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Über dieses Buch

In diesem Buch werden die elementaren Funktionen und ihre Eigenschaften anwendungsorientiert und mit vielen Beispielen behandelt. Anschaulichkeit und inhaltliches Argumentieren, das Verständnis von Zusammenhängen sowie außermathematische Anwendungen stehen im Vordergrund. Es werden durchgängig Querverbindungen zu schulischen Inhalten und mathematikdidaktischen Aspekten (wie dem funktionalen Denken) hergestellt. In einem zusätzlichen Kapitel 10 der zweiten Auflage wird ein Ausblick gegeben, wie sich das funktionale Denken im Kalkül der Analysis fortsetzt und wie auf diese Weise die elementare Behandlung von Funktionen deutlich erweitert wird.

Das Buch überbrückt die Kluft zwischen Schul- und Hochschulmathematik einerseits sowie zwischen Fachwissenschaft und Fachdidaktik andererseits und schafft viele fruchtbare Anknüpfungspunkte. Es werden keine besonderen Kenntnisse vorausgesetzt, insbesondere kommt die Darstellung ohne Differential- und Integralrechnung aus.

Das Buch richtet sich an Studierende der Mathematik für das Lehramt der Primar- und Sekundarstufe sowie an Studienreferendare und Lehrkräfte zur fachlichen Aus- und Fortbildung. Über 100 Abbildungen zeigen die Eigenschaften von Funktionen grafisch auf und schaffen die Verbindung zu typischen Anwendungskontexten. Mehr als 100 Aufgaben mit Lösungshinweisen liefern Angebote zum Verstehen und Weiterdenken der Inhalte.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Funktionen und funktionales Denken

Zusammenfassung
Der zentrale Begriff Funktion erweist sich als ein Begriff mit vielen Facetten, die nicht allein durch eine Definition erfasst werden können, sondern vor allem aus dem Arbeiten mit Funktionen resultieren. So steht auch am Beginn die Beschreibung von funktionalen Zusammenhängen in unterschiedlichen inner- und außermathematischen Sachverhalten (Abschn. 1.1). Die genauere Betrachtung von Zuordnungen und ihren Eigenschaften (Abschn. 1.2) liefert die Grundlagen für die Definition des Begriffs Funktion und weiterer, damit zusammenhängender Begriffe (Abschn. 1.3).
Gerald Wittmann

Kapitel 2. Problemlösen und Modellbildung mit Funktionen

Zusammenfassung
Unter einem Problem wird eine mathematische oder mathematikbezogene Aufgabenstellung verstanden, deren Lösung nicht offensichtlich ist und für die dem Bearbeiter kein bekanntes Lösungsverfahren zur Verfügung steht. In diesem Kapitel werden Probleme behandelt, die mit Hilfe von Funktionen gelöst werden können. Die Bedeutung des funktionalen Denkens als bereichsspezifische Strategie für den Problemlöseprozess wird zunächst für Abzählprobleme (Abschn. 2.1) und anschließend für Extremwertprobleme (Abschn. 2.2) erläutert. Grundlegend für die Mathematisierung von Sachsituationen durch Funktionen ist der Modellierungskreislauf (Abschn. 2.3), der an zwei Kategorien von Modellen – deskriptive Modelle (Abschn. 2.4) und normative Modelle (Abschn. 2.5) – konkretisiert wird.
Gerald Wittmann

Kapitel 3. Lineare Funktionen

Zusammenfassung
Lineare Funktionen erweisen sich als leicht zu handhabende wie auch universelle mathematische Modelle. Im Anschluss an die Definition und die Eigenschaften (Abschn. 3.1) werden deshalb das lineare Wachstum (Abschn. 3.2) sowie der Sonderfall eines proportionalen Wachstums mit dem Dreisatz als häufig verwendetem Rechenverfahren (Abschn. 3.3) näher beschrieben. Die lineare Interpolation (Abschn. 3.4) und die Regula falsi (Abschn. 3.5) zeigen lineare Funktionen als Näherungen für andere Funktionen.
Gerald Wittmann

Kapitel 4. Quadratische Funktionen

Zusammenfassung
Die quadratischen Funktionen sind an Eigenschaften reicher als die bislang behandelten linearen, und so bilden sie den Anlass, neue Begriffe einzuführen. Dies spiegelt sich auch im Aufbau von Kapitel 4 wider: Zu Beginn, gleichsam als ein Vorspann, steht die Herleitung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Abschn. 4.1). Daran schließen sich die Definition und die Behandlung der Eigenschaften quadratischer Funktionen an (Abschn. 4.2), und es wird aufgezeigt, wie sich die Eigenschaften der zugehörigen Graphen aus den Koeffizienten der Funktionsgleichung ableiten lassen (Abschn. 4.3).
Gerald Wittmann

