Skip to main content
main-content

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Der Raum der elementaren Differentialgeometrie

Zusammenfassung
Nach Euklids1 und Galileis2 Weltbild ist das analytische Modell für den Raum der Anschauung der 3-dimensionale euklidische Raum.
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

2. Maple-Arbeitsmethoden im ℝ n

Zusammenfassung
Zu Beginn dieses ersten Maple-Kapitels ein paar organisatorische Bemerkungen:
  • Jedes Kapitel wird als eine (in sich abgeschlossene) Maple-Sitzung betrachtet; auf die im Kapitel entwickelten Prozeduren und bereits definierte Variablen wird innerhalb der Sitzung ohne weitere Kommentare zugegriffen.
  • Es wird stets vorausgesetzt, daß Sie das linalg-Paket, das plots-Paket und das diffgeo-Paket (vgl. Anhang B) geladen haben.
  • Ein Teil der Prozeduren dieses Buches wird im Rahmen von fortlaufend numerierten Aufgaben entwickelt. Sofern es sich dabei um Prozeduren des diffgeo-Paketes handelt, sind die Aufgaben mit einem Sternchen gekennzeichnet, und die zugehörigen Lösungen erhalten Sie bei geladenem diffgeo-Paket durch eval(Prozedurname). Lösungsvorschläge zu den übrigen Aufgaben finden Sie auf der CD.
  • Als Prozedurnamen wählen wir in Anlehnung an die Maple-Standard-Befehle stets englische Begriffe. Ausnahmen bilden die Prozeduren aus der Kurven- und Flächenbibliothek: Hier haben wir uns für die deutschen Bezeichnungen entschieden.
  • Innerhalb von Prozeduren des diffgeo-Paketes greifen wir auf Befehle aus seperat zu ladenden Paketen, wie dem linaig- oder dem plots-Paket, stets mit Paketname [Befehl] zu. Dies hat den Vorteil, daß bei einem späteren Arbeiten mit den Prozeduren ein Laden des jeweiligen Paketes nicht erforderlich ist.
  • Informationen zu Inhalt und Nutzung der CD finden Sie im Anhang B. In Anhang C werden die Prozeduren des Paketes aufgelistet.
  • Um auf Maple-Hilfeseiten zu einem bestimmten Thema zu verweisen, benutzen wir die Notation ?Thema.
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

3. Ebene Kurventheorie

Zusammenfassung
Wir beginnen mit einigen grundlegenden Begriffen für Kurven im ℝ n : ihre Länge, Differentiation und Integration nach der Bogenlänge, Einheitstangentenvektor, Krümmungsvektor und absolute Krümmung. Nachdem wir dann den orientierten Winkel im R2 eingeführt haben, behandeln wir die Prenetsche Kurventheorie ebener Kurven und schließen das Kapitel mit ein paar Sätzen über das globale Verhalten ebener Kurven ab.
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

4. Ebene Kurventheorie mit Maple

Zusammenfassung
Wir werden Kurven konsequent als Abbildungen definieren, beispielsweise die Neilsche Parabel (vgl. das Beispiel in 3.2) durch
https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-322-80308-5_4/978-3-322-80308-5_4_Equa_HTML.gif
: oder durch
https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-322-80308-5_4/978-3-322-80308-5_4_Equb_HTML.gif
end: Bei vielen Kurven tauchen sog. Scharparameter auf, so z.B. bei einem Kreis vom Radius R. Derartige Kurven definieren wir als Prozedur mit dem (den) Scharparameter(n) als Argument, beispielsweise
$$ \begin{gathered} > Kreis: = proc(R) \hfill \\ localt; \hfill \\ unapply\left( {\left[ {R*\cos t(t),R*\sin (t)} \right],t} \right) \hfill \\ \end{gathered} $$
end: Ruft man diese Prozedur mit Kreis (R) auf, so erhält man die Parametrisierung des Kreises vom Radius R:
$$ \begin{gathered} > Kreis(R) \hfill \\ t \to \left[ {R\cos (t),R\sin (t)} \right] \hfill \\ \end{gathered} $$
und kann hiermit genauso weiterarbeiten wie mit einer direkt durch unapply definierten Parametrisierung.
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

