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2020 | Buch

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Elementare Koordinatengeometrie

Mit einer Einführung in Maxima

verfasst von: Prof. Dr. Helmut Albrecht

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses strukturell und didaktisch gut durchdachte Lehrbuch für die Ausbildung von Lehrerinnen und Lehrern im Fach Mathematik möchte den Studierenden die klassische Geometrie, die in der Schule leider ein Schattendasein fristet, unter einem etwas veränderten, neuartigen Blickwinkel nahe bringen. Von besonderem Reiz ist in diesem Zusammenhang die alte, ursprüngliche Descartes`sche Idee einer algebraischen Lösung geometrischer Probleme – ohne dabei die Geometrie durch den Formalismus der linearen Algebra und durch das Jonglieren mit Matrizen zu verdecken. Für die rechnerische Lösung der geometrischen Probleme sind nur einfache algebraische Verfahren nötig, wobei der gezielte Einsatz eines Computer-Algebra-Systems langwierige Berechnungen vermeidet und gleichzeitig die erworbenen Kenntnisse vertieft. Das Buch gibt hierfür eine praxis- und anwendungsbezogene Anleitung in den sinnvollen Gebrauch des Computer-Algebra-Systems Maxima. Eine vielfältige Aufgabensammlung rundet das Buch ab, Lösungen findet man kostenlos auf der Internetseite des Verlages.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung in Maxima

Zusammenfassung

Diese der eigentlichen Thematik vorangestellte kurze Einführung in das Computer-Algebra-System (CAS) Maxima soll Ihnen – soweit Sie noch nie mit einem CAS gearbeitet haben – einen ersten Einblick in den Umgang mit einem solchen System ermöglichen und Ihnen insbesondere die Handhabung von Maxima näherbringen. Sie sollen damit in die Lage versetzt werden, anhand der hier dargestellten Basics selbständig weiterforschen und -experimentieren zu können. Es lohnt sich: Maxima ist ein mächtiges Werkzeug und bietet neben der hervorragenden Unterstützung für Ihr Verständnis mathematischer Zusammenhänge außerdem ungemein vielfältige Möglichkeiten für einen didaktisch und methodisch reflektierten Einsatz in der Schule.

Helmut Albrecht

Kapitel 2. Koordinatensysteme

Zusammenfassung

Für die Angabe der Lage von Punkten in der Ebene oder im Raum verwendet man Koordinatensysteme. Je nachdem, ob man Punkte auf einer Ebene oder im Raum beschreiben will, benötigt man dazu je 2 oder 3 Zahlenwerte (Koordinaten). Dabei ist die Reihenfolge der Zahlenwerte entscheidend, es handelt sich somit um geordnete Paare bzw. Tripel. Wir bleiben im Rahmen dieses Buchs in der Ebene bzw. im 3-dimensionalen Raum und werden zunächst die in der Ebene gebräuchlichen Koordinatensysteme thematisieren.

Helmut Albrecht

Kapitel 3. Punkte und Strecken

Zusammenfassung

Durch die Angabe von zwei Punkten ist die dazwischenliegende Strecke festgelegt. Allein aus den Koordinaten des Anfangs- und Endpunkts lassen sich alle weiteren Eigenschaften dieser Strecke bestimmen.

Helmut Albrecht

Kapitel 4. Geraden

Zusammenfassung

Nachdem die Position eines Punkts durch dessen Koordinaten exakt bestimmbar ist, lässt sich auch die Lage weiterer durch mehrere Punkte gegebener Objekte (Geraden, Kreise, …) in einem Koordinatensystem eindeutig festlegen.

Helmut Albrecht

Kapitel 5. Punkte und Geraden

Abstract

Es gibt vielfältige Beziehungen zwischen Punkten und Geraden, um solche Beziehungen soll es in diesem Kapitel gehen. Eine einfach zu klärende Frage ist diejenige, ob ein Punkt auf einer gegebenen Geraden liegt; man führt dazu eine Punktprobe durch.

Helmut Albrecht

Kapitel 6. Erkennen von Figuren

Zusammenfassung

Mithilfe der bisher erarbeiteten Zusammenhänge kann eine Vielzahl von geometrischen Fragestellungen bearbeitet werden, die im Zusammenhang mit den klassischen Figuren Dreieck und Viereck stehen. Zunächst soll es darum gehen, bereits aus den Koordinaten von drei oder vier Punkten zu erkennen, ob diese ein spezielles Drei- bzw. Viereck bilden.

Helmut Albrecht

Kapitel 7. Linien, Punkte und Flächeninhalt im Dreieck

Zusammenfassung

Die Beschäftigung mit Dreiecken nimmt innerhalb der Schulgeometrie einen breiten Raum ein. Mit den bisher erarbeiteten Grundlagen der Koordinatengeometrie lassen sich bereits viele Fragestellungen angehen. In den meisten Fällen können diese Fragen modular aus den bisher erarbeiteten Grundlagen beantwortet werden. Lediglich für die Koordinaten des Schwerpunkts und den Flächeninhalt eines Dreiecks werden geschlossene Formeln hergeleitet.

