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About this book

Mehr als 500 typische Klausur- und Übungsaufgaben zur Höheren Mathematik für Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler mit detaillierten Lösungen ermöglichen eine optimale Vorbereitung auf Prüfungen und erleichtern die Bearbeitung von Übungsblättern. Darüber hinaus illustrieren Programmieraufgaben den Einsatz von MATLAB® und Maple™ bei zentralen mathematischen Problemstellungen.

Die dritte Auflage enthält eine Reihe neuer Aufgaben und eine Formelsammlung zum schnellen Nachschlagen verwendeter Methoden und Lehrsätze.

Inhalt dieses zweiten Bandes:

Lineare AlgebraDifferentialrechnung in mehreren VeränderlichenMehrdimensionale IntegrationAnwendungen mathematischer Software

Ergänzt werden die Bände der Neuauflage durch Präsentationsfolien zu den Themengebieten der Höheren Mathematik sowie das Lexikon und die Aufgabensammlung von Mathematik-Online. Diese Internet-Angebote bieten insbesondere ausführliche Beschreibungen mathematischer Lehrsätze und Methoden und ermöglichen, erlernte Techniken interaktiv zu überprüfen.

Die Autoren

Klaus Höllig promovierte 1979 in Bonn, lehrte als Professor of Mathematics and Computer Sciences an der University of Wisconsin-Madison und leitete anschließend den Lehrstuhl für Numerik und Geometrische Modellierung an der Universität Stuttgart. Er ist Mitbegründer von Mathematik-Online, einem Internet-Portal zur Höheren Mathematik.

Jörg Hörner ist seit mehr als 20 Jahren an der Universität Stuttgart in der Mathematik-Ausbildung von Ingenieuren und Naturwissenschaftlern tätig. Er ist technischer Leiter von Mathematik-Online und entwickelt unter anderem Software und Demos zur Illustration mathematischer Verfahren.

Table of Contents

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Grundlage für die Aufgaben der drei Bände von Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik bildet der Stoff, der üblicherweise Bestandteil der Mathematik-Grundvorlesungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften ist.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Lineare Algebra

Frontmatter

Kapitel 2. Gruppen und Körper

Zusammenfassung
Übersicht
  • 1.1 Gruppe der linearen Funktionen.
  • 1.2 Untergruppen der Kongruenzabbildungen eines Quadrates.
  • 1.3 Untergruppe generiert durch eine Permutation.
  • 1.4 Rechnen mit Permutationen in Zyklenschreibweise.
  • 1.5 Zyklendarstellung, Vorzeichen und Hintereinanderschaltung von Permutationen.
  • 1.6 Mathematik-Online Schiebepuzzle ?.
  • 1.7 Verknüpfungstabelle einer Permutationsgruppe.
  • 1.8 Gleichungssystem mit zwei Unbekannten über einem Primkörper.
  • 1.9 Identitäten in Modulo-Arithmetik.
  • 1.10 Größter gemeinsamer Teiler von zwei Polynomen.
  • 1.11 Chinesischer Restsatz für drei Kongruenzen ?.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 3. Vektorräume, Skalarprodukte und Basen

Zusammenfassung
Übersicht
  • 2.1 Unterräume des Vektorraums der Polynome.
  • 2.2 Eigenschaften reeller Skalarprodukte.
  • 2.3 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im R4.
  • 2.4 Lineare Unabhängigkeit und Basis im R4.
  • 2.5 Basis mit Parameter.
  • 2.6 Basis eines Polynomraums ?.
  • 2.7 Ergänzung zu einer komplexen orthogonalen Basis und Koeffizientenbestimmung.
  • 2.8 Orthogonale Basis einer Hyperebene und Projektion.
  • 2.9 Orthogonale Basis für einen Polynomraum.
  • 2.10 Basis zu einer Gramschen Matrix.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 4. Lineare Abbildungen und Matrizen

