Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie II

Inhaltsverzeichnis

1. Frontmatter

2. Kapitel 1. Stochastische Prozesse

   Andrea Pascucci

   Zusammenfassung

   Zufallsvariablen beschreiben den Zustand eines zufälligen Phänomens: zum Beispiel eine unbeobachtbare Position eines Teilchens in einem physikalischen Modell oder den Preis zu einem zukünftigen Datum einer Aktie in einem Finanzmodell. Stochastische Prozesse beschreiben

3. Kapitel 2. Markov-Prozesse

   Andrea Pascucci

   Zusammenfassung

   Markov-Prozesse stellen  eine grundlegende Klasse von stochastischen Prozessen dar, die durch eine Gedächtnislosigkeitseigenschaft gekennzeichnet sind, die sie hoch handhabbar und vorteilhaft in praktischen Anwendungen macht. In diesem Kapitel ist die Menge der Indizes \(I = {{\mathbb {R}}}_{\ge 0}\), wobei \(t \in I\) als Zeitpunkt interpretiert wird.

4. Kapitel 3. Stetige Prozesse

   Andrea Pascucci

   Zusammenfassung

   Der Begriff der Stetigkeit für stochastische Prozesse, obwohl intuitiv, birgt einige kleine Fallstricke und muss daher sorgfältig analysiert werden.

5. Kapitel 4. Brownsche Bewegung

   Andrea Pascucci

   Zusammenfassung

   Die Brownsche Bewegung ist einer der herausragendsten stochastischen Prozesse. Sie verdankt ihren Namen dem Botaniker Robert Brown, der um 1820

6. Kapitel 5. Poisson-Prozess

   Andrea Pascucci

   Zusammenfassung

   Der Poisson-Prozess, bezeichnet als \((N_{t})_{t\ge 0}\), dient als Prototyp eines „reinen Sprungprozesses“.

7. Kapitel 6. Stoppzeiten

   Andrea Pascucci

   Zusammenfassung

   Stoppzeiten sind ein grundlegendes Werkzeug in der Untersuchung von stochastischen Prozessen: Sie sind spezielle zufällige Zeiten, die eine Konsistenzbedingung in Bezug auf die zugewiesene Filtration von Informationen erfüllen. Das Konzept der Stoppzeit liegt einigen tiefgreifenden Ergebnissen über die Struktur von Martingalen zugrunde: dem Optional Sampling Theorem, den Maximal-Ungleichungen und dem Upcrossing-Lemma. Die inhärenten Herausforderungen bei der Herstellung dieser Ergebnisse werden auch innerhalb des diskreten Rahmens deutlich.

8. Kapitel 7. Starke Markov-Eigenschaft

   Andrea Pascucci

   Zusammenfassung

   In diesem Kapitel bezeichnet \(X=(X_{t})_{t\ge 0}\) einen Markov-Prozess mit Übergangsverteilung p auf einem gefilterten Wahrscheinlichkeitsraum \(({\Omega },\mathscr {F},P,\mathscr {F}_{t})\), der die üblichen Bedingungen erfüllt. Die starke Markov-Eigenschaft ist eine Erweiterung der Markov-Eigenschaft, bei der die Anfangszeit eine Stoppzeit ist.

9. Kapitel 8. Stetige Martingale

   Andrea Pascucci

   Zusammenfassung

   In diesem Kapitel erweitern wir einige wichtige Ergebnisse vom diskreten auf den kontinuierlichen Fall, wie das Optional Sampling Theorem und Doobs Maximalungleichung für Martingale. Die allgemeine Strategie besteht aus drei Schritten.

10. Kapitel 9. Theorie der Variation

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    In diesem Kapitel überprüfen wir einige grundlegende Konzepte der deterministischen Integrationstheorie im Sinne von Riemann-Stieltjes und Lebesgue-Stieltjes. Wir werden sehen, dass die Trajektorien einer Brownschen Bewegung (und im Allgemeinen eines Martingals) leider nicht regulär genug sind, um das Brownsche Integral in einem deterministischen Sinne Pfad für Pfad zu definieren.

