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Über dieses Buch

Warum ist die Quadratur des Kreises, warum ist die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal unmöglich? Warum gibt es allgemeine Lösungsformeln für Polynomgleichungen vom Grad 2, 3 und 4, aber nicht für Grad 5 oder höher?

Dieses Lehrbuch behandelt solche klassischen Fragen elementar im Kontext der galoisschen Theorie. Es liefert somit einen klassischen Einstieg und geht dabei gleichzeitig auf Anwendungen ein. Dabei wird konsequent der Standpunkt eines konstruktiven Mathematikers eingenommen: Um die Existenz eines mathematischen Objekts zu beweisen, wird immer eine algorithmische Konstruktion dieses Objekts angegeben. Einige Aussagen sind daher etwas vorsichtiger formuliert, als es klassischerweise üblich ist; einige Beweise sind aufwändiger geführt, dafür aber klarer und nachvollziehbarer. Abstrakte Theorien und Definitionen werden aus konkreten Problemstellungen und Lösungen abgeleitet und können somit besser verstanden und gewürdigt werden.

Der Stoff dieses Bandes kann im Rahmen einer einsemestrigen Vorlesung Algebra direkt zu Beginn des Mathematikstudiums behandelt werden und ist für Studienanfänger im Bachelor und Lehramt gleichermaßen geeignet.

Die zentralen Aussagen werden bereits innerhalb des Textes zusammenfassend und prägnant dargestellt, der Leser wird so zum Innehalten und Reflektieren angeregt und kann Inhalte gezielt wiederholen. Darüber hinaus gibt es am Ende jedes Kapitels eine Kurzzusammenfassung, mit der noch einmal Schritt für Schritt die wesentlichen Argumente nachvollzogen werden können, sowie zahlreiche Übungsaufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Mit zu den wichtigsten Aufgabenstellungen in den Anwendungen der Mathematik, aber auch in der Mathematik selbst, gehört sicherlich das Lösen von Gleichungen.
Marc Nieper-Wißkirchen

Kapitel 2. Der Fundamentalsatz der Algebra

Zusammenfassung
Die Polynomgleichung \(X^2 + 1 = 0\) besitzt im Zahlbereich der reellen Zahlen keine Lösung, wohl aber im Bereich der sogenannten komplexen Zahlen. In diesem Kapitel führen wir die komplexen Zahlen \(\mathbf {C}\) als im gewissen Sinne kleinstmögliche Erweiterung des Bereiches der reellen Zahlen ein, in dem die eben genannte Polynomgleichung eine Lösung besitzt. So wie wir die Gesamtheit der reellen Zahlen mit dem Zahlenstrahl gleichsetzen können, können wir die Gesamtheit der komplexen Zahlen mit der Zahlenebene gleichsetzen. Komplexe Zahlen sind also Punkte in einer Ebene. Markieren wir die Zahlen 0 und 1 in der Ebene, so nennen wir eine komplexe Zahl konstruierbar, wenn sich der zugehörige Punkt nur mit Zirkel und Lineal aus den beiden markierten konstruieren lässt Fragestellungen über die Lösbarkeit gewisser Konstruktionsaufgaben – etwa die Quadratur des Kreises – lassen sich damit auf algebraische Aussagen über die komplexen Zahlen zurückführen. Es ist eine erstaunliche Tatsache, dass in \(\mathbf {C}\) nicht nur \(X^2 + 1 = 0\) eine Lösung besitzt, sondern automatisch jede Polynomgleichung \(X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \cdots + a_{1} X + a_0 = 0\) mit rationalen Koeffizienten \(a_0\), ..., \(a_n\), \(n \ge 1\). Dies ist die Aussage des sogenannten Fundamentalsatzes der Algebra. Am Ende dieses Kapitels geben wir für diesen Satz einen konstruktiven Beweis, der auf Martin Kneser zurückgeht. Eine komplexe Zahl, welche Lösung einer solchen Polynomgleichung über \(\mathbf {Q}\) ist, heißt algebraisch. Wir zeigen in diesem Kapitel unter anderem, dass konstruierbare Zahlen immer algebraisch sind, was ein Schlüssel für den Beweis der Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises sein wird.
Marc Nieper-Wißkirchen