Zusammenfassung
Übersicht
  • 3.1 Linearität von Abbildungen.
  • 3.2 Matrixdarstellung einer linearen Abbildung.
  • 3.3 Matrix der Projektion auf eine Ebene.
  • 3.4 Matrix eines Basiswechsels.
  • 3.5 Affine Abbildungen.
  • 3.6 Affine Abbildungen in homogenen Koordinaten ?*.
  • 3.7 Matrix-Produkte.
  • 3.8 Multiplikation schwach besetzter Matrizen.
  • 3.9 Matrizen und binomische Formeln.
  • 3.10 Kommutierende 3 x 3-Matrizen ?*.
  • 3.11 Cholesky-Faktorisierung.
  • 3.12 Rechnen mit adjungierten Matrizen.
  • 3.13 Rang einer Matrix und orthogonale Basis für den Kern.
  • 3.14 Rang einer Matrix und orthogonale Basis für das Bild
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 5. Determinanten

Zusammenfassung
Übersicht
  • 4.1 Verschiedene Methoden zur Berechnung einer 3 x 3-Determinante.
  • 4.2 Determinanten von 3 x 3-Matrizen.
  • 4.3 Rechnen mit Determinanten.
  • 4.4 Umformung von 3 x 3-Determinanten.
  • 4.5 Entwicklung einer 4 x 4-Determinante.
  • 4.6 Determinante einer 5 x 5-Matrix ?*.
  • 4.7 Determinante einer dünn besetzten 5 x 5-Matrix.
  • 4.8 Determinanten von Matrizen mit Block-Struktur.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 6. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Übersicht
  • 5.1 Cramersche Regel für ein lineares Gleichungssystem (3 x 3).
  • 5.2 Rationale Interpolation.
  • 5.3 Lineares Gleichungssystem (4 x 4).
  • 5.4 Affine Transformation zu gegebenen Bildpunkten.
  • 5.5 Punkte innerhalb und außerhalb eines Dreiecks.
  • 5.6 Tridiagonales lineares Gleichungssystem (5 x 5).
  • 5.7 Elektrischer Schaltkreis.
  • 5.8 Bauer Marcus ?*.
  • 5.9 Zeilenstufenform und allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems (3 x 4).
  • 5.10 Zeilenstufenform und allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems (3 x 5).
  • 5.11 Lineares Gleichungssystem mit Parameter (2 x 2).
  • 5.12 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit Parameter (3 x 3).
  • 5.13 Lineares Gleichungssystem mit Parameter (3 x 3).
  • 5.14 Lineares Gleichungssystem mit Parameter (4 x 3).
  • 5.15 Inverse einer 3 x 3-Matrix .
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 7. Eigenwerte und Normalformen

Zusammenfassung
Übersicht
  • 6.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von 2 x 2-Matrizen.
  • 6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3 x 3-Matrix.
  • 6.3 Eigenvektoren von 3 x 3-Matrizen mit dreifachen Eigenwerten.
  • 6.4 Eigenwerte von Permutationsmatrizen.
  • 6.5 Eigenvektoren einer symmetrischen 4 x 4-Matrix.
  • 6.6 Diagonalisierung einer 3 x 3-Matrix.
  • 6.7 Diagonalform einer orthogonalen symmetrischen 3 x 3-Matrix.
  • 6.8 Dritte Wurzel einer 2 x 2-Matrix.
  • 6.9 Eigenwerte und Inverse einer zyklischen 4 x 4-Matrix.
  • 6.10 Normalität und Eigenvektoren einer 2 x 2-Matrix mit Parameter.
  • 6.11 Jordan-Form einer 3 x 3-Matrix.
  • 6.12 Grenzwert bei einer 3-Term-Rekursion.
  • 6.13 Marktanteile konkurrierender Firmen ?*.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 8. Ausgleichsprobleme und Singulärwertzerlegung

Zusammenfassung
Übersicht
  • 7.1 Ausgleichsgerade zu drei Datenpaaren.
  • 7.2 Ausgleichsproblem (3 x 2).
  • 7.3 Gerade mit kürzesten Abständen zu gegebenen Punkten ?*.
  • 7.4 Ausgleichsebene.
  • 7.5 Rekonstruktion eines Kreises aus gestörten Daten.
  • 7.6 Pseudo-Inverse einer 4 x 3-Matrix und ihrer Transponierten.
  • 7.7 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse einer 3 x 2-Matrix.
  • 7.8 Lösung eines Ausgleichsproblems mit der Singulärwertzerlegung.
  • 7.9 Lineare Approximation einer Abbildung ?*.
  • 7.10 Korrektur von Höhenmessungen ?*.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 9. Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken

