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Über dieses Buch

Das vorliegende Lehrbuch entwickelt Geometrie für die Studierenden des Lehramts Primarstufe von fünf Leitvorstellungen aus: Geometrie hilft uns beim Wahrnehmen räumlicher Zusammenhänge und bei der Orientierung im Raum, sie dient dem Erfassen von Formen und dem (künstlerischen) Gestalten von Mustern. Zudem beschäftigt sie sich mit dem Messen von Objekten, insbesondere auch von nichtzugänglichen Objekten über theoretische Hilfsmittel und hilft uns, unsere Realität mithilfe von Karten und Plänen darzustellen, aber auch Realitäten planerisch zu entwerfen. An diesen Leitvorstellungen wird das erforderliche fachmathematische Hintergrundwissen für den Geometrieunterricht der Grundschule und der frühen Sekundarstufe praxisnah und theoretisch fundiert aufgearbeitet.

Die Leserinnen und Leser sollen dabei aktiviert werden, eigene Entdeckungen zu machen. Daher bereitet das Erleben und Erkunden von Phänomenen aus Mathematik und Lebenswelt jeweils den Einstieg in die elementarmathematische Durchdringung des Fachinhaltes. Ein Bezug zur Unterrichtspraxis wird durch den Einbezug von Vorstellungsübungen und Arbeitsaufträgen gestützt, die Leserinnen und Leser können ihr Wissen an Kompetenzrastern selbst überprüfen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Dynamische Geometrie

Zusammenfassung
Geometrie ist die Wissenschaft von den Formen und ihren Eigenschaften, von Mustern und ihren Strukturen. Zum einen hat sie als jahrtausendealte Wissenschaft mathematische Resultate hervorgebracht. So ist zum Beispiel der Satz des Pythagoras seit über 2000 Jahren von der Menschheit als wahre Aussage akzeptiert und wird auch in weiteren 2000 Jahren noch gültig sein. Dies ist gewissermaßen ein statischer Aspekt der Geometrie, der noch dadurch verstärkt wird, dass der Satz selbst als Aussage über rechtwinklige Dreiecke statisch ist.
Doch Geometrie hat auch dynamische Aspekte, durch sie können Bewegungen beschrieben oder hergestellt werden (z. B. Drehbewegungen von Maschinen oder Robotern, Baggerschaufeln mithilfe von beweglichen Vierecken, u. v. m.) (Roth 2010).
In diesem Kapitel geht es zum einen darum, die Geometrie in Ihren Köpfen lebendig werden zu lassen. Dafür werden wir das Instrument der mathematischen Vorstellungsübungen aktivieren (Weber 2010), um Vorstellungen zu geometrischen Sachverhalten bei Ihnen wachzurufen. Diese Vorstellungen sind Ihre ganz individuellen Zugänge zur Mathematik, die helfen, eigene Gedanken und Bilder zu geometrischen Situationen einzubringen. Damit bilden Vorstellungsübungen eine Brücke zwischen Ihrem eigenen Denken (als Lernende) und dem geometrischen Wissenskanon (aus Sicht der Lehrenden). Außerdem wird die Dynamische-Geometrie-Software ″GeoGebra″ vorgestellt. Mit ihr lassen sich bewegte geometrische Situationen erzeugen und bildgestützte Repräsentationen erstellen, die dabei helfen, sich geometrische Sachverhalte besser vorstellen zu können. Insbesondere in komplexeren Situationen, in denen die eigene Vorstellung versagt, kann dieses Werkzeug eine große Hilfe sein.
Markus Helmerich, Katja Lengnink

2. Geometrische Raumvorstellungen

Zusammenfassung
Warum beschäftigen wir uns eigentlich mit Geometrie? Geometrie hilft uns, unsere Wahrnehmungen der Welt zu strukturieren und zu ordnen. Sie unterstützt uns dabei, uns in unserer Welt zu orientieren. Wie dies funktioniert und welche mathematischen Mittel wir dabei einsetzen, ist Gegenstand dieses Kapitels. Dabei werden die Komponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens an Beispielen besprochen: Räumliches Wahrnehmen und räumliche Beziehung, Bewegungen von geometrischen Figuren und Körpern in der Ebene und im Raum, räumliche Orientierung in der Ebene und im Raum, und abschließend bei der Koordinatisierung und einem ersten Einblick in Maße angewendet.
Markus Helmerich, Katja Lengnink

