Einführungskurs Höhere Mathematik

Frontmatter

1. Die zwei Hauptprobleme der Infinitesimalrechnung

Zusammenfassung

Bewegt sich ein Körper gleichmäßig während eines Zeitraumes von 2 Sekunden um 6 Meter, so ist seine Geschwindigkeit leicht zu bestimmen:

$$ \begin{array}{*{20}c} {{\text{Geschwindigkeit}} = \frac{{{\text{Weg}}}} {{{\text{Zeit}}}} = \frac{{{\text{6 Meter}}}} {{6{\text{ Sekunden}}}}} \\ { = 3{\text{ Meter pro Sekunde}}} \\ \end{array} $$

Nehmen wir nun an, das Objekt bewege sich mit variabler Geschwindigkeit. Wie können wir dann die momentane Geschwindigkeit für jeden Zeitpunkt bestimmen, wenn wir für jedes beliebige Zeitintervall die Länge seines Weges kennen? Beispielsweise möge ein Stein in den ersten t Sekunden seines Falles 5 t² Meter zurücklegen, wie dies auch Galilei seinerzeit gefunden hat. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Steines t Sekunden nach Beginn seines Falles? Die Antwort auf diese Frage wird im Abschnitt 1.1 gegeben und führt auf das erste der beiden Hauptgebiete der Infinitesimalrechnung, auf die Differentialrechnung.

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2. Funktionen und ihre Schaubilder; der Anstieg einer Geraden

Zusammenfassung

Um die Ideen von Kap. 1 weiter zu entwickeln, müssen wir neue Konzepte und Definitionen einführen. Am wichtigsten sind die Begriffe Funktion und Schaubild, die in diesem Kapitel behandelt und in Abschnitt 2.3 auf den Spezialfall der geraden Linie angewendet werden. Insbesondere wird der Anstieg einer Geraden definiert. Im 3. Kapitel werden alle diese Begriffe zur Definition der Ableitung herangezogen.

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3. Die Ableitung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird der Begriff der Ableitung eingeführt. Dies ist einer der wichtigsten Begriffe der Infinitesimalrechnung. Er soll an Beispielen aus Geometrie und Physik erläutert werden.

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4. Grenzwerte und stetige Funktionen

Zusammenfassung

Im vorigen Kapitel wurde die Definition der Ableitung auf den Begriff des Grenzwertes zurückgeführt. Dieser und der damit nahe verwandte Begriff der stetigen Funktion werden nun weiter untersucht. Darüber hinaus diskutieren wir zwei spezielle Grenzwerte, die zur Berechnung der Ableitung gebräuchlicher Funktionen benötigt werden. Einer dieser Grenzwerte betrifft die Exponentialfunktion, der andere die Trigonometrie. Wir beginnen mit einem Überblick über diese beiden Gebiete.

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5. Berechnung von Ableitungen

Zusammenfassung

In Kap. 3 wurde die Ableitung von Funktionen definiert und verschiedene Beispiele wurden durchgerechnet, darunter etwa:

$$ \begin{array}{*{20}c} {\left( {x^n } \right)^\prime = nx^{n - 1} ,} & {n = 1,2,3,...} \\ {\left( {\sqrt x } \right)^\prime = \frac{1} {{2\sqrt x }},} & {\left( {\frac{1} {x}} \right)^\prime = - \frac{1} {{x^2 }}.} \\ \end{array} $$

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6. Anwendungen der Ableitung

Zusammenfassung

Im Abschnitt 1.1 wurde die Geschwindigkeit eines fallenden Steines untersucht und gleichzeitig das Konzept der Ableitung plausibel gemacht. In Kapitel 2 wurde der Begriff der Funktionen und in Kapitel 3 die formale Definition der Ableitung eingeführt. Geschwindigkeit, Anstieg, Vergrößerung und Dichte waren verschiedene einfache Anwendungen der Ableitung einer Funktion. Mit Hilfe der in Kapitel 4 entwickelten Grenzwerte wurden in Kapitel 5 elementare Funktionen differenziert, die durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division sowie Zusammensetzung aus x ⁿ , der Exponential- und Logarithmusfunktion und den trigonometrischen Funktionen aufgebaut sind. Alle diese Begriffe sollen nun weiter auf die graphische Darstellung von Funktionen, die Bestimmung von Extremwerten und die Untersuchung von Wachstums- und Zerfallsraten angewendet werden.

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7. Das bestimmte Integral

Zusammenfassung

Die Kapitel 3 bis 6 haben sich mit den Eigenschaften der Ableitung beschäftigt (siehe auch Abschnitt 1.1). In Abschnitt 1.2 wurde das zweite Hauptproblem der Infinitesimalrechnung eingeführt, die Ermittlung des bestimmten Integrals. Die nächsten drei Kapitel werden sich mit diesem Problem beschäftigen. Viele Erkenntnisse aus den Kapiteln 2 bis 6 werden für das folgende von Nutzen sein. Wie sich zeigen wird, sind die Ableitung und das bestimmte Integral miteinander derart eng verknüpft, daß die Berechnung vieler bestimmter Integrale auf Eigenschaften der Ableitung zurückgeführt werden kann.

