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2022 | Buch

Elektrodynamik

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Über dieses Buch

Dieses Buch umfasst ausgewählten Vorlesungsstoff der Theoretischen Physik: Elektrodynamik für Studierende im Grundstudium. Nach einer Einführung in die Grundbegriffe und die Maxwell’schen Gleichungen folgen Kapitel über Elektrostatik und Magnetostatik. Anschließend wird die spezielle Relativitätstheorie als Konsequenz der Lorentz-invarianten Maxwell-Theorie vorgestellt, so dass im folgenden Kapitel die vierdimensionale Formulierung der Elektrodynamik mit Feldstärketensor, Energie-Impuls-Tensor sowie die Lagrange-Formulierung eingeführt werden kann. Elektromagnetische Wellen werden im Vakuum und in Materie untersucht, sowie Wellenpakete und die Reflexion und Brechung an Grenzflächen studiert. Die Felder bewegter Ladungen, die zugehörigen Liénard-Wiechert Potenziale für bewegte Punktladungen und die Larmor-Formel leiten über zum Hertz’schen Dipol. Die durch den schwingenden Dipol erzeugten Felder folgen hier aus den zeitabhängigen Potenzialen.

Anhand von insgesamt über 40 Testaufgaben mit Lösungen am Ende der Kapitel wird der Leser dazu motiviert, den Stoff selbst beispielhaft nachzurechnen und das Gelernte zu festigen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Einführung
Zusammenfassung
In der Elektrodynamik untersuchen wir elektrische und magnetische Felder, deren Erzeugung durch Ladungen und Ströme, ihre Ausbreitung in Form elektromagnetischer Wellen und ihre Wirkung auf Materie durch elektromagnetische Kräfte. Die Einführung gibt zunächst einen Überblick zur historischen Entwicklung der klassischen Elektrodynamik seit der frühen Entdeckung von Magnetismus und Elektrizität. Über die Untersuchung der Wechselwirkung von Strömen durch Ampère und die Formulierung des Induktionsgesetzes durch Faraday kommen wir zu den Maxwell’schen Gesetzen als vollständigem Gleichungssystem des elektromagnetischen Feldes, und zur speziellen Relativitätstheorie. Als Grundbegriffe werden Ladungen und Ströme samt Ladungserhaltung und Kontinuitätsgleichung eingeführt, und anschliessend die Maxwell’schen Gleichungen in integraler Form diskutiert: Zunächst wie in der Experimentalphysik üblich im SI-System, anschliessend folgt der Übergang zum in der Theorie gebräuchlichen Gauß’schen Einheitensystem.
Georg Wolschin
Kapitel 2. Elektrostatik
Zusammenfassung
Die Elektrostatik befasst sich mit zeitunabhängigen Verteilungen von Ladungen und Feldern. Dabei werden Begriffsdefinitionen, Konzepte und mathematische Werkzeuge eingeführt, die wir auch in den späteren Kapiteln der Elektrodynamik benötigen. Charakteristisch sind Idealisierungen wie Punktladungen oder elektrische Felder an einem Raumpunkt, die in vielen Fällen eine sinnvolle makroskopische Betrachtungsweise und die damit verbundenen mathematischen Vereinfachungen ermöglichen, wenngleich sie auf mikroskopischem Niveau manchmal nicht korrekt sind. Grundlegend sind dabei zunächst das elektrische Feld und das zugehörige zeitunabhängige elektrische Potenzial, mit der Poisson-Gleichung für den Zusammenhang zwischen Ladung und elektrischem Potenzial. Die Gesetze der Elektrostatik beruhen dabei primär auf der Coulomb-Kraft, der Kraft zwischen zwei ruhenden geladenen Körpern. Die insbesondere für die Multipolentwicklung erforderlichen mathematischen Werkzeuge wie Kugelflächenfunktionen werden in einem mathematischen Einschub bereitsgestellt. Elektrizität auf Leitern, Kondensatoren und Feldenergie in Materie werden diskutiert. Das Kapitel schliesst mit dem Green’schen Satz und der Green’schen Funktion.
Georg Wolschin
Kapitel 3. Magnetostatik
Zusammenfassung
In der Magnetostatik untersuchen wir Phänomene, die durch zeitlich konstante Ströme entstehen und stationäre Magnetfelder hervorrufen. Es werden zunächst das Ampère’sche und das Biot-Savart’sche Gesetz vorgestellt, sowie - als Pendant zum skalaren Potenzial in der Elektrostatik - das durch eine lokalisierte Stromverteilung erzeugte Vektorpotenzial und seine Multipolentwicklung. Das magnetische Moment einer Stromverteilung wird eingeführt, und sein Zusammenhangmit dem Drehimpuls diskutiert. Wir besprechen dann die Magnetisierung von Medien als Folge molekularer Ströme, die zusätzlich zum Beitrag der Stromdichte das Vektorpotenzial beeinflussen. Abschliessend werden Energie und Kraft im statischen magnetischen Feld behandelt.
Georg Wolschin
Kapitel 4. Spezielle Relativitätstheorie
