Berechnung von Stromlinien im Einzugsbereich von Horizontalfilterbrunnen bei der Uferfiltration

Die Reinigungsleistung im Untergrund (Uferfiltration) hängt stark von der Wasserqualität des Oberflächengewässers ab. Neben dem Einfluss der Oberflächenwasserqualität sind unter anderem die lokalen Gegebenheiten wie Milieubedingungen, Fließstrecke, Aufenthaltszeit und Qualität des vorhandenen Grundwassers wichtige Einflüsse. Für die Bearbeitungen zur Grundwasserqualität werden vielfach stationäre Systemzustände als Vereinfachung der tatsächlichen Strömungsverhältnisse betrachtet. Dabei ist zu beachten, dass die mithilfe eines numerischen Grundwassermodells berechneten stationären Systemzustände eine starke Vereinfachung der tatsächlichen Grundwassersituation darstellen, da diese in der Natur nur sehr selten vorkommen. Die stationären Zustände ermöglichen jedoch einen quantitativen Vergleich unterschiedlicher Szenarien.

In diesem Artikel ist die Methodik zur Ausweisung von Brunneneinzugsgebieten und zur Abschätzung von Fließzeiten auf Basis eines 3D-stationären Grundwassermodells zusammengestellt. Zusätzlich ist die Methodik zur Erfassung von Quellen (Wasserherkunft) innerhalb eines Brunneneinzugsgebiets zur Abschätzung der Wasserzusammensetzung im Brunnen dargestellt.

Für die in diesem Artikel dargestellte Berechnung von Stromlinien bei Horizontalfilterbrunnen wurde ein bestehendes dreidimensionales, mit Oberflächengewässern gekoppeltes Modell der TU Wien herangezogen, welches mit der Modellierungssoftware SUTRA (Voss und Provost 2010) erstellt wurde. SUTRA steht für saturated-unsaturated transport und ist, wie schon aus dem Namen hervorgeht, in der Lage, die Wasserbewegung in der gesättigten und ungesättigten Bodenzone zu modellieren. Darüber hinaus bietet SUTRA die Möglichkeit, entweder Energietransport (Wärmebewegung) oder dispersiven Stofftransport zu beschreiben. Stromlinien können mit dieser Software nicht direkt berechnet werden. Die Transportgleichung wird von SUTRA durch einen hybriden Ansatz gelöst, zur Anwendung gelangt eine Mischform aus Finite-Elemente-Modellierung und integrierter Finite-Differenzen-Modellierung. Finite Elemente erlauben die Generierung von Netzgeometrien mit hoher, lokaler Genauigkeit während reine Finite-Differenzen-Modelle numerisch wesentlich effizienter zu lösen sind, jedoch nur beschränkt die Möglichkeit bieten, lokale Verfeinerungen des Netzes durchzuführen (Voss und Provost 2010, S. 7). Die räumliche Diskretisierung dreidimensionaler Modelle erfolgt in SUTRA durch hexagonale Elemente mit viereckiger Grundfläche (Abb. 1). In Summe besteht das vorliegende Modell aus ca. einer halben Million Knoten, verteilt auf 16 Tiefenstufen. Pro Tiefenstufe gibt es 34.951 Elemente. In x‑Richtung beträgt die Ausdehnung des Modells knapp 12 km, in y‑Richtung etwa 9 km. In Abb. 2 ist die dreidimensionale Darstellung der interpolierten Grundwasseroberfläche (z-Richtung 100-fach überhöht) dargestellt.

Folgt man in einem (zeitlich invarianten) Geschwindigkeitsfeld stets den Richtungsvektoren der Wasserbewegung, so entspricht der zurückgelegte Weg einer Stromlinie. Hat man nun Kenntnis über das dreidimensionale Geschwindigkeitsfeld eines Grundwasserleiters, das jedem beliebigen Punkt \(\vec{p}\) = (px, py, pz) innerhalb des stationären Feldes einen Geschwindigkeitsvektor \(\vec{p}\) = (vx, vy, vz) zuordnet, kann für jeden dieser Punkte \(\vec{p}\) genau eine einzige Stromlinie bestimmt werden, die durch \(\vec{p}\) geht. Mathematisch betrachtet muss hierfür eine Differenzialgleichung erster Ordnung integriert werden, deren Lösung lediglich vom Anfangspunkt \(\vec{p}\) der Stromlinie abhängt. Wird Wasser aus einem Grundwasserleiter gefördert, welcher seitlich durch Fließgewässer begrenzt ist und sonst keine weiteren Quellen und Senken aufweist, so werden die meisten Stromlinien am Gewässerrand beginnen und im Brunnen enden. Ziel ist es, diese Stromlinien aus dem im bestehenden dreidimensionalen Grundwassermodell gegebenen Geschwindigkeitsfeld und einem gewählten Punkt zu berechnen, um den Fließweg zu einem Brunnen zu erhalten. Meist liegt das Vektorfeld der Grundwasserfließgeschwindigkeiten nicht als stetige Funktion vor, sondern ist nur an bestimmten, diskreten Punkten auswertbar, beispielsweise an den Elementen eines Finite-Elemente-Modells. Das hat zur Folge, dass auch das Integral der Stromlinie nicht geschlossen lösbar ist und man auf Näherungsverfahren der numerischen Integration zurückgreifen muss (Papula 2011).

