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2018 | Buch

Einleitung Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Elektromagnetische Feldtheorie für Fortgeschrittene

Tensoranalysis, spezielle Relativitätstheorie und kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen

verfasst von: Prof. Dr. Harald Klingbeil

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Buch bietet einen behutsamen Einstieg in die Tensoranalysis, in die Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie und in die relativistische Formulierung der Elektrodynamik. Die Maxwell’schen Gleichungen im Vakuum und die kovariante Form der Maxwellgleichungen werden intensiv behandelt. Auch Dipole und die Abstrahlung elektromagnetischer Wellen bilden inhaltliche Schwerpunkte.

Mathematisch präzise und durch ausführliche Rechnungen leicht verständlich, stellt das Buch eine Verbindung zwischen Elektrotechnik, Mathematik und Physik her. Für diesen Vertiefungsband ist ein Grundwissen der Elektrodynamik hilfreich, wie es im Band „Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie — Maxwellgleichungen, Lösungsmethoden und Anwendungen“ des Autors oder vergleichbaren Lehrbüchern vermittelt wird.

Übungsaufgaben mit ausführlichen Musterlösungen vertiefen den Stoff und helfen bei der Kontrolle des Lernerfolgs. Ein umfangreicher Tabellenteil am Ende des Buchs erlaubt die Nutzung als Nachschlagewerk.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Einleitung
Zusammenfassung
Im Einleitungskapitel wird zunächst die Gliederung des Buches vorgestellt. Anschließend werden Notationsfragen und nützliche Konventionen thematisiert. Schließlich erfolgt eine Gegenüberstellung der (mikroskopischen) Maxwell’schen Gleichungen im Vakuum mit den (makroskopischen) Maxwell’schen Gleichungen in Materie. Generell werden in diesem Buch die Vakuum-Maxwellgleichungen in den Vordergrund gestellt, weil sie im klassischen Sinne als physikalisch grundlegender anzusehen sind. Das Einleitungskapitel soll allen Lesern eine Hilfe sein, um abschätzen zu können, in welcher Hinsicht sich Bücher aus den Bereichen der Mathematik, der Physik und der Elektrotechnik typischerweise unterscheiden und wie sich das vorliegende Lehrbuch positioniert.
Harald Klingbeil
2. Dipole und Dipoldichten
Zusammenfassung
Ähnlich wie bei Punktladungen handelt es sich bei idealen Dipolen um beliebig kleine, also punktförmige Objekte. Im Gegensatz zur Punktladung erzeugen sie jedoch kein völlig kugelsymmetrisches Feld, sondern eines mit einer Vorzugsrichtung. Dipole eignen sich unter anderem zur Beschreibung dielektrischer und permeabler Materialien. Zu Beginn des Kapitels werden statische elektrische und magnetische Dipole definiert und ausführlich analysiert. Dipoldichten werden eingeführt, und es wird aufgezeigt, wie diese zur makroskopischen Beschreibung der elektrischen und magnetischen Materialeigenschaften mittels der Permittivität bzw. der Permeabilität führen. Im Bereich der Elektrodynamik wird der Hertz’sche Dipol als Verallgemeinerung des statischen elektrischen Dipols und der Fitzgerald’sche Dipol als Verallgemeinerung des statischen magnetischen Dipols ausführlich behandelt. Grundbegriffe der Antennentheorie werden behandelt, wobei der Halbwellendipol als einfaches Beispiel dient. Schließlich wird diskutiert, wie der Poyntingvektor für die Vakuum-Maxwellgleichungen mit dem für die Maxwellgleichungen in Materie in Zusammenhang steht.
Harald Klingbeil
3. Tensoranalysis

