Analysis einer Veränderlichen

Es werden die Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen wie gleichmäßige und kompakte Konvergenz behandelt. Wir leiten die Produktdarstellungen von Sinus und Kosinus her und geben verschiedene Beweise für den Weierstraßschen Approximationssatz. Als wichtige Beispiele von Funktionenreihen behandeln wir das Rechnen mit Potenzreihen und beweisen unter anderem den Abelschen Grenzwertsatz. Potenzreihen bilden die Grundlage für ein einführendes Studium reell-analytischer und holomorpher, d.h. komplex-analytischer Funktionen. Für Letztere beweisen wir u.a. Maximum- und Minimumprinzip und die Holomorphie der Grenzfunktion holomorpher Funktionen bei kompakter Konvergenz. Schließlich betrachten wir die Exponentialfunktion sowie Kreis- und Hyperbelfunktionen als wichtigste Beispiele analytischer Funktionen. Dabei bereits wird $\pi$ über den Kern der komplexen Exponentialfunktion $\C\to\C^\times$ eingeführt.

Im Zentrum dieses Kapitels stehen differenzierbare Funktionen einer reellen Veränderlichen. Die Werte dürfen dabei oft auch in $\C$ liegen oder sogar in einem Banach-Raum. Globale Aussagen über differenzierbare Funktionen werden durch Mittelwertsätze geliefert, wobei das Lemma von Hahn-Banach bewiesen wird, um diese auf Funktionen mit Werten in Banach-Räumen verallgemeinern zu können. Weitere Themen sind trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen, Methoden zur Nullstellenbestimmung wie das Newton-Verfahren und Kurvendiskussion. Die Sätze über das Differenzieren von Funktionenfolgen werden dargestellt und u.a. an den Weierstraßschen $\wp$-Funktionen demonstriert. Außerdem studieren wir Dirichlet-Reihen und beweisen als Anwendung den Dirichletschen Primzahlsatz. Am Ende des Kapitels behandeln wir die Taylor-Formel und ihre Verallgemeinerungen sowie die einschlägigen Algorithmen zur Interpolation.

In diesem Kapitel werden Integrale von Funktionen einer reellen (oder auch komplexen) Variablen mit Hilfe von Stammfunktionen eingeführt. Wir leiten die zugehörigen Rechenregeln her und zeigen, dass stetige Funktionen stets Stammfunktionen besitzen. Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung schafft die Verbindung zum Flächenbegiff und ermöglicht es, Flächeninhalte und auch einfache Volumina sowie Kurvenlängen zu berechnen. Auf den Zusammenhang mit Riemannschen Summen und der Riemann-Integrierbarkeit wird kurz eingegangen, der wichtigere Begriff der Lebesgue-Integrierbarkeit bleibt aber Bd. 6 über Maß- und Integrationstheorie vorbehalten. Breiten Raum nehmen uneigentliche Integrale ein, insbesondere die Gamma-Funktion und damit verwandte Integrale sowie die elliptischen Integrale. Außerdem behandeln wir die Eulersche Summenformel und wenden sie auf Methoden zur numerischen Integration wie das Romberg-Verfahren an. Weitere Themen des Kapitels sind die Riemannsche Zeta-Funktion, Hutfunktionen, Doppelintegrale und Windungszahlen.