Einleitung

Die mathematische Behandlung zufälliger geometrischer Strukturen beginnt im 18. Jahrhundert (Buffonsches Nadelproblem). Aus diesen frühen Ansätzen und vereinzelten Beiträgen im 19. Jahrhundert, etwa von Crofton, haben sich zwei eng verbundene mathematische Disziplinen entwickelt, die Integralgeometrie und die Geometrischen Wahrscheinlichkeiten. Ein kurzer Überblick über diese historische Entwicklung wird in der Einleitung zu Schneider & Weil [1992] gegeben. Sowohl die stochastische Interpretation integralgeometrischer Formeln als auch andere Ergebnisse über geometrische Wahrscheinlichkeiten zeichnen sich dadurch aus, daß eine feste Anzahl geometrischer Objekte mit fester Form betrachtet wird; lediglich die Lage (und eventuell die Orientierung) der Objekte ist zufällig. Meist werden Lage und Orientierung als gleichverteilt bezüglich invarianter Maße angenommen, wozu die Betrachtung auf Dreh- und Translationsbilder einer Menge A ⊂ ℝn beschränkt bleiben muß, die eine (feste) Referenzmenge A₀ ⊂ ℝn schneiden. Solche Modellannahmen erlauben häufig den direkten Einsatz von Integralformeln, bei denen über die Gruppe der Translationen oder über die Gruppe aller Bewegungen des ℝn integriert wird; Beispiele sind die kinematische Hauptformel der Integralgeometrie oder die Croftonsche Schnittformel. Die Anwendbarkeit solcher Resultate etwa in der Stereologie bleibt aufgrund des integralgeometrischen Rahmens begrenzt, so daß die Frage nach flexibleren Modellen für zufällige Mengen und zufällige Felder von Mengen in natürlicher Weise entsteht.