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Über dieses Buch

Eine kombinierte Einführung in die Algebra bis zur Galoistheorie und ihren klassischen Anwendungen sowie in die Zahlentheorie. Dabei profitiert die Algebra von den Motivationen und dem reichen Beispielmaterial der Zahlentheorie; letztere gewinnt an Klarheit und Kürze durch Strukturen und Sätze der Algebra.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Ganze Zahlen, Teilbarkeit

Zusammenfassung
Die Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3,... werden wir stets mit ℕ bezeichnen. Sie läßt sich axiomatisch beschreiben durch die Peanoaxiome (benannt nach dem Mengentheoretiker und Logiker Giuseppe Peano 1858–1932):
  • ℕ enthält eine Zahl namens 1 (ist also insbesondere nichtleer)
  • Jede Zahl n ∈ ℕ besitzt einen Nachfolger N(n) ∈ / (später n + 1 genannt)
  • Es gibt keine Zahl n ∈ / mit dem Nachfolger 1 = N(n)
  • Die Nachfolgerfunktion n ist injektiv, d.h.
    $$ N\left( n \right) = N\left( m \right){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}n = m\,\,$$
  • Das Prinzip der vollständigen Induktion: Jede Menge von natürlichen Zahlen, welche die 1 enthält, und welche zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger N(n) enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.
Jürgen Wolfart

2. Gruppen

Zusammenfassung
Eine Menge G heißt eine (multiplikative) Gruppe, wenn
1.
in G eine innere Verknüpfung existiert, d.h. eine Abbildung
$$G \times G \to G:\left( {a,b} \right) \mapsto a\, \cdot \,b = ab \in G\,\,\,\forall a,b \in G\,,$$
 
2.
diese Verknüpfung (Multiplikation) assoziativ ist, d.h. wenn gilt
$$\left( {ab} \right)c = a\left( {bc} \right){\rm{ }}\forall a,b,c \in G,$$
 
3.
ein Einselement oder neutrales Element eG existiert mit der Eigenschaft
$$ae = a{\rm{ }}\forall a \in G,$$
 
4.
für alle aG ein inverses Element a−1G existiert mit der Eigenschaft
$$a \cdot a^{ - 1} = e.$$
.
 
Jürgen Wolfart

3. Ringe

Zusammenfassung
Wir nennen eine Menge R einen Ring, wenn
  • R zwei innere Verknüpfungen (Addition und Multiplikation) besitzt, und zwar
    $$ \begin{array}{*{20}{c}} {R \times R \to R:\left( {a,b} \right) \mapsto a + b,} \\ {R \times R \to R:\left( {a,b} \right) \mapsto a\cdot b,} \\ \end{array} $$
  • (R, +) eine abelsche Gruppe ist, insbesondere also eine 0 existiert,
  • die Multiplikation assoziativ ist, d.h. wenn
    $$a\left( {bc} \right) = \left( {ab} \right)c{\rm{ }}\forall a,b,c \in R,$$
  • die Distributivgesetze gelten, d.h.
    $$a\left( {b + c} \right) = ab + ac,{\rm{ }}\left( {b + c} \right)a = ba + ca{\rm{ }}\forall a,b,c \in R\,.$$
    .
Jürgen Wolfart

4. Arithmetik modulo n

Zusammenfassung
Wie wir bereits in Satz 1.29 am Beispiel der Eulerschen Phi-Funktion erwähnt haben, heißt eine Funktion f: ℕ → − multiplikative zahlentheoretische Funktion, wenn
$$f\left( 1 \right) = 1{\rm{ }}und{\rm{ }}f\left( {nm} \right) = f\left( n \right)f\left( m \right) $$
ist für alle teilerfremden n, m ∈ /. Durch die Werte f(ps) auf den Primzahlpotenzen ist f also eindeutig bestimmt. Erinnerung:
$$\varphi \left( n \right): = ord\left( {/n - n} \right)* = \left| {\left\{ {\left. {a \in } \right|a \le n,\left( {a,n} \right) = 1} \right\} = n} \right|\prod\limits_{p \in P,\left. p \right|n} {\left( {1 - \frac{1}{p}} \right).} $$
.
Jürgen Wolfart

5. Primzahltests und Primfaktorzerlegung

Zusammenfassung
Das von Rivest, Shamir und Adleman 1978 publizierte Verschlüsselungsverfahren funktioniert folgendermaßen: Man nehme zwei sehr große Primzahlen pq (geheim) und bilde ihr Produkt n = pq; dieses darf öffentlich bekannt sein. Nun schreibe man die Nachricht, die z.B. von einer Außenstelle oder einem Agenten verschlüsselt an die Zentrale durchgegeben werden soll, zunächst nach einem einfachen Verfahren in Ziffernform, z.B. indem die Buchstaben in Form der Zahlen 1 bis 27 geschrieben werden und entsprechend Wortzwischenräume, Satzzeichen und Sonderzeichen durch andere Zahlen zwischen 28 und 99 ausgedrückt werden (dieser Teil des Verfahrens lohnt nicht, geheimgehalten zu werden). Der Sender der Nachricht erhält von der Zentrale dann einen Exponenten s ∈ /, der ebenfalls öffentlich bekannt sein darf und von dem nur gesichert sein muß, daß s zu ϕ(n) = (p−1)(q−1) teilerfremd ist.
Jürgen Wolfart

6. Körper und Körpererweiterungen

Zusammenfassung
Was Körper sind, wissen wir bereits aus Kap. 3: Ringe oder genauer Integritätsbereiche K, in denen K — 0 eine multiplikative Gruppe ist. Wenn LK ebenfalls ein Körper ist, nennt man L einen Erweiterungskörper, Oberkörper oder eine Körpererweiterung von K. Entsprechend heißt K dann Unterkörper von L.
Jürgen Wolfart

7. Galoistheorie

Zusammenfassung
Sei L/K eine Körpererweiterung. Die Menge der K-Isomorphismen σ: LL von L in sich bildet eine Gruppe, die Automorphismengruppe Aut L/K der Körpererweiterung, die auf L operiert (vgl. Abschnitt 2.6). Für jedes σ ∈ Aut L/K ebenso wie für jede Untergruppe G ⊇ Aut L/K bilden
$$Fix\,\sigma: = \left\{ {\left. {x \in L} \right|\sigma \left( x \right) = x} \right\}$$
bzw.
Jürgen Wolfart

Backmatter

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