3. Formen und Muster erfassen

Zusammenfassung
Formen und Muster begegnen uns in unserem Alltag, wir sehen sie in unseren Alltag hinein oder stellen sie sogar für unseren Alltag her. In diesem Kapitel geht es darum, Formen und Muster phänomenologisch und mathematisch zu erfassen sowie Schritt für Schritt präzise zu beschreiben. Vorgestellt werden grundlegende Formen in der Ebene, insbesondere Vierecke und Dreiecke. Neben einer systematischen Strukturierung dieser Figuren werden dabei auch wichtige Grundbegriffe der Geometrie, wie Parallelität, Winkel und Symmetrie von Figuren eingeführt. Für den Vergleich von Figuren spielt die Kongruenz eine zentrale Rolle. Dazu werden die Kongruenzabbildungen Drehung, Spiegelung und Verschiebung eingehend behandelt und auch Aspekte der Konstruktion geklärt. Weiterhin werden zentrale Sätze zu besonderen Linien und Punkten am Dreieck und Kreis besprochen. Im letzten Abschnitt bietet die Erkundung der dritten Dimension eine Einführung in die geometrischen Körper, insbesondere der Platonischen Körper.
Markus Helmerich, Katja Lengnink

4. Formen und Muster gestalten

Zusammenfassung
Nach der Einführung in die Welt der Formen und Figuren in Kap. 3 ″Formen und Muster erfassen″ werden nun die gewonnenen Erkenntnisse zu Symmetrie‐ und Kongruenzabbildungen für die Analyse und Gestaltung von Mustern aus geometrischen Grundformen genutzt. Hierbei werden insbesondere Bandornamente und Parkettierungen als Muster der Ebene sowie Kreismuster in Maßwerkfenstern betrachtet. Im letzten Abschnitt werden Möglichkeiten der Gestaltung von geometrischen Körpern vorgestellt.
Markus Helmerich, Katja Lengnink

5. Messen von Objekten

Zusammenfassung
Eine zentrale Idee und Ursprung in der Entwicklung der Geometrie ist das Messen von Objekten. Ausgehend von Fragestellungen der Landvermessung zur Bestimmung von Anbauflächen wurden die Methoden zum Messen von geometrischen Figuren und Objekten immer weiter entwickelt. Mit den Strahlensätzen schließlich wird eine mathematische Methode angegeben, auch unzugängliche Strecken über theoretische Einsicht zu messen. Messen kann verstanden werden als das Vergleichen von Objekten, z.B. Strecken und Flächenstücken. Wenn aber das Maß und das zu messende Objekt nicht mehr gleichzeitig am gleichen Ort verfügbar sind, ist es notwendig, zum indirekten Vergleich mit standardisierten Einheitsmaßen überzugehen, z.B. der metrischen Skalierung auf einem Lineal. Es werden grundlegende Zugänge zur Längenmessung, Flächeninhaltsbestimmung und zur Ermittlung des Oberflächeninhalts und des Rauminhalts von geometrischen Körpern vorgestellt. Zusätzlich werden in diesem Kapitel auch wichtige geometrische Sätze wie die Satzgruppe des Pythagoras und der Umfangswinkelsatz behandelt. Abschließend wird in die Trigonometrie eingeführt.
Markus Helmerich, Katja Lengnink

6. Realität abbilden, planen und entwerfen

Zusammenfassung
Um die uns umgebende Welt zu erfassen, über sie kommunizieren zu können, aber auch für ihre (technische) Gestaltung neue Elemente zu entwerfen und zu planen, brauchen wir Hilfsmittel aus der Geometrie: Karten stellen die Landschaft dar und unterstützen uns bei der Navigation, Pläne helfen dabei, sich in neuem Gelände und großen Gebäuden zurechtzufinden, Konstruktionszeichnungen sind die Grundlage für die Entwicklung und Fertigung von Möbeln oder technischen Geräten, Baupläne liefern über ihre Abbildungen eine Unterstützung, wie das Modellauto oder das Haus zu bauen ist. Wir sind den Umgang mit Bildern der Welt gewohnt, genießen es, Fotos imposanter Landschaften oder beeindruckender Architektur anzuschauen, und aus diesen ebenen Darstellungen eine Vorstellung von der Beschaffenheit sowie der dreidimensionalen Lage und Form zu gewinnen, auch wenn all diese Abbilder nie die ganze dreidimensionale Realität erfassen. In diesem Kapitel sollen grundlegende Verfahren zur Darstellung von dreidimensionalen Objekten eingeführt werden. Außerdem soll ein Einblick in mathematische Beschreibungen von räumlichen Körpern durch Netze und Baupläne sowie das Arbeiten mit Maßstäben im Umgang mit Karten gegeben werden.
Markus Helmerich, Katja Lengnink

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