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About this book

Dieses Buch bietet eine schlanke und gut zugängliche Hinführung zur Analysis. Gut 100 komplett durchgerechnete Beispiele, etwa 50 Aufgaben mit Lösungen sowie rund 40 kleine Selbsttests mit Antworten erleichtern den Zugang zum Thema. Abgerundet wird das Ganze durch etwa 80 Skizzen im Text sowie ein online verfügbares interaktives pdf-Tool zum Generieren von Zufallsaufgaben inklusive Lösungen.

Das Buch richtet sich an Studierende in Studiengängen mit mathematischen Pflichtveranstaltungen im Grundstudium an Universitäten und Fachhochschulen. Es ist sowohl als Begleitlektüre für entsprechende Vorlesungen als auch zum Selbststudium optimal geeignet.

Table of Contents

Frontmatter

1. Motivation und Einführung

Zusammenfassung
In vielen praktischen Gebieten und Anwendungen kommt der Mathematik als Grundlagentechnik im weitesten Sinne eine tragende Rolle zu. Ob in der Physik, der Chemie, der Biologie, der Elektrotechnik, der Nachrichtentechnik, dem Maschinenbau, den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften oder der Medizin: Mathematische Konzepte sind stets von fundamentaler Bedeutung, um Zusammenhänge kompakt und exakt darzustellen und Modelle angemessen zu beschreiben. Eine weitere Disziplin, die inzwischen in alle Bereiche des täglichen Lebens eingedrungen ist und natürlich auch im Rahmen der oben ohne Anspruch auf Vollständigkeit aufgezählten Wissenschaften eine immer dominantere Rolle spielt, ist die Informatik. Aus diesem Grunde ist es naheliegend, den Einsatz mathematischer Strategien im Bereich der Informatik als motivierende und fächerübergreifende Elemente bei der Erarbeitung mathematischen Grundlagenwissens heranzuziehen. Ob sichere Kommunikation über unsichere Kanäle, ob Visualisierung von statischen Objekten, Messreihen, Erhebungen oder dynamischen Simulationen, ob computerbasierte Berechnung von Längen, Flächen oder Volumina, stets handelt es sich dabei um Fragestellungen aus dem Umfeld der Informatik mit hoher Affinität zu den oben erwähnten wissenschaftlichen Disziplinen und natürlich zur Mathematik. Neben den tiefer liegenden mathematischen Verfahren, mit denen man es zum Beispiel in der Codierungs- und Verschlüsselungstechnik, der Kompressions- und Signalverarbeitungstechnik oder der Computer-Grafik zu tun hat, sind auch relativ elementare mathematische Konzepte von grundlegender Bedeutung. Im vorliegenden Buch werden die aus der Analysis kommenden Techniken dieses Typs vorgestellt. Damit man einen ersten Eindruck über die diskutierten Begriffe erhält und ihre Zusammenhänge mit der Informatik erkennt, sollen im Folgenden in aller Kürze einige Stichworte angerissen werden.
Burkhard Lenze

2. Mathematische Grundkonzepte

Zusammenfassung
Dieses einführende Kapitel hat lediglich die Aufgabe, neben einigen grundsätzlichen Begriffen, Zeichen, Abkürzungen und Mengennotationen das Prinzip der vollständigen Induktion bereitzustellen sowie anhand einfacher Mengenkonstruktionen ein wenig elementare Kombinatorik zu betreiben.
Burkhard Lenze