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8. Die Hauptsätze der Infinitesimalrechnung

Zusammenfassung

Wir haben in den vergangenen Kapiteln die zwei Grundbegriffe der Infinitesimalrechnung, die Ableitung und das bestimmte Integral kennengelernt. Die Ableitung gibt eine lokale Information, etwa über Anstieg und Geschwindigkeit in irgendeinem Punkt oder zu irgendeinem Zeitpunkt; das bestimmte Integral gibt eine globale Information, etwa über die Fläche eines Gebietes oder den zurückgelegten Weg. Wie sich herausstellt, sind diese beiden Grundbegriffe eng miteinander verknüpft.

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9. Berechnung von Stammfunktionen

Zusammenfassung

Im Kapitel 5 haben wir gezeigt, wie man die Ableitung einer elementaren Funktion berechnet. Im Kapitel 7 wurde die Berechnung von bestimmten Integralen auf die Berechnung der Stammfunktion zurückgeführt. Im vorliegenden Kapitel wollen wir einige Methoden zur Berechnung von Stammfunktionen entwickeln.

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10. Berechnung und Anwendungen bestimmter Integrale

Zusammenfassung

Dieses Kapitel wendet die Überlegungen und Methoden der Kapitel 7 bis 9 auf die Berechnung von Flächen, Volumina, Bogenlängen und Oberflächen an. Wir werden lernen, wann eine Größe durch ein bestimmtes Integral dargestellt werden kann, und wie dieses bestimmte Integral mit Hilfe des Fundamentalsatzes berechnet werden kann. Es ist überflüssig, sich die verschiedenen Formeln einzuprägen, die wir erhalten werden. Das Verständnis der grundlegenden Ideen sollte es möglich machen, jede benötigte Formel jeweils neu abzuleiten. Im übrigen sind alle interessanten Flächen, Bogenlängen und Volumina längst bekannt und in mathematischen Handbüchern zusammengestellt. Trotzdem müssen wir wissen, warum solche Größen als bestimmte Integrale dargestellt werden können.

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11. Anwendungen der Ableitung

Zusammenfassung

In Kapitel 6 wurde gezeigt, wie die erste und die zweite Ableitung zur Darstellung von Kurven, zur Bestimmung ihrer Maxima und Minima und zur Untersuchung der Bewegung von Körpern verwendet werden kann. In diesem Kapitel werden wir nun fünf weitere Problemkreise behandeln, bei denen die Ableitung eine Rolle spielt. Der Abschnitt 11.1 beschäftigt sich mit der Berechnung der Ableitung, wenn die Ausgangsfunktion indirekt gegeben ist; diese Methode wird zur Bestimmung von Maxima und Minima verwendet werden. Abschnitt 11.2 stellt den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und den Zuwachsraten verschiedener Größen her. In Abschnitt 11.3 wird die Ableitung zur Abschätzung der Lösungen einer Gleichung herangezogen. Die erste und zweite Ableitung kommen im Abschnitt 11.4 bei der Beschreibung von Kurvenkrümmungen zur Anwendung. In Abschnitt 11.5 wird die Bestimmung des Winkels zwischen einer Geraden und einer Tangente besprochen.

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12. Partielle Ableitungen

Zusammenfassung

Das Volumen V eines zylindrischen Gefäßes mit dem Radius r und der Höhe h ist durch die Formel

$$ V = \pi r^2 h $$

gegeben. Das Volumen hängt von den zwei Zahlen r und h ab. Der Ausdruck πr²h gibt uns ein Beispiel für eine Funktion zweier Variabler, r und h. Kapitel 11 beschäftigte sich überwiegend mit Funktionen einer Variablen. Kapitel 12 ist den Funktionen zweier Variabler, ihren Graphen, ihren Ableitungen und ihren Extremwerten gewidmet. Da die Graphen solcher Funktionen üblicherweise Flächen im Raum sind (anstatt Kurven in der Ebene), konzentrieren sich die ersten drei Abschnitte auf die Geometrie des Raumes.

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13. Bestimmte Integrale über ebene Gebiete

Zusammenfassung

In Kapitel 7 wurde das bestimmte Integral einer Funktion f über ein Intervall [a;b] diskutiert. Wir haben dabei das Intervall in Abschnitte unterteilt und in jedem dieser Abschnitte einen Testpunkt ausgewählt, um eine Näherungssumme zu bilden. Das bestimmte Integral war dann der Limes dieser Summe, wenn die Unterteilungen des Intervalls immer feiner und feiner gemacht wurden.