5. Räumliche Kurventheorie

Zusammenfassung
Es sei α: I → ℝ3 eine reguläre C r -Kurve mit r ≥ 3. Dieser sind folgende Größen zugeordnet:
  • \( {v_{\alpha }}: = \left\| \alpha \right\| \), die Bahngeschwindigkeit,
  • \( {T_{\alpha }}: = \frac{{{d_{\alpha }}}}{{{d_s}}} \) das Einheitstangentenfeld, und
  • \( {H_{\alpha }}: = \left\| {\frac{d}{{{d_s}}}{T_{\alpha }}} \right\| \), die absolute Krümmung, vgl. 3.4.
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

6. Räumliche Kurventheorie mit Maple

Zusammenfassung
Nachdem wir in Kapitel 4 bereits eine Prozedur zur Berechnung des Einheitstangentenfeldes einer Kurve α: I → ℝ n geschrieben haben, benötigen wir zur Modellierung des Frenet-3-Beinfeldes einer Raumkurve noch die folgenden Prozeduren (vgl. 5.1 und 5.2):
*Aufgabe 17
Entwickeln Sie Prozeduren principalnormal und binormal zur Berechnung des Haupt- und Binormalenfeldes einer regulären C2-Kurve α: I → ℝ3 mit positiver absoluter Krümmung.
 
*Aufgabe 18
(a)
Ergänzen Sie die Prozedur curvature aus Abschnitt 4.6 dahingehend, daß bei einem Aufruf der Prozedur mit einer ebenen Kurve deren orientierte Krümmung und bei einem Aufruf mit einer räumlichen Kurve deren absolute Krümmung berechnet wird. Benutzen Sie hierzu die Prozedur find_dim aus Abschnitt 2.3.
 
(b)
Schreiben Sie eine Prozedur torsion zur Berechnung der Torsion einer dreidimensionalen Kurve.
 
 
Aufgabe 19
(a)
Berechnen Sie mit Hilfe der erstellten Prozeduren Krümmung und Torsion einer Schraubenlinie c≔Schraube(r,h) (vgl. das Beispiel (c) in 3.4 und das Beispiel in 5.2). Dabei beginne man mit assume(h,real).
 
(b)
Zeigen Sie unter Benutzung des Befehls solve, daß man durch geeignete Wahl von r und h für die Krümmung und die Torsion einer Schraubenlinie jeden Wert K ∈ ℝ+ bzw. T ∈ ℝ erhalten kann.
 
 
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

7. Einführung in die Flächentheorie

Zusammenfassung
Die naive Vorstellung einer Fläche im ℝ3 ist die einer glatten Punktmenge, also einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit. Wollten wir diesen Standpunkt einnehmen, hätten wir nun ein gutes Stück der Analysis auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Sicherlich ein lohnendes Ziel. Trotzdem wollen wir einen anderen Weg einschlagen, auf dem wir unmittelbar auf der Analysis des ℝ n aufbauen. Hierbei können wir von vorne herein durch Maple unterstützt werden. Methodisch schließen wir an die Kurventheorie an, indem wir nur solche Flächen betrachten, die sich global parametrisieren lassen. Selbstdurchdringungen von Flächen sind dabei zugelassen.
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

8. Modellierung von Flächen und Riemannschen Gebieten mit Maple

Zusammenfassung
Genau wie Kurven definieren wir Flächen in Maple als Abbildungen und unterscheiden wie dort zwei Fälle:
(a)
Flächen ohne Scharparameter, wie beispielsweise der Affensattel1:
https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-322-80308-5_8/978-3-322-80308-5_8_Equa_HTML.gif
 
(b)
Flächen mit Scharparameter, wie z.B eine Sphäre von Radius R:
$$\begin{gathered}>\;Sphaere\;: = proc(R)\hfill \\ local\;t,\;s;\hfill \\ unapply\left({\left[{R*\cos(t)*\cos(s),\;R*\cos(t)*\sin (s),\;R*\sin(t)}\right],t,s}\right) \hfill \\ end:\hfill \\\end{gathered}$$
Ruft man diese Prozedur mit Sphaere (R) auf, so erhält man eine Parametrisierung der Sphäre vom Radius R.
 