Kapitel 5. Potenzfunktionen

Zusammenfassung
In Kapitel 5 werden – nach einer kurzen Darstellung der wichtigsten Regeln für das Rechnen mit Potenzen (Abschn. 5.1) – schwerpunktmäßig die Potenzfunktionen behandelt. Da ihre Eigenschaften abhängig sind vom Zahlbereich, aus dem der Exponent stammt, geschieht dies in drei Schritten: für positive ganzzahlige Exponenten (Abschn. 5.2), für Stammbrüche als Exponenten (Wurzelfunktionen, Abschn. 5.4), für negative ganzzahlige Exponenten (Abschn. 5.6). Zwei Einschübe beziehen sich auf die Symmetrie von Funktionsgraphen (Abschn. 5.3) und die Frage nach der Existenz und den Eigenschaften der Umkehrfunktion zu einer gegebenen Funktion (Abschn. 5.5).
Gerald Wittmann

Kapitel 6. Polynomfunktionen

Zusammenfassung
Im Anschluss an die Definition folgen erste Eigenschaften der Polynomfunktionen (Abschn. 6.1) und es wird die Anzahl der Nullstellen einer Polynomfunktion abgeschätzt, was auch eine Aussage über die Anzahl der Lösungen einer Gleichung vom Grad n erlaubt (Abschn. 6.2). Das Verfahren der Polynomdivision erweist sich unter anderem bei der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen als hilfreich (Abschn. 6.3). Die Interpolation mit Polynomfunktionen zeigt abschließend die Bedeutung von Polynomfunktionen in der angewandten Mathematik auf (Abschn. 6.4).
Gerald Wittmann

Kapitel 7. Rationale Funktionen

Zusammenfassung
Die Behandlung rationaler Funktionen führt wesentliche bei den Potenzfunktionen in Kapitel 5 und bei den Polynomfunktionen in Kapitel 6 angestellte Überlegungen zusammen und vertieft sie. Im Anschluss an die Definition und die Herleitung von ersten Eigenschaften (Abschn. 7.1) wird das asymptotische Verhalten untersucht (Abschn. 7.2).
Gerald Wittmann

Kapitel 8. Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen

Zusammenfassung
Auch die Exponentialfunktionen erweisen sich als universelle mathematische Modelle zur Beschreibung von Vorgängen aus verschiedenen Anwendungsbereichen. Zunächst werden die Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften behandelt sowie zentrale Anwendungen vorgestellt (Abschn. 8.1). Nach einer kurzen Darstellung der wichtigsten Regeln für das Rechnen mit Logarithmen (Abschn. 8.2) werden dann die Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen betrachtet (Abschn. 8.3).
Gerald Wittmann

Kapitel 9. Winkelfunktionen

Zusammenfassung
Als Winkelfunktionen werden im Folgenden die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion bezeichnet. Am Beginn stehen geometrische Überlegungen: Ähnliche rechtwinklige Dreiecke bieten einen ersten Zugang zu den Termen der Winkelfunktionen (Abschn. 9.1). In einem zweiten Schritt werden diese Terme anhand des Einheitskreises in allgemeiner Weise definiert und es lassen sich die Eigenschaften ableiten (Abschn. 9.2).
Gerald Wittmann

Kapitel 10. Funktionales Denken in der Analysis

Zusammenfassung
In diesem abschließenden Kapitel soll aufgezeigt werden, wie sich das funktionale Denken in der Analysis fortsetzt. Übliche Zugänge zur Ableitung einer Funktion und zentrale Aspekte des Kalküls der Analysis werden unter der Frage betrachtet, in welcher Weise hierbei funktionales Denken von Bedeutung ist. Zunächst werden drei Zugänge zur Ableitung einer Funktion aufgezeigt: der Zugang über den Grenzwert des Differenzenquotienten (Abschn. 10.1) und zwei geometrisch basierte Zugänge über die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen und die lokale Näherung des Funktionsgraphen durch die Tangente (Abschn. 10.2). Anschließend wird der Weg von der Ableitung an einer Stelle zur Ableitungsfunktion dargestellt und die Mächtigkeit des Kalküls der Analysis im Unterschied zu elementaren Vorgehensweisen aufgezeigt (Abschn. 10.3). Zuletzt wird der Kalkül der Analysis im Hinblick auf die Aspekte funktionalen Denkens untersucht (Abschn. 10.4).
Gerald Wittmann

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