Dieses Kapitel enthält eine ausführliche Einführung in den Tensorkalkül. Hierzu wird zunächst untersucht, wie sich verschiedene Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten darstellen lassen. Dabei werden zahlreiche Abkürzungen für die Indexschreibweise eingeführt, die nach und nach zum Ricci-Kalkül, einer weit verbreiteten Form des Tensorkalküls, führen. Eine der wichtigsten Eigenschaften von Tensorausdrücken, nämlich ihr Transformationsverhalten, wird in den Vordergrund gerückt. Mithilfe der kovarianten Ableitung werden die Differentialoperatoren der Vektoranalysis für Tensoren höherer Stufe verallgemeinert. Sowohl die Indexschreibweise, bei der von der Einstein’schen Summationskonvention Gebrauch gemacht wird, als auch die komponentenfreie Darstellung werden ausführlich diskutiert. Die Bedeutung von Tensorgleichungen für eine kovariante Darstellung grundlegender physikalischer Gesetze wird erläutert. Im Hinblick auf die Anwendung im Bereich der speziellen Relativitätstheorie wird die orthogonale Transformation eingeführt. Weil die Tensoranalysis in diesem Kapitel Schritt für Schritt auf Basis eines euklidischen Raumes aufgebaut wird, wird in einem mathematischen Ausblick erläutert, was sich ändert, wenn (pseudo)-Riemann’sche Räume zugrunde gelegt werden.