11. Kapitel 10. Stochastisches Integral

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    In diesem Kapitel führen wir das stochastische Integral

    $$ X_{t}:=\int _{0}^{t}u_{s}dB_{s},\qquad t\ge 0, $$

    ein, interpretiert als stochastischer Prozess mit variierendem Integrationsendpunkt. Wir werden geeignete HypoBehauptungn für den Integranden Prozess u und den Integrator Prozess B annehmen.

12. Kapitel 11. Itô’s Formel

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    Die Formel von Itô ist das wichtigste Werkzeug in der stochastischen Differentialrechnung. In diesem Kapitel stellen wir mehrere Versionen vor, die die allgemeinen Regeln der stochastischen Analysis liefern und die analoge deterministische Formel des Satzes für das Lebesgue-Stieltjes Integral verallgemeinern.

13. Kapitel 12. Mehrdimensionale stochastische Analysis

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    In diesem Kapitel erweitern wir die Definitionen und Ergebnisse der vorherigen Kapitel auf den mehrdimensionalen Fall. Wir führen keine wirklich neuen Konzepte ein; jedoch werden einige Ergebnisse, wie die Itô-Formel, technisch ko mplizierter und aus diesem Grund können einige formale Regeln, die in Abschn. 12.3 eingeführt wurden, für praktische Berechnungen nützlich sein.

14. Kapitel 13. Maßwechsel und Martingaldarstellung

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    In diesem Kapitel stellen wir zwei klassische Resultate vor:

    • Das Girsanov-Theorem 13.3.3, das besagt, dass der durch Hinzufügen eines Drifts zu einer Brownschen Bewegung erhaltene Prozess unter einem neuen Wahrscheinlichkeitsmaß wieder eine Brownsche Bewegung ist;
    • das Martingal-Darstellungstheorem 13.5.1, demzufolge jedes lokale Martingal bezüglich der Brownschen Filtration eine Darstellung als stochastisches Integral besitzt und somit eine stetige Version hat.

15. Kapitel 14. Stochastische Differentialgleichungen

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    Ab diesem Kapitel beginnen wir mit der Untersuchung von Stochastischen Differentialgleichungen, im Folgenden mit SDE abgekürzt. Wie bereits in Abschn. 2.6 erwähnt, wurden solche Gleichungen ursprünglich für die Konstruktion von stetigen Markov-Prozessen oder Diffusionen eingeführt. Im Laufe der Zeit haben SDEs an Bedeutung in der stochastischen Modellierung in einer Vielzahl von Bereichen gewonnen.

16. Kapitel 15. Feynman-Kac Formeln

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    Die Feynman-Kac Formeln bieten einen probabilistischen Rahmen zur Darstellung von Lösungen partieller Differentialgleichungen (abgekürzt als PDEs), die den Operator \(\mathscr {A}_t\) beinhalten.

17. Kapitel 16. Lineare Gleichungen

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    In diesem Kapitel betrachten wir stochastische Differentialgleichungen der Form.

18. Kapitel 17. Starke Lösungen

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    Wir präsentieren klassische Ergebnisse bezüglich der starken Existenz und Pfad-Eindeutigkeit für SDEs. Wir behalten die allgemeinen Notationen aus Kap. 14 bei und konzentrieren uns auf die SDE.

19. Kapitel 18. Schwache Lösungen

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    In diesem Kapitel stellen wir schwache Existenz- und Eindeutigkeitsergebnisse für SDEs mit Koeffizienten.

20. Kapitel 19. Ergänzungen

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    Wir bieten eine kurze und entspannte Erkundung verschiedener Wege, die die Theorie der stochastischen Differentialgleichungen genommen hat. Am Ende jedes Abschnitts fügen wir eine Bibliographie hinzu, die interessierte Leser auf weitere Literatur zu den speziell diskutierten Themen hinweist.

21. Kapitel 20. Eine Einführung in parabolische PDEs

    Andrea Pascucci

    Zusammenfassung

    Wir geben einen knappen Überblick über grundlegende Ergebnisse zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Cauchy-Problems für parabolische partielle Differentialgleichungen.

22. Backmatter