Elementargeometrie

Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht

verfasst von: Ilka Agricola, Thomas Friedrich

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Das vorliegende Lehrbuch führt in alle unterrichtsrelevanten Themen der Elementargeometrie ein. Es eignet sich als Begleitbuch zur gleichnamigen Vorlesung für Studierende des Lehramts Mathematik sowohl in den Bachelor- als auch in den Staatsexamensstudiengängen. Die beiden letzten Kapitel eignen sich für vertiefende Lehrveranstaltungen und bieten viele mögliche Themen für Seminar- und Studienarbeiten. Die 4. Auflage wurde sorgfältig überarbeitet und erweitert. Manche Themenkomplexe sind nun ausführlicher dargestellt worden. Einige Abbildungen geometrischer Modelle wurden ergänzt und die Anzahl der Übungsaufgaben wurde weiter erhöht. Am Ende des Buches findet der Leser Lösungen ausgewählter Aufgaben zu allen Kapiteln; das Buch ist so sehr gut zur Prüfungsvorbereitung geeignet. Die Autoren bieten darüber hinaus einen besonderen Service an: Jeder Studierende, der beim Lösen der Übungsaufgaben auf Schwierigkeiten stößt, kann sich per E-Mail direkt an die Autoren wenden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Elementargeometrische Figuren und ihre Eigenschaften

Zusammenfassung

Die euklidische Geometrie handelt von den Geraden, Dreiecken, Kreisen und ihren Eigenschaften, im Raum kommen Polyeder hinzu. Wir setzen implizit voraus, dass die Ebene und der Raum als euklidische Vektorräume bekannt sind: Insbesondere induziert das Konzept des Vektors den Begriff der Parallelität zweier Geraden und das Skalarprodukt definiert den Begriff des Winkels und der Länge. Gleichwohl werden wir in der Darstellung die Parallelität, den Längen- und den Winkelbegriff als die fundamentaleren Konzepte in den Vordergrund stellen, weil sie direkt an Vorkenntnisse von Schülern anknüpfen. Wir beginnen die Darlegungen mit den grundlegendsten geometrischen Gebilden, den Geraden in der Ebene.

Ilka Agricola, Thomas Friedrich

2. Symmetrien der Ebene und des Raumes

Zusammenfassung

Wir erinnern daran, dass \({\varepsilon ^n}\) den affinen Raum aller Punkte und V (\({\varepsilon ^n}\)) den zugrunde liegenden euklidischen Vektorraum bezeichnet. Im weiteren benötigen wir nicht nur den Begriff der linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, sondern auch den Begriff der affinen Abbildung. Diesen besprechen wir nochmals.

Ilka Agricola, Thomas Friedrich

3. Hyperbolische Geometrie

Zusammenfassung

Die Geometrie der euklidischen Ebene beinhaltet eine Vielzahl von Resultaten über die elementargeometrischen Figuren sowie über die Bewegungen der Ebene in sich. In den vorherigen Kapiteln des Buches hatten wir einige dieser Ergebnisse vorgestellt. Es gehört zu den großen kulturhistorischen Leistungen der griechischen Antike und namentlich von Euklid (geb. um 365 v. u. Z., gest. um 300 v. u. Z.), einen systematischen Aufbau dieser Erkenntnisse ausgearbeitet zu haben. Dabei wird von wenigen, nicht näher definierten Grundbegriffen (Punkt, Gerade) sowie einer Reihe nicht näher motivierter Grundannahmen die Beziehungen zwischen diesen Objekten betreffend ausgegangen. Die weiteren geometrischen Aussagen erhält man danach durch rein deduktives Schließen aus den sogenannten Axiomen. Diesen systematisierenden Aufbau der Geometrie nennt man die Axiomatisierung der Elementargeometrie. Die historischen Aspekte des Zugangs von Euklid zur Geometrie wurden in einer Vielzahl von Büchern besprochen, wir verweisen beispielsweise auf des Buch von C.J. Scriba und P. Schreiber, welches der Leser im Literaturverzeichnis findet.

Ilka Agricola, Thomas Friedrich

4. Sphärische Geometrie

Zusammenfassung

Der zweidimensionale elliptische Raum besteht aus Punkten, Geraden und einer Abstandsmessung zwischen Punkten, hat also alle Elemente einer absoluten Geometrie. Die Geraden in dieser Geometrie enthalten unendlich viele Punkte, sind aber, bezogen auf ihre Länge, nicht unendlich verlängerbar. Damit ist der elliptische Raum keine geometrische Ebene im Sinne des Abschnittes 4.1. Je zwei elliptische Geraden schneiden sich, es existieren keine parallelen elliptischen Geraden. Bei einem axiomatischen Aufbau der elliptischen Geometrie sind die Axiome geeignet zu modifizieren, dies betrifft insbesondere das Axiom A.6. Wir verfolgen diese axiomatische Beschreibung der elliptischen Geometrie nicht, sondern besprechen nur die Realisierung in einem ihrer Modelle auf der Sphäre. Die sphärische Trigonometrie ist wichtig in der Geodäsie und der sphärischen Astronomie. Ihre grundlegenden Resultate gehen auf Mathematiker und Astronomen des 9.−12. Jahrhunderts zurück.

Ilka Agricola, Thomas Friedrich

Backmatter

Titel: Elementargeometrie
verfasst von: Ilka Agricola
Thomas Friedrich
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-06731-1
Print ISBN: 978-3-658-06730-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-06731-1