Zusammenfassung
Übersicht
  • 8.1 Matrix-Darstellung einer Spiegelung.
  • 8.2 Projektion und Spiegelung, bestimmt durch eine Gerade.
  • 8.3 Drehachse und Drehwinkel.
  • 8.4 Matrixdarstellung einer Drehung.
  • 8.5 Drehmatrix, die gegebene Vektoren ineinander überführt.
  • 8.6 Drehung als Komposition zweier Spiegelungen.
  • 8.7 Zerlegung einer Drehung in Drehungen um die Koordinatenachsen.
  • 8.8 Gleichung einer Ellipse.
  • 8.9 Hyperbel durch einen Punkt zu gegebenen Brennpunkten.
  • 8.10 Hauptachsentransformation eines Kegelschnitts.
  • 8.11 Normalform eines Kegelschnitts.
  • 8.12 Rationale Parametrisierung eines Kegelschnitts.
  • 8.13 Normalform und Typ einer parameterabhängigen Quadrik.
  • 8.14 Normalform, Typ und Hauptachsenlängen einer Quadrik ?*.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Frontmatter

Kapitel 10. Stetigkeit, partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix

Zusammenfassung
Übersicht
  • 9.1 Stetigkeit im Ursprung.
  • 9.2 Höhenlinien und Schnitte einer bivariaten Funktion.
  • 9.3 Grenzwerte bivariater Funktionen.
  • 9.4 Sierpinski-Folgen ?*.
  • 9.5 Partielle Ableitungen bivariater Funktionen.
  • 9.6 Partielle Ableitungen eines Polynoms.
  • 9.7 Partielle Ableitungen trivariater Funktionen.
  • 9.8 Höhere partielle Ableitungen von trivariaten Funktionen.
  • 9.9 Partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung einer trivariaten Funktion ?*.
  • 9.10 Partielle Ableitungen bis zur dritten Ordnung einer bivariaten Funktion.
  • 9.11 Spezielle Lösungen partieller Differentialgleichungen.
  • 9.12 Jacobi-Matrizen (2 x 1, 1 x 2, 2 x 3).
  • 9.13 Jacobi-Matrizen (2 x 4, 3 x 3).
  • 9.14 Restglied der linearen Approximation mit Hilfe der Jacobi-Matrix.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 11. Kettenregel und Richtungsableitung

Zusammenfassung
Übersicht
  • 10.1 Erste und zweite partielle Ableitungen eines Ausdrucks mit einer quadratischen Form
  • 10.2 Erste und zweite partielle Ableitungen radialsymmetrischer Funktionen
  • 10.3 Kettenregel für den Gradienten einer bivariaten zusammengesetzten Funktion.
  • 10.4 Kettenregel für Jacobi-Matrizen.
  • 10.5 Jacobi-Matrix bei Komposition und Invertierung von Funktionen.
  • 10.6 Partielle Ableitungen und Polarkoordinaten.
  • 10.7 Ableitung einer trivariaten Funktion entlang einer Kurve.
  • 10.8 Richtungsableitungen trivariater Funktionen.
  • 10.9 Richtungsableitung und Abstiegsrichtungen einer bivariaten Funktion ?*.
  • 10.10 Steigungen bei einer Bergwanderung
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 12. Inverse und implizite Funktionen

Zusammenfassung
Übersicht
  • 11.1 Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung.
  • 11.2 Inverse und Jacobi-Matrizen für eine trivariate Funktion.
  • 11.3 Tangente einer algebraischen Kurve.
  • 11.4 Tangente und lokale Parametrisierung einer implizit definierten Kurve.
  • 11.5 Lokale Parametrisierung einer Schnittkurve ?*.
  • 11.6 Lokale Auflösbarkeit einer trivariaten Gleichung.
  • 11.7 Auflösbarkeit von zwei nichtlinearen Gleichungen.
  • 11.8 Implizite Differentiation und Tangentialebene.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 13. Anwendungen partieller Ableitungen

Zusammenfassung
Übersicht
  • 12.1 Kontrahierende univariate Abbildungen.
  • 12.2 Banachscher Fixpunktsatz für eine univariate Abbildung.
  • 12.3 Gestörtes lineares Gleichungssystem ?*.
  • 12.4 Newton-Verfahren für ein System zweier nichtlinearer Gleichungen.
  • 12.5 Tangenten ebener Kurven.
  • 12.6 Tangentialebenen für implizit und parametrisch definierte Flächen.
  • 12.7 Schnittgerade zweier Tangentialebenen.
  • 12.8 Fehlerfortpflanzung bei der Lösung einer quadratischen Gleichung.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 14. Taylor-Entwicklung