Harald Klingbeil
4. Kraftwirkungen statischer Felder
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden grundlegende Kraftberechnungsmethoden in der elektromagnetischen Feldtheorie diskutiert. Die Ausführungen sind auf den einfachen Fall der Statik sowie auf starre Körper beschränkt. Zunächst wird diskutiert, wie man mithilfe virtueller Verrückungen Kräfte berechnen kann, die auf starre Körper wirken. Anschließend werden ausgehend von den Formeln für die Lorentzkraft und die Coulombkraft Kraftdichten eingeführt, um eine Kräftebilanz herzuleiten, die auf dem Maxwell’schen Spannungstensor basiert. Als Anwendungsbeispiel für den Maxwell’schen Spannungstensor dient die Berechnung der Kraft, die zwischen einer Punktladung und einem dielektrischen Halbraum wirkt, vor dem sie platziert ist.
Harald Klingbeil
5. Lorentztransformation und grundlegende Effekte der speziellen Relativitätstheorie
Zusammenfassung
Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf der Lorentztransformation, die in diesem Kapitel aus einer einfachen Grundidee abgeleitet wird, wobei Minkowskikoordinaten benutzt werden. Nach einer Diskussion der speziellen Lorentztransformation sowie einfacher statischer räumlicher Drehungen und Verschiebungen werden grundlegende Effekte der speziellen Relativitätstheorie wie die Zeitdilatation, die Längenkontraktion und der Dopplereffekt behandelt. Schließlich werden Transformationsformeln für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung hergeleitet.
Harald Klingbeil
6. Relativistische Formulierung der elektromagnetischen Feldtheorie
Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist der relativistischen Formulierung der Maxwell’schen Gleichungen gewidmet. Zunächst werden die Gleichungen für das Vektorpotential und das skalare Potential in eine kovariante Form gebracht, indem das Viererpotential und die Viererstromdichte eingeführt werden. Anschließend werden die Maxwellgleichungen für die Felder kovariant formuliert, was durch die Einführung von Feldstärketensoren ermöglicht wird. Darauf basierend wird das Transformationsverhalten elektromagnetischer Größen beim Wechsel des Inertialsystems hergeleitet. Als spezieller Anwendungsfall ergibt sich das elektromagnetische Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung. Bei dieser Anwendung wird auch ein Bezug zum Gesetz von Biot-Savart hergestellt.
Harald Klingbeil
7. Induktionsgesetz für bewegte Körper
Zusammenfassung
Aus dem Vorgängerkapitel ist bekannt, wie sich die elektromagnetischen Feldgrößen zwischen zwei Inertialsystemen transformieren. Diese Kenntnis erlaubt es nun im vorliegenden Kapitel, Induktionsphänomene, die durch die Bewegung von Bauteilen auftreten, besser zu verstehen. Dabei wird die Geschwindigkeit des jeweiligen Bauteils zunächst als Konstante im Sinne der Lorentztransformation interpretiert. Als Beispiele dienen eine Leiterschleife, die im Magnetfeld bewegt wird, sowie die sogenannte unipolare Induktion. Anschließend wird das Induktionsgesetz für den Fall diskutiert, dass die Geschwindigkeit als die der jeweiligen Materie interpretiert wird. Hierfür werden dieselben Anwendungsbeispiele betrachtet wie zuvor. Schließlich werden Induktionsspannungsberechnungen diskutiert, die auf Änderungen des magnetischen Flusses basieren.
Harald Klingbeil
8. Relativistische Mechanik
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden Begriffe aus der klassischen Mechanik wie der Impuls, die Kraft oder die Energie auf eine neue Grundlage gestellt, damit sie mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich werden. Aus den Transformationsgesetzen für die elektromagnetischen Feldstärken werden mithilfe der Lorentzkraft-Formel Transformationsgesetze für die Kraft hergeleitet. Hieraus folgen wiederum Transformationsgesetze für den Impuls. Um die so gewonnenen Transformationsformeln transparenter darstellen zu können, werden Vierervektoren des Ortes, der Geschwindigkeit und des Impulses eingeführt, wofür auch die Eigenzeit definiert wird. Auf diese Weise ergibt sich automatisch der Zusammenhang zwischen Ruhemasse und bewegter Masse sowie Einsteins berühmte Masse-Energie-Äquivalenz. Schließlich werden auch die Viererbeschleunigung und die Viererkraft definiert, um dann die Viererkraft zu bestimmen, die ein elektromagnetisches Feld auf eine Punktladung ausübt. Am Ende des Kapitels werden die sogenannten Lorentzfaktoren eingeführt, die eine verkürzte Schreibweise zahlreicher Formeln in der speziellen Relativitätstheorie ermöglichen.
Harald Klingbeil
9. Vertiefung der relativistischen Grundlagen
Zusammenfassung
Dieses Kapitel beginnt mit einer Formulierung der homogenen Maxwell’schen Gleichungen in kovarianter Form. Anschließend werden der elektromagnetische Energie-Impuls-Tensor sowie Invarianten des elektromagnetischen Feldes diskutiert. Es wird gezeigt, dass man Wellenausbreitungsphänomene in einer vierdimensionalen Form schreiben kann, und die Liénard-Wiechert’schen Potentiale werden hergeleitet. Daraus wird das Feld schwingender Punktladungen abgeleitet und ein Vergleich zum Hertz’schen Dipol gezogen. Für die Strahlungsleistung, die bei einer beschleunigten Punktladung auftritt, wird die Larmor’sche Formel und danach als ihre relativistische Verallgemeinerung die Liénard’sche Formel hergeleitet. Weitere Abschnitte sind der vierdimensionalen Potentialtheorie gewidmet. Ein kurzer Ausblick auf Aspekte, die für die allgemeine Relativitätstheorie von Bedeutung sind, beendet das Kapitel.
Harald Klingbeil
10. Paradoxa
Zusammenfassung
Oft werden Paradoxa so dargestellt, als seien sie Eigenarten einer bestimmten Theorie, die man nicht näher erklären kann. Dies würde jedoch bedeuten, dass die Theorie Widersprüche in sich birgt. Eine solche Theorie ist natürlich nicht akzeptabel. In den meisten Fällen sind Paradoxa jedoch nicht auf Widersprüche in der Theorie zurückzuführen, sondern auf eine falsche Anwendung derselben. Dieses Kapitel ist einigen Beispielen gewidmet, die das verdeutlichen. Im Speziellen werden die falsche Anwendung der imaginären Einheit, das Hering’sche Experiment und das Uhrenparadoxon diskutiert.
Harald Klingbeil
11. Lösung der Übungsaufgaben
Zusammenfassung
Dieses Kapitel enthält ausführliche Musterlösungen zu den Übungsaufgaben, die im Hauptteil des Buches gestellt werden.
Harald Klingbeil
A. Herleitungen
Zusammenfassung
In diesem Anhang sind ausführliche Herleitungen von Formeln zusammengestellt, die im Hauptteil des Buches benötigt werden.
Harald Klingbeil
B. Literatur und Tabellen
Zusammenfassung
In diesem Anhang sind zahlreiche Formeln, die in der elektromagnetischen Feldtheorie nützlich sind, zum Nachschlagen in Form übersichtlicher Tabellen zusammengestellt. Die meisten Tabellen sind sowohl im Grundlagenband als auch im Vertiefungsband enthalten, damit man leicht die Stelle finden kann, an der bestimmte Formeln eingeführt oder hergeleitet werden. Des Weiteren enthält dieses Kapitel eine Literaturübersicht sowie eine Tabelle wichtiger Naturkonstanten.
Harald Klingbeil
Backmatter
Metadaten
Titel
Elektromagnetische Feldtheorie für Fortgeschrittene
verfasst von
Prof. Dr. Harald Klingbeil
Copyright-Jahr
2018
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-56598-8
Print ISBN
978-3-662-56597-1
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-56598-8

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