3. Relationen und Funktionen

Zusammenfassung
In den Anwendungen tauchen häufig Situationen auf, in denen bestimmte Größen in einer ganz speziellen Art und Weise von anderen Größen abhängen oder mit ihnen in Verbindung, in Relation, stehen.
Um als Einstieg ein konkretes Beispiel vor Augen zu haben, wird im Folgenden ein Auto betrachtet, das eine vorgegebene Wegstrecke zurückzulegen hat. Befindet sich in diesem Auto ein hinreichend präzise arbeitender Fahrtenschreiber, so zeichnet er z. B. für jeden Zeitpunkt \(t\) eines Tages die momentane Geschwindigkeit \(V\) des Fahrzeugs auf. Ein tabellarischer Ausschnitt dieser Aufzeichnung könnte wie folgt aussehen, wobei die angegebenen Minuten ab einem festgelegten Startzeitpunkt gemessen sein mögen:
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{array}[]{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline t[\text{min}]&125&126&127&128&129&130&131\\ \hline V[\mathrm{km/h}]&44&59&64&42&29&33&42\\ \hline\end{array}\end{gathered}$$
Es gibt also für jeden Zeitpunkt \(t\) des Tages genau eine Geschwindigkeit \(V\), mit der sich das Auto zu diesem Zeitpunkt fortbewegt hat. Aus diesem Grunde ist es sinnvoll, diese Abhängigkeit dadurch deutlich zu machen, dass man \(V_{t}\) oder \(V(t)\) schreibt. Mit dieser Notation lässt sich z. B. aus der Tabelle direkt entnehmen, dass der funktionale Zusammenhang \(V(127)=64\) gilt bzw. \(t=127\) in Relation zu \(V=64\) steht, wobei auf das Mitführen der Einheiten verzichtet wurde. In der Mathematik werden zur Beschreibung von Zusammenhängen des obigen Typs sowohl Relationen als auch Funktionen verwendet. Relationen sind dabei vielleicht aus dem Umfeld der sogenannten relationalen Datenbanken bereits bekannt und Funktionen (auch Abbildungen genannt) gehören generell zu den wichtigsten mathematischen Objekten überhaupt.
Burkhard Lenze

4. Funktionen vom Bernstein-Bézier-Typ

Zusammenfassung
Neben einer effizienten Implementierung und Auswertung ganzrationaler Funktionen im Sinne der Horner-Strategie ist es im Rahmen der Computer-Grafik zusätzlich wünschenswert, einen möglichst direkten Weg von abgetasteten oder erhobenen Datensätzen zu beschreibenden Funktionen, Kurven oder Flächen zu kennen. In diesem Kontext haben sich als Basisfunktionen die sogenannten ganzrationalen Bernstein-Grundfunktionen bewährt, die auch kurz als Bernstein-Grundpolynome bezeichnet werden, und von Sergej Bernstein (1880–1968) um 1911 erstmals definiert wurden. Wir werden sie in diesem Kapitel einführen und nicht nur zur Näherung diskreter funktionaler Datensätze, sondern auch zur Realisierung von ebenen Kurven einsetzen. Dabei ist diese Strategie inzwischen auch eng mit dem Namen des französischen Mathematikers Pierre Etienne Bézier (1910–1999) verbunden, der diese Strategie in den 60-er Jahren des letzten Jahrhunderts zur Visualisierung von Auto-Karosserien einsetzte.
Burkhard Lenze

5. Folgen und Reihen

Zusammenfassung
Die Beschäftigung mit Folgen und Reihen ist in der Mathematik und in den Anwendungen von sehr wesentlicher Bedeutung. Die Schwierigkeit beim Umgang mit diesen Konzepten besteht im Allgemeinen darin, dass erstmals der Aspekt des Unendlichen ins Spiel kommt und naturgemäß für einige Verwirrung sorgt. Historisch gesehen war einer der Ersten, der sich damit im Rahmen eines kleinen Rätsels beschäftigte, der griechische Philosoph Zenon von Elea (ca. 490-425 v. Chr.). Er formulierte sinngemäß folgendes Problem:
Achilles und eine Schildkröte laufen um die Wette. Da Achilles zehn mal so schnell wie die Schildkröte läuft, bekommt die Schildkröte einen Vorsprung von 10 Metern. Eigentlich müsste Achilles die Schildkröte schon bald überholen. Zenon argumentierte aber, dass das niemals passieren kann: Achilles wird die Schildkröte niemals überholen, denn wenn Achilles den Startpunkt \(P_{1}\) der Schildkröte erreicht hat, dann hat sich die Schildkröte zum Punkt \(P_{2}\) weiterbewegt, hat also immer noch einen Vorsprung vor Achilles. Sobald Achilles den Punkt \(P_{2}\) erreicht hat, ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter zum Punkt \(P_{3}\) gelaufen usw. Achilles kann also niemals an der Schildkröte vorbeikommen, denn immer, wenn Achilles den Punkt erreicht, an dem die Schildkröte zuvor war, ist sie schon wieder ein Stück weiter. Die Anschauung und die Erfahrung lehrt, dass Achilles die Schildkröte schon sehr bald überholen müsste. Andererseits stellt Zenon eine Argumentationskette auf, nach der das nicht möglich ist. Wir werden zeigen, dass man hier mit dem Konzept von sogenannten Folgen und Reihen zu einer befriedigenden Antwort kommen kann.
Burkhard Lenze

