Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I

Theorie, Beispiele und Aufgaben zu den Grundlagen

Author: Jens Kunath

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

About this book

Wissen Sie noch, was Vektoren sind und wie man mit ihnen rechnet? Wie man Gleichungssysteme löst oder eine Ebene im Raum beschreibt?

Mit diesem Buch können Sie Ihr Wissen aus dem Mathematikunterricht der Oberstufe auffrischen und sich so auf ein Studium vorbereiten, in dem solide Grundkenntnisse der Schulmathematik benötigt werden. Durch die anschauliche Darstellung sowie die vielen Beispiele eignet sich das Werk aber auch hervorragend als Begleitmaterial zu einer einführenden Mathematikvorlesung.

Neben ausführlichen, aber klaren Herleitungen erleichtern besonders die zahlreichen Übungsaufgaben mit Lösungen das Lesen und Lernen: Statt trockener Theorie steht hier immer das Üben und Verstehen im Vordergrund. Sie können die Lösungen zu den Übungsaufgaben bequem online auf SpringerLink finden.

Beweise und zusätzliche Erklärungen gehen außerdem teilweise über den Schulstoff hinaus, sodass Sie gleichzeitig behutsam an den hochschultypischen Lehr- und Lernstil herangeführt werden.

In Band 1 liegt der Fokus auf Inhalten, die typischerweise im Mathematikunterricht der Abiturstufe behandelt werden: Lineare Gleichungssysteme, Vektoren, Geraden und Ebenen. Nach sorgfältiger Durchsicht der Erstauflage steht jetzt die vorliegende zweite verbesserte Auflage zur Verfügung.

Frontmatter

Kapitel 1. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird zu Beginn ausführlich auf den Begriff der linearen Gleichung eingegangen. Darauf aufbauend werden lineare Gleichungssysteme behandelt und dazu die aus der Schulmathematik bekannten einfachen Algorithmen zur Lösung von Systemen mit zwei und drei Variablen wiederholt. Der in der Hochschulmathematik besonders wichtige Gauß-Algorithmus wird zunächst speziell zur Lösung von Systemen mit drei Variablen vorgestellt und zum Abschluss des Kapitels zur Lösung von Systemen mit beliebiger Variablenanzahl verallgemeinert.

Jens Kunath

Kapitel 2. Vektoren und ihre Eigenschaften

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird ein Vektorraummodell und seine Eigenschaften Schritt für Schritt vorgestellt, wobei dies über die in der Schulmathematik übliche Interpretation von Vektoren als Verschiebung von Punkten in der Ebene und im Raum erfolgt. Dazu werden zunächst die kartesischen Koordinatensysteme der Ebene und des dreidimensionalen Raumes behandelt, anschließend der Vektorbegriff hergeleitet und elementare Rechenoperationen im Vektorraum behandelt. Ausführlich wird auf die lineare (Un-) Abhängigkeit von Vektoren eingegangen. Im Abschnitt zu Winkelberechnungen zwischen Vektoren wird außerdem auf orthogonale Vektoren eingegangen und in diesem Zusammenhang das Kreuzprodukt als weitere Rechenoperation zwischen zwei Vektoren vorgestellt. Zum Abschluss des Kapitels werden wichtige Begriffe wie Erzeugendensystem, Basis und Dimension eines Vektorraumes behandelt.

Jens Kunath

Kapitel 3. Geraden und Ebenen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die wichtigsten Kenntnisse zu Geraden (in der Ebene und im Raum) und Ebenen vermittelt. Zuerst wird dabei auf die Darstellung von Geraden durch Gleichungen eingegangen, wobei im Fall von Geraden in einer Ebene neben der üblichen Darstellung durch eine vektorielle Gleichung auch die Darstellung durch eine Normalengleichung vorgestellt wird. In der Folge werden, sowohl in der Ebene als auch im Raum, Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden diskutiert. Im Anschluss wird auf die verschiedenen Möglichkeiten eingegangen, wie eine Ebene durch Gleichungen dargestellt werden kann, wobei zahlreiche Beispiele aufzeigen, wie aus einer Darstellungsart eine andere erhalten wird. Ausführlich werden Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen sowie zwischen zwei Ebenen diskutiert, wobei an zahlreichen Beispielen aufgezeigt wird, dass es dazu die verschiedensten Vorgehensweisen und Rechenwege gibt, bei denen alle zuvor eingeführten Ebenengleichungen verwendet werden können. Selbstverständlich wird auch auf die Berechnung von Schnittwinkeln eingegangen und Abstandsberechnungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen behandelt. Zum Abschluss des Kapitels wird an Beispielen die rechnerische Spiegelung von Punkten, Geraden bzw. Ebenen an ebensolchen geometrischen Objekten vorgeführt.

Jens Kunath

Backmatter

Title: Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I
Author: Jens Kunath
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-67812-1
Print ISBN: 978-3-662-67811-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67812-1

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Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I

Theorie, Beispiele und Aufgaben zu den Grundlagen

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Table of Contents

Frontmatter

Kapitel 1. Lineare Gleichungssysteme

Kapitel 2. Vektoren und ihre Eigenschaften

Kapitel 3. Geraden und Ebenen

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