1. Einführung

Das Kapitel behandelt die grundlegenden Prinzipien der Zahldarstellung und die damit verbundenen numerischen Fehler, die in der Computer-Numerik auftreten. Es wird erläutert, wie reelle Zahlen auf Rechnern dargestellt werden und welche Fehlertypen dabei entstehen. Besonders die Darstellung irrationaler Zahlen wie π und die Approximation rationaler Zahlen werden detailliert untersucht. Der Text geht auf die Begriffe der Gleitpunktzahlen und Maschinenzahlen ein, die als Näherungen für reelle Zahlen verwendet werden. Es wird die Rundung und deren Auswirkungen auf die Genauigkeit der Berechnungen analysiert. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der Fehlerverstärkung und -fortpflanzung bei verschiedenen Rechenoperationen, wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Dabei wird die Bedeutung der relativen Fehler und deren Abschätzung betont. Zudem werden Hilfsmittel der linearen Algebra, wie Vektor- und Matrixnormen, zur Fehlerabschätzung bei linearen Gleichungssystemen vorgestellt. Das Kapitel schließt mit der Diskussion der relativen Kondition und Konditionszahl von Matrizen, die entscheidend für die stabile Lösung linearer Gleichungssysteme sind. Die Leser erhalten somit ein umfassendes Verständnis der numerischen Fehler und deren Kontrolle, was für die Entwicklung zuverlässiger Algorithmen und Softwareumgebungen von großer Bedeutung ist.