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2023 | Book

Ausgewählte Themen des Malliavin-Kalküls

Chaos, Divergenz und noch viel mehr

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About this book

Dieses Buch ist keine Forschungsmonographie zum Malliavin-Kalkül mit neuesten Ergebnissen und besonders anspruchsvollen Beweisen. Es enthält nicht alle Ergebnisse, die für die behandelten grundlegenden Themen bekannt sind. Das Ziel ist vielmehr, eine möglichst große Vielfalt an Beweistechniken zu bieten. Zum Beispiel haben wir uns nicht auf den Beweis der Konzentrationsungleichung für Funktionale der Brownschen Bewegung konzentriert, da er sich eng an das analoge Ergebnis für Poisson-Funktionale anlehnt. Dieses Buch ist aus den Graduiertenkursen entstanden, die ich in den letzten Jahren an den Universitäten Paris-Sorbonne und Paris-Saclay gehalten habe. Es soll so zugänglich wie möglich für Studierende sein, die über Kenntnisse der Itô-Kalkulation und einige Grundlagen der Funktionalanalysis verfügen.

Die Übersetzung wurde mit Hilfe von künstlicher Intelligenz durchgeführt. Eine anschließende menschliche Überarbeitung erfolgte vor allem in Bezug auf den Inhalt.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Wiener Raum
Zusammenfassung
Die Konstruktion und Charakterisierung von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf unendlich dimensionalen Räumen ist eine schwierige Aufgabe. Gauß'sche Zufallsvariablen und -vektoren haben mehrere Eigenschaften, die es erlauben, Gauß'sche Maße auf Banach-Räumen zu konstruieren. Dieses Verfahren führt zu dem Begriff des abstrakten Wiener-Raums des Gelfand-Tripletts.
Laurent Decreusefond
Kapitel 2. Gradient und Divergenz
Zusammenfassung
Wenn wir ein Maß auf einen Banach-Raum setzen, werden die auf ihm definierten Funktionen zu Zufallsvariablen und sind somit bis auf eine vernachlässigbare Menge definiert. Dies zerstört die Möglichkeit, den Fréchet-Kalkül in einem solchen Raum zu verwenden. Der Cameron-Martin-Satz besagt, dass wir die Richtungen, in denen wir ableiten können, auf eine dichte, aber vernachlässigbare Menge beschränken müssen. Daher die Bedeutung des von uns nun definierten Gross-Sobolev-Malliavin-Gradienten.
Laurent Decreusefond
Kapitel 3. Wiener-Chaos
Zusammenfassung
Chaos sind die Eigenräume des L = −δ∇, sie spielen eine wichtige Rolle im Hilbert'schen auf dem Wiener-Raum, da ∇ und δ einfache Ausdrücke für Chaos-Elemente haben. Sie können auch als iterierte Integrale in Bezug auf die Brown'sche Bewegung konstruiert werden und ersetzen als solche die orthonormalen Polynome in der üblichen deterministischen Berechnung.
Laurent Decreusefond
Kapitel 4. Fraktionale Brown'sche Bewegung
Zusammenfassung
In den neunziger Jahren zeigten statistische Beweise, insbesondere in der Finanz- und Telekommunikationsbranche, dass Markov-Prozesse zu weit von den Beobachtungen entfernt waren, um als tragfähige Modelle betrachtet zu werden. Insbesondere gab es starke Verdachtsmomente, dass die Daten eine Langzeitabhängigkeit aufweisen. In diesem Kontext erfuhr die fraktionale Brownsche Bewegung, die Ende der sechziger Jahre von B. Mandelbrot eingeführt und seitdem fast vergessen wurde, ein neues Interesse. Es handelt sich um einen Gaußschen Prozess mit Langzeitabhängigkeit. Folglich kann es kein Semi-Martingal sein, und wir können die Theorie des Itô-Kalküls nicht anwenden. Wie wir früher gesehen haben, verallgemeinert die Malliavin-Divergenz das Itô-Integral und kann für die fBm konstruiert werden, so dass es verlockend ist, es als Ersatz für ein stochastisches Integral zu betrachten. Tatsächlich ist die Situation nicht so einfach und hängt davon ab, was wir als stochastisches Integral bezeichnen.
Laurent Decreusefond
Kapitel 5. Poisson-Raum
Zusammenfassung
Der Poisson-Prozess auf der Halbgeraden teilt viele Eigenschaften mit der Brown'schen Bewegung, da er ebenfalls stationäre und unabhängige Zuwächse hat. Daher war es der zweite Prozess, für den eine Malliavin-Struktur konstruiert wurde. Es stellt sich heraus, dass die zugrunde liegende Zeitskala nicht notwendig ist, um diese Theorie zu entwickeln. Daher betrachten wir Poisson-Punktprozesse in (fast) jedem topologischen Raum.
Laurent Decreusefond
Kapitel 6. Die Malliavin-Stein-Methode
Zusammenfassung
Die Stein-Methode, die in den 1970er Jahren von Charles Stein eingeführt wurde, ist ein Verfahren zur Schätzung der Konvergenzrate in CLT-ähnlichen Sätzen. Sie erhielt zu Beginn des Jahrtausends neuen Schwung durch die Erkenntnisse, die der Malliavin-Kalkül lieferte.
Laurent Decreusefond
Metadata
Title
Ausgewählte Themen des Malliavin-Kalküls
Author
Laurent Decreusefond
Copyright Year
2023
Electronic ISBN
978-3-031-42729-9
Print ISBN
978-3-031-42728-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-42729-9