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Über dieses Buch

Aus den Besprechungen: "Die vorliegende, umfangreiche Einführung berücksichtigt stärker als andere die historische Entwicklung. Das bedeutet nicht, daß der Autor grundsätzlich die ersten in der Literatur vorliegenden Beweise gewählt hat, sondern daß er angibt, wer die entsprechenden Sätze gefunden hat und wie sie im Laufe der Zeit verschärft und verallgemeinert wurden. Das ist eines der Unterscheidungsmerkmale von anderen Einführungen in die Zahlentheorie. Ein zweites liegt in der Betonung der Theorie der Diophantischen Approximation, genauer in den Untersuchungen über Irrationalität und Transzendenz. Man findet zu diesem Thema auch als Kenner überraschende Schlüsse. (...) Die Darstellung ist ausführlich, sehr gut lesbar und kommt ohne spezielle Kenntnisse aus. Das Buch kann daher jedem Studenten schon im nullten Semester empfohlen werden." #Monatshefte für Mathematik#1

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Teilbarkeit

Zusammenfassung
Die ersten zwei Paragraphen dieses einführenden Kapitels entwickeln die Teilbarkeitstheorie im speziellen Integritätsring der ganzen Zahlen in einem Umfang, der bereits interessante Teile der “elementaren” Zahlentheorie zu begründen gestattet. Diese beiden Anfangsparagraphen beschäftigen sich mit dem multiplikativen Aufbau der ganzen Zahlen aus Primzahlen und gipfeln in zwei Beweisen für den Fundamentalsatz der Arithmetik.
Peter Bundschuh

Kapitel 2. Kongruenzen

Zusammenfassung
Wie sich in Kap. 1 gezeigt hat, ist der Teilbarkeitsbegriff für die Zahlentheorie fundamental. Die dort begonnenen Untersuchungen über Teilbarkeit ganzer Zahlen werden jetzt fortgesetzt, allerdings aus einem anderen Blickwinkel und unter Verwendung des neuen Begriffs der Kongruenz.
Peter Bundschuh

Kapitel 3. Potenzreste, insbesondere quadratische Reste

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden, wie schon im Vorwort zum letzten in Aussicht gestellt, die Untersuchungen über Kongruenzen fortgeführt. Wie erinnerlich wurde in § 4 von Kap. 2 eine Methode vorgestellt, die die Gewinnung sämtlicher Wurzeln eines ganzzahligen Polynoms in einer Unbestimmten nach einem natürlichen Modul m auf die Ermittlung aller Wurzeln des Polynoms modulo aller in m aufgehenden Primzahlen reduziert.
Peter Bundschuh

Kapitel 4. Additive Probleme und diophantische Gleichungen

Zusammenfassung
In § 1 dieses Kapitels werden einige additive Fragen studiert. Dabei werden zwei weitere Beweise für das schon in 3.3.4 gezeigte Resultat über die Darstellbarkeit von Primzahlen als Summe zweier Quadrate gegeben. Interessant sind hierbei die Beweismittel: Einmal wird der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz mit einem Dirichletschen Schubfachschluß kombiniert, das andere Mal wird auf das Prinzip des kleinsten Elements zurückgegriffen. Überdies sind jeweils (wie übrigens häufig in diesem Kapitel) Kongruenzbetrachtungen anzustellen.
Peter Bundschuh

Kapitel 5. Verschiedene Entwicklungen reeller Zahlen

Zusammenfassung
Während bisher in diesem Buch die Untersuchung ganzer Zahlen weitgehend im Vordergrund stand, verlagert sich nun der Schwerpunkt der Thematik hin zu den reellen Zahlen. Insbesondere wird dabei die g-adische Entwicklung reeller Zahlen als Verallgemeinerung der geläufigen Dezimalbruchentwicklung behandelt ebenso wie die regelmäßige Kettenbruchentwicklung. Beide Darstellungen haben sich historisch bei dem Bemühen herausgebildet, reelle Irrational-zahlen möglichst gut durch rationale Zahlen anzunähern. Zusätzlich erfüllen dabei die Kettenbrüche die Forderung guter Approximation selbst bei Verwendung relativ kleiner, geeignet gewählter Nenner; dagegen sind die g-adischen Brüche vor allem für das praktische Rechnen von Vorteil, während bei ihnen das Verhältnis von erzielter Approximationsgüte zur Größe der verwendeten Nenner viel ungünstiger ausfällt.
Peter Bundschuh

Kapitel 6. Transzendenz

Zusammenfassung
Hier werden die in Kap. 5 begonnenen arithmetischen Untersuchungen vertieft, indem nicht mehr nur nach Irrationalität, sondern viel weitergehend nach Transzendenz reeller (und nun auch komplexer) Zahlen gefragt wird.
Peter Bundschuh

Kapitel 7. Primzahlen

Zusammenfassung
Dieses Schlußkapitel handelt nochmals, nun sehr ausführlich, von den multiplikativen Bausteinen der natürlichen Zahlen, den Primzahlen. Der Euklidsche Satz über die Unendlichkeit der Primzahlmenge, für den in den Kapiteln 1 und 2 fünf Beweise gegeben wurden, legt zahlreiche Fragen nahe, von denen hier einige besprochen werden sollen.
Peter Bundschuh

Backmatter

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