Ellipsen im Gitter

Ein Kreis von Radius 5, der in einem Gitter (aus Einheitsquadraten) liegt, muß immer einen Gitterpunkt enthalten: Der Kreis ist zu groß, um alle Gitterpunkte zu vermeiden. (Wir nehmen an, daß all unsere Figuren ihren Rand enthalten; sie sollen also abgeschlossen sein). Nat ürlich kann ein sehr kleiner Kreis so liegen, daß er keinen Gitterpunkt enthält. Da es zu jedem Punkt der Ebene einen Gitterpunkt gibt, so daß der Abstand zwischen diesen Punkten nicht größer als √212 ist √2/2ist die halbe Diagonallänge eines Einheitsquadrates im Gitter), hat jeder Kreis mit einem Radius ⩾ √2/2 unabhängig von der Lage des Mittelpunktes eine solche Ausdehnung, daß er mindestens einen Gitterpunkt enthält. Herausfordernder ist der Beweis dafür, daß ein a X b-Rechteck in beliebiger Lage genau dann mindestens einen Gitterpunkt enthält, wenn a ⩾1 und b ⩾√2 gilt. Sehr kompliziert ist der Nachweis, daß ein Dreieck garantiert immer einen Gitterpunkt enthält genau dann, wenn die Dreiecksfläche nicht kleiner als c2/2 (c −1) ist; dabei ist c die Länge der längsten Dreiecksseite. Ein überaus interessantes Thema ist der Fall der Ellipse.