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

9. Äußere Geometrie von Flächen

Zusammenfassung
Wir wollen in diesem Kapitel einen Begriffsapparat zur mathematischen Beschreibung der „Gestalt“ von Flächen entwickeln. Dabei lassen wir uns von der „natürlichen“ Betrachtung der Fläche leiten. Was das Adjektiv „natürlich“ ausdrücken soll? Nun, als Mathematiker erlauben wir uns auch eine „artifizielle“ Ansicht der Dinge. Bei Flächen kann diese beispielsweise so aussehen, daß wir der Frage nachgehen, welche Eigenschaften einer Fläche man erschließen kann, wenn man die Fläche mit einem Bandmaß vermißt und keine weiteren Informationen ausnutzt. Etwas weniger anschaulich gesprochen: Was alles kann man aus dem Maßtensor einer Parametrisierung ablesen? (Dabei sollen auch Ableitungen des Maßtensors zugelassen sein.) Diese Art des Flächenstudiums heißt innere Geometrie von Flächen oder — in abstrakterem Rahmen — Riemannsche Geometrie. Um es noch einmal in einem Bild auszudrücken: Dies ist die Geometrie einer intelligenten Ameise, die auf einer Fläche herumkrabbelnd diese erkundet. Hingegen besteht die „natürliche“ Betrachtungsweise einer Fläche darin, daß man sie von „außen“ her ansieht, daß man sie also als Objekt des umgebenden Raumes studiert. Diese Betrachtungsweise heißt äußere Geometrie. Unseren eigenen Lebensraum, die Erdoberfläche, konnten wir bis zum Start des Sputniks am 4.10.1957 nur mit Methoden der inneren Geometrie studieren. Das machte die Faszination der ersten, damals entstandenen Aufnahmen der Erde aus, weil man damit die Erdoberfläche zum ersten Mal in “natürlicher“ Weise sah.
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

10. Äußere Geometrie von Flächen mit Maple

Zusammenfassung
In diesem Kapitel sei F: G → ℝ3 eine Parametrisierung einer singularitätenfreien C2-Fläche.
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

11. Innere Geometrie von Flächen

Zusammenfassung
Wie wir schon in der Einleitung zum neunten Kapitel gesagt haben, ist der Maßtensor der Ausgangspunkt für die innere Geometrie von Flächen. Folglich können die Untersuchungen weitgehend in n-dimensionalen Riemannschen Gebieten durchgeführt werden. Als grundlegendes neues Element führen wir in Abschnitt 11.2 einen Differentiationsprozeß für Vektorfelder ein, welcher der zugrundeliegenden Riemannschen Metrik angepaßt ist. Die Definition basiert auf dem Christoffelsymbol1 eines Riemannschen Gebietes, das wir zunächst kennenlernen werden. Da die in Kapitel 7 eingeführten Riemannschen Gebiete die lokalen Modelle der allgemeinen Riemannschen Geometrie sind, erhalten wir auch die ersten Einsichten in diesen Zweig der Differentialgeometriea.
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

12. Innere Geometrie von Flächen mit Maple

Zusammenfassung
Es sei (G,g) ein n-dimensionales Riemannsches C1-Gebiet.
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

A. Eine kurze Einführung in Maple

Zusammenfassung
Dieser Anhang A wendet sich in erster Linie an die Leser, die bisher nur wenig mit Maple gearbeitet haben. Aber auch Maple-erfahrene Leser finden in den Abschnitten A.4 und A.5 unter Umständen interessante Informationen. Wir möchten betonen, daß diese Einführung andere, ausführliche Bücher über Maple nicht ersetzen will. Lesern, die bisher noch nie mit Maple gearbeitet haben, empfehlen wir die Lektüre eines Einführungsbuches, beispielsweise [HHR] oder [Bu]. Auch die Maple-Hilfeseiten zu den Themen intro, contents und worksheet sind sehr hilfreich (vgl. Abschnitt A.1). Als hervorragendes Nachschlagewerk verweisen wir auf [H].
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

B. Benutzung der Programm-CD

Zusammenfassung
Zur Installation des diffgeo-Paketes öffnen Sie auf der CD zunächst je nach der von Ihnen benutzten Maple-Version den Ordner Release4 oder Release5 und dort den Ordner für Ihr Betriebssystem, wo Sie im Ordner diffgeo das Programmpaket (diffgeo.m), den Quelltext des Programmpaketes (diffgeometrie.mws), die Hilfeseiten-Datei (maple.hdb), die Dateien Demo_Kurven.mws, Demo_Flaechen.mws, Loesungen.mws, readme.mws und Start.mws sowie die Ordner Graphiken und Hilfeseiten finden.
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

C. Übersicht über die Prozeduren des Programmpaketes

Ohne Zusammenfassung
Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel

Backmatter

Weitere Informationen