Zusammenfassung
Übersicht
  • 13.1 Bivariate quadratische Taylor-Approximation mit Hilfe bekannter Entwicklungen.
  • 13.2 Restglied eines bivariaten quadratischen Taylor-Polynoms.
  • 13.3 Quadratisches Taylor-Polynom einer trivariaten Funktion.
  • 13.4 Jacobi-Matrix und Abschätzung des Taylor-Restglieds.
  • 13.5 Taylor-Reihe einer bivariaten Wurzelfunktion ?*.
  • 13.6 Auflösbarkeit einer nichtlinearen Gleichung und Taylor-Approximation.
  • 13.7 Lineare Taylor-Approximation einer inversen Matrix ?*.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 15. Extremwerte

Zusammenfassung
Übersicht
  • 14.1 Kritische Punkte bivariater quadratischer Funktionen.
  • 14.2 Kritische Punkte eines bivariaten Polynoms.
  • 14.3 Nullstellenmenge und kritische Punkte einer bivariaten Funktion.
  • 14.4 Extremwerte eines trivariaten Polynoms.
  • 14.5 Minimum einer quadratischen Funktion auf einem Rechteck.
  • 14.6 Extrema einer bivariaten Funktion entlang einer Kurve.
  • 14.7 Extrema einer trivariaten linearen Funktion unter einer quadratischen Nebenbedingung.
  • 14.8 Quadratisches Optimierungsproblem.
  • 14.9 Abstand eines Kegelschnitts vom Ursprung.
  • 14.10 Extrema einer linearen Funktion unter Ungleichungsnebenbedingungen.
  • 14.11 US-Mailbox ?*.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Mehrdimensionale Integration

Frontmatter

Kapitel 16. Volumina und Integrale über Elementarbereiche

Zusammenfassung
Übersicht
  • 15.1 Elementare Doppelintegrale.
  • 15.2 Trigonometrische Doppelintegrale.
  • 15.3 Doppelintegrale mit Exponentialfunktionen.
  • 15.4 Doppelintegral einer rationalen Funktion.
  • 15.5 Vertauschung der Integrationsreihenfolge bei Doppelintegralen.
  • 15.6 Elementare Dreifachintegrale.
  • 15.7 Integration über die Vereinigungsmenge zweier Ellipsen.
  • 15.8 Integral über einen Pyramidenstumpf.
  • 15.9 Quadraturformel für ein Dreieck.
  • 15.10 Integration über einen Tetraeder.
  • 15.11 Volumen eines Polyeders.
  • 15.12 Darstellung und Volumen eines Schnittkörpers ?*.
  • 15.13 Volumina von Rohranschlussstücken.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 17. Transformationssatz

Zusammenfassung
Übersicht
  • 16.1 Integration über Parallelogramme.
  • 16.2 Integral einer quadratischen Funktion über ein Dreieck.
  • 16.3 Transformationssatz für ein Gebiet in Polarkoordinaten.
  • 16.4 Integral einer linearen Funktion über einen Spat.
  • 16.5 Integration eines Polynoms über einen polynomial parametrisierten ebenen Bereich.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 18. Kurven- und Flächenintegrale

Zusammenfassung
Übersicht
  • 17.1 Länge einer spiralförmigen Kurve und Kurvenintegral.
  • 17.2 Parametrisierung und Länge einer Hyperzykloide.
  • 17.3 Integral über ein Parallelogramm.
  • 17.4 Integral über eine Fläche mit polynomialer Parametrisierung.
  • 17.5 Flächeninhalt und Randlänge eines Funktionsgraphen.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 19. Integration in Zylinder- und Kugelkoordinaten

Zusammenfassung
Übersicht
  • 18.1 Flächeninhalt und Umfang eines in Polarkoordinaten beschriebenen Bereichs.
  • 18.2 Integration über einen elliptischen Kegel.
  • 18.3 Integrale über einen Zylinder und eine Kugel.
  • 18.4 Integral über eine Kugelkappe.
  • 18.5 Oberfläche eines Rohrs mit ausgestanztem Loch.
  • 18.6 Integral über eine Zylinderoberfläche.
  • 18.7 Integrale über eine Kugeloberfläche.
  • 18.8 Mittelwert der Abstandsfunktion für eine Sphäre.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 20. Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment

