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Über dieses Buch

Die "Elementare Differentialgeometrie (nicht nur) für Informatiker" entstand aus einer Vorlesung an Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg (HAW) über mathematische Methoden der Computergrafik. Statt wie in der Computergrafik üblich Beispiele zu horten wird eine systematische doch elementare und spannende Geschichte erzählt, in der man sich sofort festliest. Das Konzept bindet ca. 80 Videos des Autors mit ein sowie zahlreiche Abbildungen und konkrete Programmcodes und Übungsaufgaben.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Visualisierung mit dem Computer

Zusammenfassung
Da sich dieses Buch vornehmlich an Studentinnen und Studenten der Informatik richtet, soll möglichst oft der Computer zur Darstellung geometrischer Sachverhalte eingesetzt werden. Dabei geht es natürlich darum, dass man die jeweiligen Beispiele sieht und somit das Lernen und Verstehen durch Visualisierung unterstützt wird. In erster Linie bin ich allerdings davon überzeugt, dass man am besten lernt, wenn man nicht nur passiv rezipiert, sondern aktiv selbst etwas macht.
Edmund Weitz

Kapitel 2. Kurven

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir in erster Linie definieren, was Kurven sind. Wir machen das für Kurven in Räumen beliebig hoher Dimension, aber wir werden uns in den folgenden Kapiteln auf Kurven in der zweidimensionalen Ebene ℝ2 und im dreidimensionalen Anschauungsraum ℝ3 konzentrieren. Obwohl der Begriff der Kurve anschaulich relativ leicht zu vermitteln ist, wird sich herausstellen, dass eine präziseDefinition etwasNachdenken erfordert.
Edmund Weitz

Kapitel 3. Die Länge einer Kurve

Zusammenfassung
In Aufgabe 20 haben wir eine Umparametrisierung einer regulären parametrisierten Kurve gefunden, die nach Bogenlänge parametrisiert war. In diesem Kapitel werden wir sehen, dass das im Prinzip immer möglich ist. Dafür werden wir die Länge einer Kurve definieren.
Edmund Weitz

Kapitel 4. Die Krümmung ebener Kurven

Zusammenfassung
In diesem Kapitel und den folgenden werden wir uns ausschließlich mit ebenen Kurven beschäftigen. Damit sind die Kurven gemeint, deren Spuren in ℝ2 liegen.Unser erstes Themawird dabei deren Krümmung (engl. curvature) sein. Wir werden später auch die Krümmung beliebiger Kurven definieren, aber in der Ebene ist dieser Begriff noch etwas ergiebiger als imallgemeinen Fall.
Edmund Weitz

Kapitel 5. Etwas Topologie

Zusammenfassung
Als kleines „Zwischenspiel“ möchte ich in diesem Kapitel ein paar grundlegende topologische Begriffe einführen und einige einfache Aussagen erwähnen, die wir in Zukunft benötigen werden. Die Topologie ist ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik mit vielen Berührungspunkten zu anderen Teilgebieten. Sie ist sehr umfangreich und wird heutzutage in einer ziemlich abstrakten Form betrieben.
Edmund Weitz

Kapitel 6. Geschlossene Kurven

Zusammenfassung
Zwei unserer ersten Beispiele für Kurven sahen folgendermaßen aus.
Edmund Weitz

Kapitel 7. Totalkrümmung und Umlaufzahl

Zusammenfassung
Viele der grundlegenden Maße für Kurven – z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung oder Krümmung – sind lokale Eigenschaften. Damit meint man in der Mathematik, dass man für die Ermittlung der entsprechenden Werte nur den jeweiligen Punkt und eine (kleine) Umgebung von ihm kennen muss. In diesem Kapitel wird es hingegen um zwei globale Kennzahlen von Kurven gehen: die Totalkrümmung und die Umlaufzahl.
Edmund Weitz

Kapitel 8. Raumkurven und Knoten

Zusammenfassung
In diesem Kapitel soll es umKurven im Raum ℝ3 gehen.Wir haben zwar schon ein Beispiel für so eine Kurve gesehen und eine Reihe von Resultaten der vorherigen Seiten sind auch auf Raumkurven anwendbar, aber spezifische Aussagen über Raumkurven kennenwir noch nicht.Das wird sich nun ändern.
Edmund Weitz