Kapitel 3. Zur Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises

Zusammenfassung
Ein Polynom ist ein formaler Ausdruck der Form \(a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_1 X + a_0\) in einer Unbestimmten X. Polynome sind grundlegende Objekte der Algebra, und wir können mit ihnen rechnen wie mit Zahlen. Insbesondere können wir Polynome addieren und multiplizieren. Genauso, wie wir jeder ganzen Zahl ihren Absolutbetrag als Maß für ihre Größe zuordnen können, können wir Polynomen ihren Grad als Maß zuordnen. Eine Anwendung findet dies bei der Division mit Rest. Sind Dividend und Divisor Polynome, so finden wir einen Quotienten, sodass der Rest kleineren Grad als der Divisor hat. Ebenfalls besitzt die Teilbarkeitstheorie ganzer Zahlen eine Entsprechung für Polynome. Inwiefern ein Polynom in Polynome kleineren Grades faktorisiert werden kann, hängt dabei entscheidend vom gewählten Koeffizientenbereich ab. Wir zeigen, dass der Fundamentalsatz der Algebra impliziert, dass Polynome über den algebraischen Zahlen immer in ein Produkt linearer zerfallen. Am Ende dieses Kapitels wenden wir die erhaltenen Ergebnisse über Polynome an, um in einem elementaren Beweis zu zeigen, dass die Kreiszahl \(\pi \) transzendent ist, also nicht Nullstelle einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Wir folgern daraus, dass wir die Längen \(\pi \) und auch damit auch \(\sqrt{\pi }\) nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren können. Aus Letzterem folgt, dass die Quadratur des Kreises, also die Konstruktion eines Quadrates mit dem gleichen Flächeninhalt eines gegebenen Kreises mit Zirkel und Lineal, unmöglich ist.
Marc Nieper-Wißkirchen

Kapitel 4. Zur Unmöglichkeit der Würfelverdoppelung und der Winkeldreiteilung

Zusammenfassung
Genauso, wie wir nach möglichen Faktorisierungen ganzer Zahlen fragen können, können wir nach Faktorisierungen von Polynomen (in Polynome kleineren Grades) fragen, wie wir im letzten Kapitel gesehen haben. Dabei nennen wir ein Polynom irreduzibel, wenn es keine solche Faktorisierung zulässt. Die irreduziblen Polynome spielen also die Rolle der Primzahlen im Ring der Polynome. Jedes lineare Polynom \(X - a\) muss irreduzibel sein, denn schon aus Gradgründen kann es keine Faktorisierung in Polynome kleineren Grades geben. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra sind die linearen Polynome wiederum die einzigen irreduziblen, wenn wir als Koeffizientenbereich die algebraischen Zahlen voraussetzen. Über den rationalen Zahlen ist die Theorie dagegen komplizierter, aber auch interessanter. So gibt es nichtirreduzible Polynome höheren Grades wie \(X^2 - 1 = (X - 1) \cdot (X + 1)\), wie auch irreduzible wie \(X^2 + 1\). Es stellt sich die natürliche Frage, wie wir feststellen können, ob ein Polynom, sagen wir über den rationalen Zahlen, irreduzibel ist. Dazu geben wir ein numerisches Verfahren an, durch das wir mit Sicherheit feststellen können, ob ein solches Polynom irreduzibel ist oder nicht. Daraus folgt, dass jedes Polynome eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in ein Produkt irreduzibler Polynome besitzt, vergleichbar mit der Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen. Auch wenn das numerische Verfahren, welches wir angeben, immer funktioniert, gibt es für viele Fälle einfachere Kriterien für die Irreduzibilität. Wir stellen dazu das eisensteinsche Kriterium und ein weiteres Verfahren vor, welches Irreduzibilität modulo einer Primzahl untersucht. Dazu vergleichen wir insbesondere die Irreduzibilität von Polynomen mit rationalen Koeffizienten mit der Irreduzibilität von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine algebraische Zahl z ist definiert als eine komplexe Zahl, welche Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Es zeigt sich nun, dass es unter diesen genau ein irreduzibles normiertes gibt, das sogenannte Minimalpolynom von z. Den Grad dieses Minimalpolynomes nennen wir einfach den Grad von z. Mit Hilfe dies Gradbegriffes zeigen wir schließlich am Ende des Kapitels, dass sowohl weder die Würfelverdoppelung noch die Winkeldreiteilung allein mit Zirkel und Lineal möglich ist.
Marc Nieper-Wißkirchen

