wie vergleicht man mit vorgegebener Sicherheit die Qualität von Heilmitteln oder Produktionsverfahren? • Was lässt sich über die Genauigkeit von Messungen aussagen? Dies sind Fragen, die sich nicht ohne Zusatzüberlegungen nur durch den Beweis mathema­ tischer Sätze beantworten lassen. Ein wesentlicher Teil der Schwierigkeit besteht bereits darin, die passenden mathematischen Begriffe zu entwickeln, die es erlauben, diese "rea­ len" Fragen angemessen mathematisch auszudrücken. Die für Berufspraxis und Schule gleichermaßen wichtige Umsetzung von realen Problemen in eine adäquate theoretische Form kann man wohl nirgends besser üben als in der Stochastik. Die Übungsaufgaben, die oft von der "eingekleideten" Art sind, sind dabei äußerst wichtig. Der Leser sollte so viele wie möglich lösen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

§ 1. Modelle für Zufallsexperimente, Abzählmethoden

Zusammenfassung
Ziel der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Analyse der Gesetzmäßigkeiten, die bei der Beschreibung so genannter „Zufallsexperimente“ eine Rolle spielen. Darunter verstehen wir Experimente, deren Ausgänge nicht durch logische oder andere Gründe durch die Versuchsbedingungen determiniert sind. Wenigstens gedanklich sollten die Experimente unter den gleichen Bedingungen wiederholbar sein, und zwar so, dass der Versuchsausgang bei unabhängig angestellten Wiederholungen nicht notwendig stets der gleiche ist, sondern nur statistischen Regelmäßigkeiten folgt.
Ulrich Krengel

§ 2. Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Zusammenfassung
Häufig steht, bevor das Ergebnis eines Zufallsexperiments bekannt ist, schon die Information zur Verfügung, dass das Ergebnis zu einer bestimmten Teilmenge des Stichprobenraums gehört. Z.B. sieht ein Spieler beim Skat seine eigenen zehn Karten. Interessiert sich Spieler 1 für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, dass Spieler 2 zwei Asse hat, so wird er zunächst seine eigenen Asse zählen. Hat er selbst drei oder vier Asse, so ist für ihn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A natürlich 0, hat er maximal zwei Asse, so ist sie positiv.
Ulrich Krengel

§ 3. Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz

Zusammenfassung
In vielen Zufallsexperimenten interessiert nicht so sehr das Ergebnis ω, sondern nur eine bestimmte Größe X(ω), die durch ω bestimmt ist. Bei der zufälligen Auswahl einer Person könnte z.B. ω der Name oder die Passnummer der ausgewählten Person sein und X(ω) ihr Einkommen Andere Beispiele wären die Augensumme beim zweifachen Würfeln oder die Anzahl der aus einer Urne gezogenen weißen Kugeln. Gelegentlich interessieren auch Kennzeichen qualitativer Art wie Religion, Augenfarbe usw.
Ulrich Krengel

§ 4. Grundbegriffe der Schätztheorie

Zusammenfassung
Wir wollen nun auch ein paar wichtige Begriffsbildungen der Statistik kennen lernen. Ein klassisches Beispiel soll uns dabei helfen.
Ulrich Krengel

§ 5. Approximationen der Binomialverteilung

Zusammenfassung
Für großes n ist die exakte Berechnung der Wahrscheinlichkeit
$$ {b_{n,p}}(k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right){p^k}{\left( {1 - p} \right)^{n - k}}, $$
(a)
, in n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p genau k Erfolge zu haben, mühsam. Wie wahrscheinlich ist es, bei n = 80 Würfen einer Münze k = 40 mal Kopf zu erhalten? Am Ergebnis ( 40 80 )2−80 lässt sich nicht einmal die Größenordnung so ohne weiteres erkennen. Noch unübersichtlicher ist die Berechnung von Summen solcher Wahrscheinlichkeiten, also etwa der Wahrscheinlichkeit zwischen 40 und 50 mal Kopf zu erhalten. Wir wollen uns daher nun mit Approximationen für solche Wahrscheinlichkeiten beschäftigen.
Ulrich Krengel

§ 6. Tests

Zusammenfassung
Es ist ein Grundgedanke der empirischen Wissenschaften, dass die Entscheidung zwischen konkurrierenden Modellen der Realität auf Beobachtungen eines Experiments gestützt werden soll, das unter den alternativen Modellannahmen verschiedene Versuchsergebnisse erwarten lässt. Im Idealfall ist nach der Idee von Francis Bacon ein „experimentum crucis“ möglich, das zu einer definitiven Entscheidung führt. Ein berühmtes Beispiel ist der michelsonsche Interferenzversuch.
Ulrich Krengel

§ 7. Erzeugende Funktionen

Zusammenfassung
Wir wollen nun ein einfaches und doch erstaunlich schlagkräftiges Hilfsmittel für das Studium von Verteilungen auf ℤ+ = {0, 1, 2,...} kennen lernen.
Ulrich Krengel

§ 8. Entropie und Codierung

Zusammenfassung
Wir wollen wenigstens kurz auf einen Begriff der Stochastik eingehen, der weniger anschaulich ist als z.B. die Begriffe Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit, der aber ebenfalls fundamentale Bedeutung hat: den Begriff der Entropie. Er ist eng mit dem der Information verknüpft.
Ulrich Krengel

