Beispiele für Räume, Abbildungen und topologische Probleme

Die algebraische Topologie ist ein Teilgebiet der Topologie; der Zusatz algebraisch bedeutet, daß algebraische Hilfsmittel benutzt werden, um topologische Probleme zu lösen. Wer algebraische Topologie lernen will, muß daher eine Vorstellung von der Topologie haben, von der Vielfalt der konkreten Beispiele und Probleme, die sich hinter den Grundbegriffen topologischer Raum und stetige Abbildung verbergen. Viele Studenten begegnen der Topologie zuerst auf dem abstrakten Niveau der mengentheoretischen Topologie; sie lernen dort, daß folgenkompakt und kompakt nicht dasselbe ist und verwenden viel Scharfsinn, Räume zu konstruieren, die normal, aber nicht vollständig regulär sind. Um all das geht es hier überhaupt nicht. Alle Räume, die wir betrachten, sind geometrisch einfache Teilräume euklidischer Räume, oder sie sind aus solchen einfachen Teilräumen in bestimmter Weise zusammengesetzt; in der Regel haben sie alle topologischen Eigenschaften, die man in der mengentheoretischen Topologie kennenlernt. Und es geht nicht etwa um die Frage, wann ein Lindelöf-Raum parakompakt ist [Boto, 10.9], sondern um ganz andere Probleme, von denen wir im folgenden einen Eindruck geben.