Helmut Albrecht

Kapitel 8. Kreise im Koordinatensystem

Zusammenfassung

Neben Strecken, Geraden und Polygonen spielen Kreise eine wesentliche Rolle in der Mittelstufengeometrie. Als geometrische Objekte werden sie mit dem Zirkel gezeichnet und dienen meist als Hilfsmittel bei der Lösung von Konstruktionsaufgaben, eine algebraische Beschreibung der Kreislinie unterbleibt in aller Regel. Dies mag zuvörderst daran liegen, dass ein Kreis – im Gegensatz zu Geraden – nicht Graph einer Funktion sein kann.

Helmut Albrecht

Kapitel 9. Schnittpunkte zweier Kreise

Zusammenfassung

Für viele geometrische Konstruktionen werden Schnittpunkte von Kreisen benötigt. Solche Schnittpunkte können algebraisch aus den Kreisgleichungen gefunden werden. Dabei sind einige Besonderheiten zu beachten.

Helmut Albrecht

Kapitel 10. Kegelschnitte

Zusammenfassung

Die Ellipse ist das affine Bild eines Kreises. Sie treten beispielsweise als Schnitte von Kreiszylindern auf, was man in jeder Metzgerei beobachten kann. Weniger bekannt und auf den ersten Blick verblüffend ist allerdings, dass die Ellipse auch beim Schnitt eines Kegels mit einer Ebene in Erscheinung treten kann.

Helmut Albrecht

Kapitel 11. Kegelschnitte bewegen

Zusammenfassung

Möchte man Kegelschnitte nicht immer nur in der ersten Hauptachsenlage und achsenparallel im Koordinatensystem darstellen, so muss man eine Koordinatentransformation vornehmen. Zuvor wollen wir jedoch die Ellipsen- und Hyperbelgleichung in eine andere Form bringen.

Helmut Albrecht

Kapitel 12. Hintereinanderausführung von Bewegungen

Zusammenfassung

Bei den bisher diskutierten Bewegungen handelt es sich um Verschiebungen bzw. um Drehungen. Es ist hinlänglich bekannt, dass die Hintereinanderausführung zweier Abbildungen im Allgemeinen nicht kommutativ ist. So macht es einen Unterschied, ob man einen Kegelschnitt zuerst verschiebt und dann diesen verschobenen Kegelschnitt dreht oder ob man bei genau gleichen Parametern für die Drehung und die Verschiebung in umgekehrter Reihenfolge vorgeht.

Helmut Albrecht

Kapitel 13. Rücktransformation von Kegelschnitten

Zusammenfassung

In den beiden vorhergehenden Kapiteln haben wir Kegelschnitte algebraisch verschoben und gedreht und sind so zu doppelt-quadratischen Gleichungen gelangt. Im Umkehrschluss stellen offensichtlich doppelt-quadratische Gleichungen Kegelschnittte in beliebiger Lage in der Ebene dar.

Helmut Albrecht

Kapitel 14. Leitkreiskonstruktion der Kegelschnitte

Zusammenfassung

Schon die alten Griechen beschäftigte die Aufgabe, Tangenten an gebogene Linien zu konstruieren. Da beim Kreis eine Tangente und der Berührradius senkrecht aufeinander stehen, ist das Problem in diesem Fall leicht mithilfe des Thaleskreises lösbar. Dies ist jedoch bei den allgemeinen Kegelschnitten nicht der Fall: weder bei der Ellipse noch bei der Hyperbel verläuft die Senkrechte auf die Tangente durch den Berührpunkt durch den Mittelpunkt. Die Tangentennormale verläuft im Allgemeinen auch durch keinen Brennpunkt eines Kegelschnitts, so dass hier ein anderes Verfahren benötigt wird. Die Grundlage hierfür liefert die Leitkreiskonstruktion von Kegelschnitten.

Helmut Albrecht

Kapitel 15. Weitere Aufgaben zu Kegelschnitten

Zusammenfassung

Mit der Thematik der Kegelschnitte erschließt sich ein ungemein weites und interessantes Feld in der Geometrie, das hier im Buch nur in einem kleinen, aber hoffentlich motivierenden Ausschnitt präsentiert werden kann. Bereits die Griechen zur Zeit Euklids beschäftigten sich mit Kegelschnitten. Das Wissen der damaligen Zeit sammelte Apollonius von Perge und ergänzte es mit eigenen Erkenntnissen. Von ihm stammen auch die Begriffe Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Helmut Albrecht

Kapitel 16. Darstellung dreidimensionaler Körper

Zusammenfassung

Unsere Umwelt ist dreidimensional, wir sind es jedoch gewohnt, sie in zweidimensionalen Abbildungen zu sehen. Die Geometrie beschäftigt sich auch damit, wie dreidimensionale Körper in der Ebene dargestellt werden können. Einfach darzustellen sind sogenannte schiefe Parallelprojektionen. Die sogenannten Schrägbilder entstehen durch eine schiefe Parallelprojektion von Körpern auf die Bildebene.

Helmut Albrecht

Backmatter

Titel: Elementare Koordinatengeometrie
verfasst von: Prof. Dr. Helmut Albrecht
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-61620-8
Print ISBN: 978-3-662-61619-2
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-61620-8