6. Transzendente Funktionen

Zusammenfassung
Die folgenden Abschnitte stellen ohne Beweise und detaillierte Begründungen die einfachsten sogenannten transzendenten Funktionen mit ihren jeweiligen Umkehrfunktionen vor. Sie dienen zum schnellen Nachschlagen, falls Funktionen dieses Typs im Buch auftauchen und Unsicherheit hinsichtlich ihrer wesentlichen Eigenschaften besteht.
Burkhard Lenze

7. Stetige Funktionen

Zusammenfassung
Neben der Klassifikation von Funktionen hinsichtlich ihrer Umkehrbarkeit und den damit verbundenen Begriffen (injektiv, surjektiv, bijektiv) spielt die Frage nach der Glattheit von Funktionen in der Analysis eine zentrale Rolle. Was sich darunter qualitativ verbirgt, kann man sich zunächst wieder anhand des Beispiels eines fahrenden Autos veranschaulichen.
Der sich im Fahrzeug befindende Fahrtenschreiber zeichnet auf einer drehbaren Scheibe für jeden Zeitpunkt \(t\) eines Tages die momentane Geschwindigkeit \(V(t)\) auf. Dabei ist klar, dass die durch den Zeichenstift entstehende Kurve niemals unterbrochen ist, d. h. es gibt stets kontinuierliche Übergänge zwischen den unterschiedlichen Geschwindigkeiten zu verschiedenen Zeitpunkten. Der Verlauf der Kurve ist also glatt, d. h. ohne Sprünge. Man fasst dieses für viele natürliche Vorgänge (Temperatur, Druck, Wachstum etc.) zutreffende Verhalten auch bisweilen umgangssprachlich in folgender Redewendung zusammen: Die Natur macht keine Sprünge! Dies ist zwar in völliger Allgemeinheit so nicht korrekt, trifft aber für viele Prozesse in der Natur tatsächlich zu. Die konsequente Beschäftigung mit Verläufen des obigen Typs wird uns zum Konzept der stetigen Funktionen führen.
Burkhard Lenze

8. Differenzierbare Funktionen

Zusammenfassung
Neben der bereits in vorherigen Kapitel eingeführten Stetigkeit als ein erstes Glattheitskriterium für Funktionen gibt es mit der Differenzierbarkeit ein weiteres, deutlich restriktiveres Glattheitskonzept. Was sich darunter qualitativ verbirgt und warum man daran interessiert ist, kann man sich zunächst wieder anhand des Beispiels eines fahrenden Autos veranschaulichen. Dabei soll aber nun nicht die Geschwindigkeit, sondern die gefahrene Wegstrecke mit hinreichender Präzision erfasst werden. Aus der Information der zurückgelegten Wegstrecke zusammen mit der verstrichenen Zeit lässt sich nun bekanntlich auf die jeweilige Geschwindigkeit schließen. Bildet man also Quotienten aus zurückgelegter Wegstrecke und verstrichener Zeit und dies für immer kleiner werdende Zeitintervalle, dann hat man eine schöne Motivation für das Konzept des Differenzierens, hier zur Bestimmung der jeweiligen Momentangeschwindigkeit.
Burkhard Lenze

