Das Integral stellt neben der Ableitung wahrscheinlich die wichtigste Anwendung des Grenzwertbegriffs der Analysis dar. Wie die Ableitung besitzt es eine anschauliche geometrische Bedeutung: Es entspricht der Fläche, die der Graph einer Funktion mit der Rechtsachse einschließt.
Wir schreiben hier „Rechtsachse“ statt „\(x\)-Achse“, weil die Variable nicht unbedingt \(x\) heißen muss. Ebenso verwenden wir den Begriff „Hochachse“, wenn wir uns nicht auf \(y\) festlegen wollen.
Die Bezeichnung \(\mathbb{R}_{+}\) steht für die Menge der nichtnegativen Zahlen, also \(\mathbb{R}_{+}:=[0,\infty[\). Mit hochgestelltem \(*\) wird die Null aus einer Menge ausgeschlossen, also ist \(\mathbb{R}_{+}^{*}:=\,]0,\infty[\) die Menge der positiven Zahlen.
Auf eine quantitative Fehlerbetrachtung verzichten wir im Rahmen dieser Darstellung. Mit einer solchen Betrachtung kann eine numerische Integration unter Angabe einer Fehlerschranke für das zu berechnende Integral erfolgen und eine dazu passend feine Unterteilung des Intervalls vorgenommen werden.
Der Fehler bei der Annäherung des Integralwerts durch Summen wie in (1.7) lässt sich auch durch großes \(n\) prinzipiell nicht beliebig klein machen, da neben dem „Verfahrensfehler“, der aus endlichem \(n\) resultiert, auch die Rundungsfehler des Rechensystems (Computer) eine Rolle spielen. Letztere werden bei (sehr) großen \(n\) bedeutsam.
