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2022 | Book

Abzähltheorie nach Pólya

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Im Zentrum dieses essentials steht der gefeierte Abzählsatz von Pólya. Damit lassen sich kombinatorische Objekte mit Symmetrien abzählen, wie etwa Halsketten mit bunten Perlen und Würfel mit gefärbten Seiten, aber auch Graphen und Bäume. Die Gruppentheorie wird dafür benutzt, die Symmetrien der abzuzählenden Figuren zu beschreiben. Darauf aufbauend kann anhand der Operation der jeweiligen Symmetriegruppe auf den gefärbten Figuren die Anzahl der verschiedenen Muster ermittelt werden. Grundlegend hierfür ist das Lemma von Burnside. Aus seiner gewichteten Fassung wird unter Einbeziehung der Zyklenindexpolynome von Symmetriegruppen der berühmte Pólyasche Satz hergeleitet. Einige Beispiele runden die Darstellung ab.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Einführung in die kombinatorische Abzählung
Zusammenfassung
Die Kombinatorik als mathematische Disziplin ist in erster Linie als Kunst des Zählens bekannt. Damit sollen Fragen untersucht werden, die mit „Wie viele“ beginnen. Für die Bewältigung des vorliegenden Büchleins werden grundlegende Konzepte aus der Mengenlehre vorausgesetzt.
Karl-Heinz Zimmermann
Kapitel 2. Algebraische Grundlagen
Zusammenfassung
Die algebraischen Grundlagen in diesem Kapitel beziehen sich im Wesentlichen auf die Gruppentheorie als hauptsächliches Hilfsmittel für die Abzählung nach Pólya. Gruppen durchdringen viele Bereiche der Mathematik und Physik.
Karl-Heinz Zimmermann
Kapitel 3. Zentrale Konzepte

Nach der Präzisierung der Grundbegriffe der Gruppentheorie werden in diesem Kapitel weitere Grundlagen für die Abzählung nach Pólya erörtert. Ausgangspunkt ist das unscheinbare, aber mächtige Konzept der Gruppenoperation. Zentral ist dabei die Beobachtung, dass eine auf einer Menge operierende Gruppe eine Partition derselben induziert. Nach allgemeinen Überlegungen werden am Schluss zwei spezielle Gruppenoperationen behandelt. Im Folgenden werden alle betrachteten Gruppen und Mengen als endlich angenommen.

Karl-Heinz Zimmermann
Kapitel 4. Abzählung nach Pólya
Zusammenfassung
Nach der Einführung des Konzepts der Gruppenoperation wird in diesem Kapitel die Abzählung der Bahnen einer Gruppenoperation behandelt. Das Lemma von Burnside stellt in seinen unterschiedlichen Ausprägungen eine Vorstufe des berühmten Abzählsatzes von Pólya dar, der aus der gewichteten Version des Lemmas von Burnside unter Einbeziehung von Zyklenindexpolynomen entwickelt wird.
Karl-Heinz Zimmermann
Kapitel 5. Historie und Zusammenfassung
Zusammenfassung
Die Suche nach kombinatorischen Mustern ist so alt wie die Zivilisation. Die Verwendung von binären n-Tupeln kann bis ins alte China, Indien und Griechenland zurückverfolgt werden. Aufzeichnungen für die Benutzung von Permutationen stammen hingegen erst aus der Frühen Neuzeit. Eine kuriose Aufgabe über die Anzahl der Permutationen eines von einem Jesuitenpriester namens Bernard Bauhuis stammenden Verses erweckte die Aufmerksamkeit von mehreren prominenten Mathematikern des 17. Jahrhunderts, darunter der junge Leibniz und Bernoulli.
Karl-Heinz Zimmermann
Backmatter
Metadata
Title
Abzähltheorie nach Pólya
Author
Prof. Dr. Dr. Karl-Heinz Zimmermann
Copyright Year
2022
Electronic ISBN
978-3-658-36498-4
Print ISBN
978-3-658-36497-7
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-36498-4

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