Zusammenfassung
Übersicht
  • 19.1 Volumen von Rotationskörpern bezüglich unterschiedlicher Achsen
  • 19.2 Profil und Volumen einer Vase.
  • 19.3 Volumen und Mantelfläche eines Rotationskörpers.
  • 19.4 Oberfläche eines Reifens.
  • 19.5 Guldinsche Regel für Volumina von Rotationskörpern.
  • 19.6 Volumen und Mantelfläche eines Hyperboloids.
  • 19.7 Geometrischer Schwerpunkt einer Eistüte.
  • 19.8 Flächenschwerpunkt eines Paraboloids.
  • 19.9 Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Kegelstumpfes.
  • 19.10 Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Paraboloids.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 21. Partielle Integration

Zusammenfassung
Übersicht
  • 20.1 Hauptsatz bei Kugel und Sphäre.
  • 20.2 Vereinfachung eines uneigentlichen Integrals mit Hilfe partieller Integration.
  • 20.3 Partielle Integration für einen Zylinder.
  • 20.4 Erste Greensche Formel für ein Dreieck.
  • 20.5 Greensche Formel für eine Kugel.
  • 20.6 Fundamentallösung der bivariaten Poisson-Gleichung.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Anwendungen mathematischer Software

Frontmatter

Kapitel 22. Matlab®

Zusammenfassung
Übersicht
  • 21.1 Produkte von Matrizen und Vektoren mit Matlab®
  • 21.2 Lineare Gleichungssysteme mit Matlab®
  • 21.3 Eigenwerte und Eigenvektoren mit Matlab®
  • 21.4 Ausgleichsprobleme mit Matlab®
  • 21.5 Normalform einer Quadrik mit Matlab®
  • 21.6 Visualisierung bivariater Funktionen mit Matlab®
  • 21.7 Minimierung mit Matlab®
  • 21.8 Gauß-Newton-Verfahren mit Matlab®
  • 21.9 Doppel- und Dreifachintegrale mit Matlab®
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 23. MapleTM

Zusammenfassung
Übersicht
  • 22.1 Eingabe und Multiplikation von Matrizen und Vektoren mit MapleTM.
  • 22.2 Gram-Schmidt-Orthogonalisierung mit MapleTM.
  • 22.3 Lösen linearer Gleichungssysteme mit MapleTM.
  • 22.4 Eigenwerte und Jordanform mit MapleTM.
  • 22.5 Lösen nichtlinearer Gleichungssysteme mit MapleTM.
  • 22.6 Partielle Ableitungen mit MapleTM.
  • 22.7 Multivariate Taylor-Entwicklung mit MapleTM.
  • 22.8 Gebietstransformation für ein Doppelintegral mit MapleTM.
  • 22.9 Konstruktion eines 1000-Liter Fasses mit MapleTM.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Formelsammlung

Frontmatter

Kapitel 24. Lineare Algebra

Zusammenfassung
Übersicht
  • 23.1 Gruppen und Körper.
  • 23.2 Vektorräume, Skalarprodukte und Basen.
  • 23.3 Lineare Abbildungen und Matrizen.
  • 23.4 Determinanten.
  • 23.5 Lineare Gleichungssysteme.
  • 23.6 Eigenwerte und Normalformen.
  • 23.7 Ausgleichsprobleme und Singulärwertzerlegung.
  • 23.8 Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 25. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Zusammenfassung
Übersicht
  • 24.1 Stetigkeit, partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix.
  • 24.2 Kettenregel und Richtungsableitung.
  • 24.3 Inverse und Implizite Funktionen.
  • 24.4 Anwendungen partieller Ableitungen.
  • 24.5 Taylor-Entwicklung.
  • 24.6 Extremwerte.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 26. Mehrdimensionale Integration

Zusammenfassung
Übersicht
  • 25.1 Volumina und Integrale über Elementarbereiche.
  • 25.2 Transformationssatz.
  • 25.3 Kurven- und Flächenintegrale.
  • 25.4 Integration in Zylinder- und Kugelkoordinaten.
  • 25.5 Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment.
  • 25.6 Partielle Integration.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

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