9. Funktionen vom B-Spline-Typ

Zusammenfassung
Neben den Polynomen (und Quotienten aus Polynomen) haben sich im Grafik-Bereich insbesondere Funktionen bewährt, die stückweise aus Polynomen niedrigen Grades in einer glatten Art und Weise aneinander geheftet werden. Glatt bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die entstehende Funktion als Ganzes hinreichend oft differenzierbar ist. Der für die Anwendungen bedeutsamste Fall sind stückweise Polynome vom Grad \(3\) mit zweimaliger stetiger Differenzierbarkeit, d. h. die gesamte Funktion ist zweimal differenzierbar und ihre zweite Ableitung ist immer noch stetig. In der Literatur tauchten Konstruktionen dieses Typs erstmals 1938 in einer Arbeit von Lothar Collatz (1910–1990) (zusammen mit Wilhelm Quade) auf; ausgebaut und in ihrer ganzen Anwendungsrelevanz erkannt wurden sie dann Mitte des 20-sten Jahrhunderts insbesondere von Isaac Schoenberg (1903–1990), der zahlreiche Publikationen zu diesem Themenbereich verfasste. Auf ihn geht auch die für diese Funktionen gebräuchliche Bezeichnung Splines zurück. Der Begriff Spline kommt aus dem Englischen und bedeutet so viel wie elastisches Lineal oder biegsame Latte. Diese im Schiffbau auch Straklatte genannten Zeichengeräte können an einzelnen Punkten durch Gewichte oder Nägel fixiert werden und ermöglichen so z. B. die Konstruktion eines krummlinig verlaufenden Schiffsrumpfs. Im engeren mathematischen Sinne sollen also Spline-Funktionen genau solche flexiblen grafischen Werkzeuge realisieren, mit denen man derartige Konstruktionen rechentechnisch nachvollziehen und implementieren kann.
Burkhard Lenze

10. Integrierbare Funktionen

Zusammenfassung
Um einen Einstieg in die Idee des Integrierens zu erhalten, wird zur Motivation erneut ein Auto betrachtet, das hier wieder mit einem Fahrtenschreiber zur Aufnahme der jeweils aktuellen Geschwindigkeit ausgestattet sein soll. Man erhält also für jeden Zeitpunkt \(t\) eines Tages die gemessene momentane Geschwindigkeit \(V(t)\). Ein tabellarischer Ausschnitt dieser Aufzeichnung könnte wie folgt aussehen, wobei die angegebenen Minuten ab einem festgelegten Startzeitpunkt gemessen sein mögen:
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{array}[]{|c||c|c|c|c|}\hline t\ [\text{min}]&126&127&128&129\\ \hline V\ [\text{km/min}]&1.0&1.2&0.9&0.7\\ \hline\end{array}\end{gathered}$$
Möchte man nun näherungsweise die zurückgelegte Wegstrecke zwischen 126 Minuten und 129 Minuten Fahrtzeit ermitteln, muss man sich lediglich an die Formel Weg ist gleich Geschwindigkeit mal Zeit erinnern und erhält so entweder
$$\begin{gathered}\displaystyle s(129)-s(126)\approx 1.0(127-126)+1.2(128-127)+0.9(129-128)=3.1\end{gathered}$$
oder
$$\begin{gathered}\displaystyle s(129)-s(126)\approx 1.2(127-126)+0.9(128-127)+0.7(129-128)=2.8,\end{gathered}$$
wobei auf die Angabe der Einheiten, hier km, verzichtet wurde. Diese beiden Resultate sind natürlich noch ziemlich ungenau und insbesondere verschieden voneinander. Möchte man genauere Ergebnisse, müsste man die jeweils aktuelle Geschwindigkeit in kürzeren Zeitabständen messen. Rechnet man dann entsprechend wie oben, bekäme man natürlich exaktere Ergebnisse für den zurückgelegten Weg. Die Fortsetzung dieses prinzipiellen Vorgehens führt dann genau zum Konzept des Integrierens.
Burkhard Lenze

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