Einführung

Wirft man einen Würfel bis zur ersten Sechs, so kann man die Wahrscheinlichkeit, dass dies gerade beim

n-

ten Wurf passiert, berechnen, indem man die Menge Ω

n

≔ {1,…, 6}

n

aller

n

-Tupel betrachtet, die man mit den Augenzahlen 1,…, 6 bilden kann. Ω

n

besteht aus {Ω

n

}

=

6

n

Elementen und bei einem fairen Würfel sollte jedes

n

-Tupel gleich wahrscheinlich sein. Die erste Sechs erscheint gerade dann beim

n

-ten Wurf, wenn das

n

-Tupel der Wurfergebnisse

A

n

≔ (x

1

,…,

x

n−

1,6): x

i

∈ {1, …, 5} Vi = 1, …,

n

− 1 liegt. Wegen

{A

n

} = 5

n−1

folgt dann aus der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition

% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBb50ujb % qeguuDJXwAKbacfiGae8huaa1aaeWaaeaacqWFbbqqdaWgaaWcbaGa % e8NBa4gabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maabmaabaWaaSaaae % aaiuaacqGFNbWzcuGF1bqDgaWaaiab+5gaUjab+nhaZjab+rha0jab % +LgaPjab+DgaNjab+vgaLjaaykW7cqGFgbGrcuGFHbqygaWaaiab+X % gaSjab+XgaSjab+vgaLbqaaiab+1gaTjqb+9gaVzaadaGae43zaCMa % e4hBaWMae4xAaKMae43yamMae4hAaGMae4xzauMaaGPaVlab+zeagj % qb+fgaHzaadaGae4hBaWMae4hBaWMae4xzaugaaaGaayjkaiaawMca % aiabg2da9maalaaabaGae4xnauZaaWbaaSqabeaacqWFUbGBcqGHsi % slcqGFXaqmaaaakeaacqGF2aGndaahaaWcbeqaaiab-5gaUbaaaaGc % caGGUaaaaa!7108!

$$ P\left( {A_n } \right) = \left( {\frac{{g\ddot unstige\,F\ddot alle}} {{m\ddot ogliche\,F\ddot alle}}} \right) = \frac{{5^{n - 1} }} {{6^n }}. $$