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14. Reihen

Zusammenfassung

Es gibt Funktionen, die zwar selbst nicht Polynome sind, aber durch Polynome sehr gut angenähert werden können. Wie wir in Abschnitt 14.2 sehen werden, liefert das Polynom

$$ 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^n $$

für | x |< 1 und große Werte von n eine gute Näherung der Funktion

$$ \frac{1} {{1 - x}}. $$

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15. Taylorsche Reihe und der Zuwachs einer Funktion

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir untersuchen, wie die höheren Ableitungen einer Funktion das Wachstumsverhalten dieser Funktion beeinflussen. Mit Hilfe unserer Erkenntnisse werden wir die Differenz

$$ f(x) - \left[ {f(a) + \frac{{f^{(1)} (a)}} {{1!}}(x - a) + ... + \frac{{f^{(n)} (a)(x - a)^n }} {{n!}}} \right] $$

bestimmen können. Ferner werden wir e ^x , sinx und cosx in einfacher Weise durch Potenzreihen darstellen, wie dies in Kapitel 14 bereits vorausgesetzt wurde.

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16. Das Moment einer Funktion

Zusammenfassung

Dieses Kapitel behandelt vor allem bestimmte Integrale der Gestalt\( \int\limits_a^b {\left( {x - k} \right)f(x)\,dx} \), wobei f für eine Funktion und k für eine Zahl steht. Dieser Integraltyp tritt in den verschiedensten Anwendungen auf, wie etwa bei der Berechnung folgender Größen: Volumen eines Rotationskörpers, Arbeit bei der Leerung eines Behälters, Kraft gegen einen Damm, Schwerpunkt eines ebenen Gebietes sowie Schwerpunkt eines Stabes.

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17. Mathematische Modelle

Zusammenfassung

In Abschnitt 6.4 wurde anhand der Differentialgleichung

$$ \frac{{dy}} {{dt}} = ky $$

das Verhalten von Wachstum und Zerfall untersucht. Ebenso wie diese Differentialgleichung reale Wachstumsvorgänge in mathematischer Sprache beschreibt, können auch viele andere reale Phänomene im Rahmen mathematischer Modelle behandelt werden. Solche Modelle können in Begriffen der Mengenlehre, der Algebra oder auch anderer Zweige der Mathematik formuliert sein.

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18. Bestimmte Integrale über räumliche Gebiete

Zusammenfassung

In Kapitel 7 wurde das bestimmte Integral über ein Intervall, in Kapitel 13 über ein ebenes Gebiet eingeführt. In diesem Kapitel wollen wir das bestimmte Integral über räumliche Gebiete untersuchen. Dieses Integral tritt z.B. im Zusammenhang mit Flüssigkeitsströmungen, mit Gravitationsproblemen sowie Rotationsbewegungen auf.

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19. Vektoralgebra

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die Algebra ebener und räumlicher Vektoren besprechen. Abschnitt 19.6 behandelt die Teile der Determinanten-Theorie, die zu einer einfachen Darstellung bestimmter vektorieller Konzepte erforderlich sind. Nur in Abschnitt 19.5 werden zur Verallgemeinerung des Begriffes partieller Ableitungen Elemente der Infinitesimalrechnung herangezogen.

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20. Die Ableitung einer Vektorfunktion

Zusammenfassung

Die geradlinige Bewegung eines Teilchens wird am einfachsten durch die Einführung eines Koordinatensystems beschrieben, das die Bahngerade enthält. Die Bewegung eines Teilchens auf einem gekrümmten Weg und auch die auf das Teilchen wirkenden Kräfte können am besten durch Vektoren dargestellt werden. So ist die Anziehung der Erde auf ein Raumschiff durch einen Vektor gekennzeichnet, der direkt auf den Erdmittelpunkt weist (Bild 20.1).

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21. Integrale über skalare Felder und Vektorfelder

Zusammenfassung

Dieses Kapitel behandelt Vektorfelder, skalare Felder und verschiedene Integrale dieser Felder. Zunächst geht es um die Einführung der Begriffe und geeigneter Bezeichnungsweisen. Das folgende Kapitel wird dann die Zusammenhänge zwischen den hier eingeführten Integralen darstellen.

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22. Die Greensche Formel und ihre Verallgemeinerungen

Zusammenfassung

Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung verbindet das Integral einer Funktion über ein Intervall [a; b] mit den Werten einer anderen Funktion an den Endpunkten des Intervalls:

$$ \int\limits_a^b {F\prime \left( x \right)dx = F\left( b \right) - } F\left( b \right) $$

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23. Das Vertauschen von Grenzwerten

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die Beweise für einige Theoreme nachgeholt, deren Gültigkeit zunächst vorausgesetzt wurde. In Abschnitt 23.1 wird die Gleichheit der gemischten partiellen Ableitungen f _xy und f _yx untersucht (siehe auch Abschnitt 12.4). Der dann folgende Abschnitt beschäftigt sich mit der Ableitung von \( \int\limits_a^b {f(x;y)\,dx} {\text{ }} \) nach y (siehe die Übungen von Kapitel 22). Die gliedweise Differentiation und Integration einer Potenzreihe wird in Abschnitt 23.3 behandelt (siehe auch Abschnitt 14.7). Der Abschnitt 23.5 leitet zu weiterführenden Methoden über und illustriert die gemeinsamen Aspekte der ersten drei Abschnitte.

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