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2021 | OriginalPaper | Chapter

1. Begriff des Integrals

Author: Prof. Dr. Jochen Balla

Published in: Integralrechnung leicht gemacht!

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Das Integral stellt neben der Ableitung wahrscheinlich die wichtigste Anwendung des Grenzwertbegriffs der Analysis dar. Wie die Ableitung besitzt es eine anschauliche geometrische Bedeutung: Es entspricht der Fläche, die der Graph einer Funktion mit der Rechtsachse einschließt.

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Footnotes
1
Wir schreiben hier „Rechtsachse“ statt „\(x\)-Achse“, weil die Variable nicht unbedingt \(x\) heißen muss. Ebenso verwenden wir den Begriff „Hochachse“, wenn wir uns nicht auf \(y\) festlegen wollen.
 
2
Benannt nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann, 1826–1866.
 
3
Die Bezeichnung \(\mathbb{R}_{+}\) steht für die Menge der nichtnegativen Zahlen, also \(\mathbb{R}_{+}:=[0,\infty[\). Mit hochgestelltem \(*\) wird die Null aus einer Menge ausgeschlossen, also ist \(\mathbb{R}_{+}^{*}:=\,]0,\infty[\) die Menge der positiven Zahlen.
 
4
Ein „nichttriviales“ Intervall besteht aus mehr als einem Punkt. Es ist also tatsächlich ein Intervall.
 
5
Auf eine quantitative Fehlerbetrachtung verzichten wir im Rahmen dieser Darstellung. Mit einer solchen Betrachtung kann eine numerische Integration unter Angabe einer Fehlerschranke für das zu berechnende Integral erfolgen und eine dazu passend feine Unterteilung des Intervalls vorgenommen werden.
 
6
Der Fehler bei der Annäherung des Integralwerts durch Summen wie in (1.7) lässt sich auch durch großes \(n\) prinzipiell nicht beliebig klein machen, da neben dem „Verfahrensfehler“, der aus endlichem \(n\) resultiert, auch die Rundungsfehler des Rechensystems (Computer) eine Rolle spielen. Letztere werden bei (sehr) großen \(n\) bedeutsam.
 
Metadata
Title
Begriff des Integrals
Author
Prof. Dr. Jochen Balla
Copyright Year
2021
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-63586-5_1

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