§ 9. Laufzeitanalysen von rekursiven Algorithmen

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt wollen wir eine erste Einführung in ein Thema geben, das angesichts des Vordringens der Computer von großer Bedeutung ist. Uns interessieren Aussagen über die Laufzeit von rekursiven Algorithmen. Als Beispiel dienen Sortieralgorithmen. Die Resultate dieses Abschnitts werden in den verbleibenden Teilen des Buches nicht benötigt.
Ulrich Krengel

Allgemeine Modelle

§ 10. Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten

Zusammenfassung
Neben den diskreten Wahrscheinlichkeitsmaßen werden uns vor allem solche mit Dichten interessieren. Es ist aber ökonomisch, die Grundbegriffe gleich allgemein zu formulieren.
Ulrich Krengel

§ 11. Zufallsvariable und ihre Momente

Zusammenfassung
Im diskreten Fall hatten wir jede Abbildung X von Ω in ℝ Zufallsvariable genannt. Für allgemeines Ω ist das nicht zweckmäßig. Wir wollen z.B. von der Wahrscheinlichkeit sprechen können, dass X ≤ 7 ist. Dazu muss {X ≤ 7} ein Ereignis sein, also zu der σ-Algebra gehören, auf der P definiert ist.
Ulrich Krengel

§ 12. Grenzwertsätze

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt wollen wir eine Verschärfung des schwachen Gesetzes der großen Zahlen herleiten und die Normalapproximation der Binomialverteilung verallgemeinern.
Ulrich Krengel

§ 13. Schätzverfahren und Fehlerrechnung

Zusammenfassung
Eine einigermaßen vollständige Einführung in die wichtigsten statistischen Methoden soll hier nicht versucht werden. Wir wollen nur exemplarisch einige davon vorstellen. Dies ist relativ leicht, wenn man nur rezeptartig die Verfahren beschreibt. Bei den meisten Verfahren ist es dagegen schwierig nachzuweisen, dass sie in einem geeigneten Sinn optimal sind. Hier wollen wir einen Zwischenweg beschreiten und zunächst einige Schätzmethoden, dann — im nächsten Paragraphen — einige gebräuchliche Tests, aus allgemeinen Überlegungen heraus motivieren. Dafür ist die Maximum-Likelihood-Methode besonders geeignet.
Ulrich Krengel

§ 14. Einige wichtige Testverfahren

Zusammenfassung
Erinnern wir uns, dass in einem Testproblem eine — meist vektorwertige — Zufallsvariable X beobachtet wird, deren Verteilung P υ einer Familie {P υ : υ ∈ Θ} angehört, der Menge der im Modell in Betracht gezogenen Verteilungen. Θ ist die disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer Mengen H und K, der Hypothese und der Alternative, und es soll aufgrund des beobachteten Wertes x von X entschieden werden, ob υ zu H oder zu K gehört.
Ulrich Krengel

Markowsche Ketten

§ 15. Die markowsche Eigenschaft

Zusammenfassung
Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, T eine beliebige nichtleere Indexmenge, und (I,I) ein messbarer Raum. Eine Familie {X t , tT} von Zufallsvariablen mit Werten in I heißt stochastischer Prozess mit Parameterbereich T und Zustandsraum I.
Ulrich Krengel

§ 16. Das Verhalten markowscher Ketten in langen Zeiträumen

Zusammenfassung
Kennt man die Übergangswahrscheinlichkeiten (p ij ) einer markowschen Kette, so lassen sich Wahrscheinlichkeiten, die nur von einer kleinen Zahl von Übergängen abhängen, oft noch explizit ausrechnen. Der Rechenaufwand z.B. für die Berechnung der n-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten kann aber für große n extrem hoch werden. Wir sind daher an Grenzwertsätzen für n → ∞ interessiert.
Ulrich Krengel

§ 17. Der Erneuerungssatz

Zusammenfassung
Wir können nun zur Frage der Konvergenz der Übergangswahrscheinlichkeiten p ij (n) zurückkehren. Der Fall, in dem j transient ist, lässt sich mm ziemlich rasch abhaken Im rekurrenten Fall benötigen wir noch einen „Erneuerungssatz“, der auch von eigenständigem Interesse ist. Die Idee der Erneuerung gehört zu den fruchtbarsten Ideen der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Ulrich Krengel

§ 18. Der Poisson-Prozess

Zusammenfassung
Wir diskutieren nun eins der einfachsten Beispiele einer markowschen Kette mit stetiger Zeit, den Poisson-Prozess, der u.a. als Modell für die Beobachtung des radioaktiven Zerfalls dienen kann Wir setzen nur § 10 und § 11, nicht aber die obigen Resultate über markowsche Ketten voraus.
Ulrich Krengel

Hinweise zum Weiterlesen

Zusammenfassung
Ich hoffe, dass möglichst viele Leser dieses Buches so viel Interesse an Stochastik gefunden haben, dass sie nun mehr davon kennen lernen wollen. Dazu möchte ich ein paar Anregungen geben.
Ulrich Krengel

Backmatter

Weitere Informationen