Kapitel 5. Über die Konstruierbarkeit regelmäßiger n-Ecke

Zusammenfassung
Ausblick Zahlen wie \(\sqrt{2}\) und \(-\sqrt{2}\) sind (über den rationalen Zahlen) algebraisch ununterscheidbar, denn beide Zahlen besitzen das gleiche Minimalpolynom, nämlich \(X^2 - 2\). Solche Zahlen nennen wir zueinander galoissch konjugiert. Wir zeigen, dass zwei galoissch konjugierte Zahlen nicht nur das gleiche Minimalpolynom besitzen, sondern dass sogar jede polynomielle Gleichung, welche von der einen Zahl erfüllt wird, auch von ihren galoissch Konjugierten und umgekehrt erfüllt wird. Allgemein nennen wir polynomielle Beziehungen zwischen mehreren algebraischen Zahlen algebraische Relationen. Von besonderem Interesse sind die algebraischen Relationen zwischen den Nullstellen eines Polynoms. Zählen wir die Nullstellen ab, so nennen wir eine Vertauschung der Nullstellen eine (galoissche) Symmetrie, wenn unter dieser Vertauschung alle algebraischen Relationen zwischen diesen Nullstellen erhalten bleiben. Alle Symmetrien zusammen bilden die galoissche Gruppe der Nullstellen. Aus der Definition der galoisschen Gruppe ist noch nicht sofort ersichtlich, wie wir sie effektiv berechnen können. Dies geschieht mithilfe von galoisschen Resolventen, und wir geben in diesem Kapitel ein vollständiges Verfahren an. Dadurch, dass wir jedem (den Nullstellen eines jeden) Polynom(s) eine Gruppe zuordnen können, können wir wiederum von der Gruppenstruktur Rückschlüsse auf das Polynom und seine Nullstellen ziehen. Wir schauen uns deswegen in diesem Kapitel einige sehr allgemeine Aussagen über Gruppen wie die Klassengleichung an. Diese Sätze wenden wir auf die galoisschen Gruppen der sogenannten Kreisteilungspolynome an. Als Anwendung geben wir eine vollständige Klassifikation der regelmäßigen n-Ecke an, die sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen.
Marc Nieper-Wißkirchen

Kapitel 6. Über die Auflösbarkeit von Polynomgleichungen

Zusammenfassung
Bis hierhin haben wir Begriffe wie Minimalpolynom, galoissche Konjugiertheit und galoissche Gruppe für Polynome mit rationalen Koeffizienten verwendet. Es zeigt sich, dass die Theorie viel mächtiger wird, wenn wir als Koeffizientenbereich auch Erweiterungen der rationalen Zahlen betrachten. Wir nennen diese Sichtweise die relative, während wir die Betrachtung über den rationalen Zahlen als die absolute bezeichnen. Beispielsweise ist \(X^4 - 2\) das Minimalpolynom einer vierten Wurzel \(\root 4 \of {2}\) aus 2 über den rationalen Zahlen. Dagegen ist \(X^2 - \sqrt{2}\) das Minimalpolynom der gleichen algebraischen Zahl, diesmal aber über dem Koeffizientenbereich \(\mathbf {Q}(\sqrt{2})\) aller algebraischen Zahlen, welche rational in \(\sqrt{2}\) sind. Entsprechend ist der Grad von \(\root 4 \of {2}\) über \(\mathbf {Q}\) gerade 4, über \(\mathbf {Q}(\sqrt{2})\) aber nur noch 2. Ebenso wie der Grad sinkt, gibt es umso weniger galoissch Konjugierte, und die galoissche Gruppe wird umso kleiner, je größer wir den Koeffizientenbereich wählen. Wir können damit den absoluten Fall über den rationalen Zahlen verstehen. Zunächst schauen wir uns den relativen Fall über geeigneten Erweiterungen des Koeffizientenbereiches an. Danach machen wir den Koeffizientenbereich sukzessive kleiner, sodass z. B. die galoissche Gruppe sukzessive größer wird, bis wir im Limes die galoissche Gruppe über den rationalen Zahlen gefunden haben. Erweiterungen des Koeffizientenbereiches entsprechen genau genommen Untergruppen der galoisschen Gruppe, und zwar können wir eine exakte bijektive Korrespondenz in Form des Hauptsatzes der galoisschen Theorie angeben. Mit Hilfe dieses Hauptsatzes führen wir schwierige Fragestellungen wie die der Auflösbarkeit von Gleichungen auf einfachere Fragestellungen über endliche Gruppen zurück. Nachdem wir vorher zeigen, dass die Nullstellen der Kreisteilungspolynome (und damit die Ecken eines gleichseitigen n-Ecks) durch Wurzelausdrücke gegeben sind, können wir damit das Resultat von Galois folgern, eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit von Gleichungen. Dabei zeigt sich, dass es weder allgemeine noch spezielle Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad fünf oder höher gibt. Am Ende des Kapitels leiten wir mit der gleichen Theorie die seit Beginn der Neuzeit bekannten Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad drei und vier ab.
Marc Nieper-Wißkirchen

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