Elementare Differentialgeometrie mit Maple

Nach Euklids¹ und Galileis² Weltbild ist das analytische Modell für den Raum der Anschauung der 3-dimensionale euklidische Raum.

Zu Beginn dieses ersten Maple-Kapitels ein paar organisatorische Bemerkungen:

Wir beginnen mit einigen grundlegenden Begriffen für Kurven im ℝ ⁿ : ihre Länge, Differentiation und Integration nach der Bogenlänge, Einheitstangentenvektor, Krümmungsvektor und absolute Krümmung. Nachdem wir dann den orientierten Winkel im R² eingeführt haben, behandeln wir die Prenetsche Kurventheorie ebener Kurven und schließen das Kapitel mit ein paar Sätzen über das globale Verhalten ebener Kurven ab.

Wir werden Kurven konsequent als Abbildungen definieren, beispielsweise die Neilsche Parabel (vgl. das Beispiel in 3.2) durch : oder durch end: Bei vielen Kurven tauchen sog. Scharparameter auf, so z.B. bei einem Kreis vom Radius R. Derartige Kurven definieren wir als Prozedur mit dem (den) Scharparameter(n) als Argument, beispielsweise end: Ruft man diese Prozedur mit Kreis (R) auf, so erhält man die Parametrisierung des Kreises vom Radius R: und kann hiermit genauso weiterarbeiten wie mit einer direkt durch unapply definierten Parametrisierung.

Es sei α: I → ℝ³ eine reguläre C ^r -Kurve mit r ≥ 3. Dieser sind folgende Größen zugeordnet:

Nachdem wir in Kapitel 4 bereits eine Prozedur zur Berechnung des Einheitstangentenfeldes einer Kurve α: I → ℝ ⁿ geschrieben haben, benötigen wir zur Modellierung des Frenet-3-Beinfeldes einer Raumkurve noch die folgenden Prozeduren (vgl. 5.1 und 5.2):

Die naive Vorstellung einer Fläche im ℝ³ ist die einer glatten Punktmenge, also einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit. Wollten wir diesen Standpunkt einnehmen, hätten wir nun ein gutes Stück der Analysis auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Sicherlich ein lohnendes Ziel. Trotzdem wollen wir einen anderen Weg einschlagen, auf dem wir unmittelbar auf der Analysis des ℝ ⁿ aufbauen. Hierbei können wir von vorne herein durch Maple unterstützt werden. Methodisch schließen wir an die Kurventheorie an, indem wir nur solche Flächen betrachten, die sich global parametrisieren lassen. Selbstdurchdringungen von Flächen sind dabei zugelassen.

Genau wie Kurven definieren wir Flächen in Maple als Abbildungen und unterscheiden wie dort zwei Fälle:

Wir wollen in diesem Kapitel einen Begriffsapparat zur mathematischen Beschreibung der „Gestalt“ von Flächen entwickeln. Dabei lassen wir uns von der „natürlichen“ Betrachtung der Fläche leiten. Was das Adjektiv „natürlich“ ausdrücken soll? Nun, als Mathematiker erlauben wir uns auch eine „artifizielle“ Ansicht der Dinge. Bei Flächen kann diese beispielsweise so aussehen, daß wir der Frage nachgehen, welche Eigenschaften einer Fläche man erschließen kann, wenn man die Fläche mit einem Bandmaß vermißt und keine weiteren Informationen ausnutzt. Etwas weniger anschaulich gesprochen: Was alles kann man aus dem Maßtensor einer Parametrisierung ablesen? (Dabei sollen auch Ableitungen des Maßtensors zugelassen sein.) Diese Art des Flächenstudiums heißt innere Geometrie von Flächen oder — in abstrakterem Rahmen — Riemannsche Geometrie. Um es noch einmal in einem Bild auszudrücken: Dies ist die Geometrie einer intelligenten Ameise, die auf einer Fläche herumkrabbelnd diese erkundet. Hingegen besteht die „natürliche“ Betrachtungsweise einer Fläche darin, daß man sie von „außen“ her ansieht, daß man sie also als Objekt des umgebenden Raumes studiert. Diese Betrachtungsweise heißt äußere Geometrie. Unseren eigenen Lebensraum, die Erdoberfläche, konnten wir bis zum Start des Sputniks am 4.10.1957 nur mit Methoden der inneren Geometrie studieren. Das machte die Faszination der ersten, damals entstandenen Aufnahmen der Erde aus, weil man damit die Erdoberfläche zum ersten Mal in “natürlicher“ Weise sah.

In diesem Kapitel sei F: G → ℝ³ eine Parametrisierung einer singularitätenfreien C²-Fläche.

Wie wir schon in der Einleitung zum neunten Kapitel gesagt haben, ist der Maßtensor der Ausgangspunkt für die innere Geometrie von Flächen. Folglich können die Untersuchungen weitgehend in n-dimensionalen Riemannschen Gebieten durchgeführt werden. Als grundlegendes neues Element führen wir in Abschnitt 11.2 einen Differentiationsprozeß für Vektorfelder ein, welcher der zugrundeliegenden Riemannschen Metrik angepaßt ist. Die Definition basiert auf dem Christoffelsymbol¹ eines Riemannschen Gebietes, das wir zunächst kennenlernen werden. Da die in Kapitel 7 eingeführten Riemannschen Gebiete die lokalen Modelle der allgemeinen Riemannschen Geometrie sind, erhalten wir auch die ersten Einsichten in diesen Zweig der Differentialgeometriea.

Es sei (G,g) ein n-dimensionales Riemannsches C¹-Gebiet.

Dieser Anhang A wendet sich in erster Linie an die Leser, die bisher nur wenig mit Maple gearbeitet haben. Aber auch Maple-erfahrene Leser finden in den Abschnitten A.4 und A.5 unter Umständen interessante Informationen. Wir möchten betonen, daß diese Einführung andere, ausführliche Bücher über Maple nicht ersetzen will. Lesern, die bisher noch nie mit Maple gearbeitet haben, empfehlen wir die Lektüre eines Einführungsbuches, beispielsweise [HHR] oder [Bu]. Auch die Maple-Hilfeseiten zu den Themen intro, contents und worksheet sind sehr hilfreich (vgl. Abschnitt A.1). Als hervorragendes Nachschlagewerk verweisen wir auf [H].

Zur Installation des diffgeo-Paketes öffnen Sie auf der CD zunächst je nach der von Ihnen benutzten Maple-Version den Ordner Release4 oder Release5 und dort den Ordner für Ihr Betriebssystem, wo Sie im Ordner diffgeo das Programmpaket (diffgeo.m), den Quelltext des Programmpaketes (diffgeometrie.mws), die Hilfeseiten-Datei (maple.hdb), die Dateien Demo_Kurven.mws, Demo_Flaechen.mws, Loesungen.mws, readme.mws und Start.mws sowie die Ordner Graphiken und Hilfeseiten finden.