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden Kernpunkte der Einstein’schen speziellen Relativitätstheorie vorgestellt, zunächst eine Einführung in die grundlegenden Prinzipien Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und Lorentz-Transformation. Es folgen die daraus abgeleitete Zeitdilatation und Längenkontraktion bei relativistisch bewegten Objekten mit physikalisch relevanten Beispielen, und ein historischer Einschub, der auf die Ablösung der seit Fresnel (1816) gelehrten, nunmehr obsoleten Theorie eines absolut ruhenden Äthers durch die spezielle Relativitätstheorie (1905) eingeht - als Folge des experimentellen Faktums, dass die Lichtgeschwindigkeit konstant ist und nicht von der Richtung der Erdbewegung abhängt (Michelson und Morley 1881, 1887). Nach einer Rekapitulation der Notation im Minkowski-Raum werden Viererpotenzial und Relativitätsprinzip, Vierergeschwindigkeit und Viererimpuls in kovarianter Schreibweise diskutiert, mit Beispielen zur Anwendung im Teilchenzerfall und auf Teilchenkollisionen bei relativistischen Energien.
Georg Wolschin
Kapitel 5. Vierdimensionale Formulierung der Elektrodynamik
Zusammenfassung
In diesem Kapitel diskutieren wir die Maxwell-Theorie im vierdimensionalen Minkowski-Raum. Zunächst bilden wir aus der elektrischen und magnetischen Feldstärke den Feldstärketensor, aus Ladungs- und Stromdichte die Viererstromdichte und aus skalarem und vektoriellem Potenzial das Viererpotenzial - aus dem sich wiederum die Felder berechnen lassen. Die Maxwell-Gleichungen können wir dann als Zusammenhang von Viererstromdichte und kovarianter Ableitung des Feldstärketensors darstellen, in Lorenz-Eichung auch direkt als zweite Ableitung des Viererpotenzials. Ausgehend von den inhomogenen Maxwell-Gleichungen lassen sich Energiedichte und Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes als Komponenten des Energie-Impuls-Tensors darstellen. Anschliessend besprechen wir die Lagrange-Formulierung. Sie ermöglicht einen besonders eleganten Zugang zur Maxwell-Theorie, der auch eine neue Motivation der Grundgleichungen liefert: Homogene und inhomogene Maxwell-Gleichungen folgen hier aus der Forderung, dass die Variation der Wirkung verschwindet.
Georg Wolschin
Kapitel 6. Elektromagnetische Wellen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel diskutieren wir elektromagnetische Wellen. Dies sind Transversalwellen, deren Ausbreitung durch die Maxwell-Gleichungen – im Vakuum durch die daraus folgende d’Alembert’sche Wellengleichung – auch ohne jedes Trägermedium korrekt beschrieben wird. Wir behandeln zunächst ebene Wellen in homogenen unbegrenzten Medien, ihre Dispersion und Polarisation sowie Phasen- und Gruppengeschwindigkeit. Die Wellenausbreitung hängt von Dielektrizitätskonstante und Permeabilität des Mediums ab und folgt den Telegraphengleichungen, die sich aus den Grundgleichungen ableiten lassen und bei Isolatoren in normale Wellengleichungen übergehen. Spezielle Gesetze der Wellenausbreitung gelten in Leitern und Hohlleitern. Die Ausbreitung von Wellenpaketen, die aus unterschiedlichen Fourier-Komponenten bestehen, und ihr Zerfließen bei frequenzabhängiger Ausbreitungsgeschwindigkeit wird untersucht. Im Gegensatz dazu behalten Wellenpakete ohne Dispersion - sogenannte Solitonen - ihre Form. Abschliessend besprechen wir Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen an Grenzflächen.
Georg Wolschin
Kapitel 7. Felder bewegter Ladungen – elektrodynamische Potenziale
Zusammenfassung
Beschleunigt bewegte Ladungen emittieren elektromagnetische Strahlung. Zur theoretischen Beschreibung dieses Prozesses ist ein Formalismus erforderlich, der Strahlungsintensität und Polarisation direkt mit den Eigenschaften der Trajektorie der beschleunigten Ladung verknüpft. Von Interesse sind auch die insgesamt emittierte Strahlung, ihre Winkelverteilung, und ihr Frequenzspektrum. Wir lösen wir in diesem Kapitel zunächst eine inhomogene Wellengleichung für das Viererpotenzial und benutzen dazu die Green’sche Funktion, die jetzt jedoch – anders als in der Elektrostatik – von Ort und Zeit abhängt, und bestimmen sie mit funktionentheoretischen Methoden (Residuensatz). Anschliessend berechnen wir die Liénard-Wiechert-Potenziale für bewegte Punktladungen und die nichtrelativistische Larmor-Formel für die Abstrahlung einer beschleunigten Punktladung.
Georg Wolschin
Kapitel 8. Hertz’scher Dipol
Zusammenfassung
Im kurzen Schlusskapitel diskutieren wir die Abstrahlung schwingender Ladungen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der elektrischen Dipolstrahlung, dem nach Heinrich Hertz benannten Hertz’schen Dipol. Die durch einen solchen schwingenden Dipol erzeugten Felder folgen direkt aus den Ausdrücken für die zeitabhängigen Potenziale, die wir im vorangehenden Kapitel abgeleitet haben. Die abgestrahlte Leistung lässt sich ebenfalls exakt berechnen, sie ist umgekehrt proportional zur vierten Potenz der Wellenlänge: Einem vergleichbaren Effekt verdankt der Himmel seine blaue Färbung. Eine Aufgabe zur elektromagnetischen Strahlung einer Antenne beschließt diesen Einführungskurs zur klassischen Elektrodynamik.
Georg Wolschin
Backmatter
Metadaten
Titel
Elektrodynamik
verfasst von
Georg Wolschin
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65456-9
Print ISBN
978-3-662-65455-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65456-9