Kapitel 9. Funktionen mehrerer Veränderlicher

Zusammenfassung
Kurven, mit denen wir uns bisher beschäftigt haben, wurden durch Funktionen von reellen Intervallen nach ℝn dargestellt. Damit hat man zwar in einführenden Mathematikvorlesungen an einer Hochschule nicht unbedingt etwas zu tun, aber wir konnten im Endeffekt immer mit den Komponentenfunktionen arbeiten, die dann wieder ganz „normale“ Funktionen waren, die schon aus der Schule bekannt sind.
Edmund Weitz

Kapitel 10. Flächen

Zusammenfassung
Nun wollen wir uns also ansehen, was man in der Differentialgeometrie unter einer Fläche versteht; genauer gesagt in der klassischen Differentialgeometrie, denn der modernere Ansatz wäre, Flächen als spezielle Mannigfaltigkeiten zu definieren. Das führt aber auf eine wesentlich abstraktere Theorie und wir werden das nicht weiter verfolgen.
Edmund Weitz

Kapitel 11. Die Tangentialebenen regulärer Flächen

Zusammenfassung
Die von uns hauptsächlich betrachteten regulären Kurven haben in jedem ihrer Punkte eine Tangente, d.h. eine Gerade, die in der Nähe des jeweiligen Punktes eine sehr gute Approximation der Kurve ist. Wie wir sehen werden, haben Flächen stattdessen Tangentialebenen. In diesem Kapitel werden wir erarbeiten, wie man diese Ebenen mathematisch definiert und welche Eigenschaften Flächen haben müssen, damit sie in jedem Punkt eine Tangentialebene haben.
Edmund Weitz

Kapitel 12. Die erste Fundamentalform

Zusammenfassung
Wie misst man Längen, Abstände und Winkel auf einer beliebigen Fläche? Um diese Frage richtig einordnen zu können, stellen Sie sich am besten eine zweidimensionale Ameise vor, die in der Fläche lebt und die nur die krummlinigen Koordinaten von geometrischen Objekten zur Verfügung hat.
Edmund Weitz

Kapitel 13. Normalenfelder und Orientierbarkeit

Zusammenfassung
Auf einer regulären Fläche S gibt es zu jedem Punkt eine Tangentialebene. Da diese Ebene rein technisch durch den Nullpunkt geht, ist sie durch die Angabe eines senkrecht zu ihr stehenden Vektors – eines sogenannten Normalenvektors – eindeutig bestimmt. Eine Abbildung N, die jedem Punkt pS einen Vektor N(p) ≠ 0 zuordnet, der senkrecht auf TpS steht, nennt man ein Normalenfeld für S.
Edmund Weitz

Kapitel 14. Diffeomorphismen und Isometrien

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir einen adäquaten Begriff dafür einführen, inwieweit man eine Fläche „verformen“ kann, ohne ihre innere Geometrie zu ändern. Wirwollen also ausdrücken können, wann zwei Flächen in Bezug auf ihre innere Geometrie äquivalent sind.
Edmund Weitz

Kapitel 15. Die Krümmung von Flächen

Zusammenfassung
Einer der wichtigsten und spannendsten Begriffe in der Theorie der Flächen ist der der Krümmung. Wir werden uns diesem Begriff nähern, indem wir eine Analogie zur Krümmung von Kurven entwickeln.
Edmund Weitz

Kapitel 16. Der bemerkenswerte Satz von Gauß

Zusammenfassung
Als Finale möchte ich noch den wohl wichtigsten Satz der klassischen Flächentheorie vorstellen, der als eine der größten mathematischen Errungenschaften des 19. Jahrhunderts gilt.Wir werden diesen Satz im Rahmen des vorliegenden Buches nicht vollständig beweisen können – Sie werden noch öfter als in anderen Kapiteln einfach glauben müssen, dass das, was ich schreibe, stimmt. Aber ich werde versuchen, zumindest die Aussage des Satzes und seine Bedeutung klarzumachen.
Edmund Weitz

Kapitel 17. Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

Zusammenfassung
Für Aufgaben, bei denen es einfach und offensichtlich ist, wie man die Ergebnisse selbst überprüfen kann, werden keine Lösungen angegeben. (Ohnehin sollten Sie immer Ihre Resultate selbst prüfen und nicht blind mir oder jemand anderem trauen.) Außerdem gibt es meistens mehr als einen Weg, zur Lösung zu kommen.Wennmein Vorschlag von IhremLösungsweg abweicht, heißt das nicht, dass Ihrer falsch ist. In diesem Fall sollten Sie aber vielleicht Ihre Lösung erneut überprüfen.
Edmund Weitz

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