Das einfachste Verfahren hierfür ist das Eulersche Polygonzugverfahren, das verglichen mit z. B. dem Runge-Kutta-Verfahren ein deutlich schlechteres Konsistenzverhalten zeigt. Zur Veranschaulichung soll die einfache Differenzialgleichung erster Ordnungmit der analytischen Lösungin dem Intervall x ∈ [0, 5] mit der festen Schrittweite h = 0,5 mit beiden Methoden gelöst werden. Als Anfangswert wird x₀ = 0 gewählt. In weiterer Folge wird auf beide Verfahren der numerischen Integration von Anfangswertproblemen genauer eingegangen.

Fasst man alle Stromlinien, die zu einer Senke (z. B. Brunnen) gehen, zusammen, so gelangt man zu einer räumlichen Abgrenzung des Einzugsgebiets dieser Senke. Im zweidimensionalen Fall der Wasserbewegung zu einem Brunnen bezeichnet man jene Stromlinie, welche gerade noch im Brunnen endet, als Randstromlinie. Um diese aufzufinden, werden zunächst Stromlinien berechnet, welche in den Knoten des Horizontalfilterbrunnens beginnen. Dieser Vorgang ist in Abb. 4a für einen Brunnen gezeigt. Anschließend folgt eine manuelle Verdichtung in den Randbereichen des Brunneneinzugsgebietes analog zu Abb. 4b. Knoten, an denen Wasser ins Grundwasser infiltriert, sind rot dargestellt, Knoten, an denen Wasser austritt. grün.

Erfasst man alle Quellen eines Einzugsgebiets, kann daraus die Wasserzusammensetzung im Brunnen (Senke) abgeleitet werden. In Abb. 4b sind beispielsweise die Elemente von einem Modellrand zu einem Polygon p1 zusammengefasst. Von dieser Seite strömen 177 l/s in das Polygon und 15 l/s heraus, was einem Nettofluss von 162 l/s in Richtung Brunnen entspricht. Fehler dieser Methode können darin liegen, dass ein Knoten immer nur einem Polygon/Brunnen zugeordnet werden kann. Aufgrund der räumlichen Diskretisierung des Modells und der mitunter geringen Anzahl an Stromlinien kann es vorkommen, dass nicht alle Quellen eines Brunnens aufgefunden werden. Zu einer Abschätzung der Größe dieses Fehlers gelangt man, indem die dem Brunnen zuströmende Wassermenge der tatsächlich aus dem Brunnen entnommenen Wassermenge gegenübergestellt wird. Die daraus resultierende Differenz kann entweder auf eine fehlerhafte Zuordnung der Knoten zu Brunnen oder auf eine unzureichende Erfassung des Einzugsgebiets zurückgeführt werden.

Mit einem dreidimensionalen, hydraulischen Modell kann für einen Punkt in der x‑y-Koordinatenebene kein einzelner Wert der „Fließzeit“ angegeben werden, da über die ganze Höhe der gesättigten Bodenzone unendlich viele Stromlinien eine Messstelle durchströmen. Vielmehr besitzt die Variable Fließzeit t eine Verteilung, welche durch Lageparameter (minimale Fließzeit t_min, Medianwert der Fließzeit t_med) und Streuungsparameter (Standardabweichung \(\sigma\)) beschrieben werden kann. Um über eventuelle, kleinräumig unbedeutende Variationen des Fließverhaltens in der Nähe einer Messstelle zu mitteln, werden Fließzeiten nicht nur für die exakten x‑y-Koordinaten der Messstelle berechnet, sondern auch für fünf entlang eines Kreises mit dem Radius r = 20 m gelegene Punkte. Die Diskretisierung der Stromlinien in z‑Richtung erfolgt analog zur Lage der gesättigten Modellknoten. Somit werden pro Messstelle im Mittel 40 Stromlinien berechnet. Die Relevanz eines Messwerts für die Wasserqualität im Horizontalfilterbrunnen ist umso höher, je näher die Messstelle beim Brunnen gelegen ist. Deshalb wird für jede Messstelle zusätzlich die Aufenthaltszeit des Wassers bis zum Brunnen angegeben. Zu einer gewichteten, mittleren Fließzeit t ′_med pro Brunnen gelangt man, indem die einem finiten Element i zuordenbare Fließzeit t_med, mit der Quellenstärke Q_i gewichtet wird. Da eine eindimensionale Stromlinie mit dem Durchmesser 0 definitionsgemäß keinen Durchfluss haben kann, werden die Volumenströme für Bündel an Stromlinien ähnlicher Fließzeit und Elemente mit vergleichbarer Quellenstärke ermittelt.

Für Stromlinien, welche am Modellrand „enden“, ist keinesfalls anzunehmen, dass die Fließzeit mit der Aufenthaltszeit des Uferfiltrats gleichzusetzen ist. Diese ist wesentlich höher anzunehmen, denn Fließgewässer entsprechender Größe weisen einen ausgeprägten Grundwasserbegleitstrom auf. Aufgrund des Modellrands werden die Stromlinien in diesem Bereich abgeschnitten. Die absoluten Beträge der angegebenen Fließzeiten stimmen deshalb nicht mit den tatsächlichen Fließzeiten überein. Betrachtet man jedoch die Änderung der Fließzeiten zwischen unterschiedlichen Szenarien, so wird dieser Nullpunktfehler, welcher durch die Unkenntnis des wahren Beginns der Stromlinie auftritt, durch Differenzenbildung eliminiert bzw. zumindest reduziert.

Mithilfe der Berechnung von Stromlinien können gerade bei Uferfiltratbrunnen der Einzugsbereich und die Wasserherkunft ermittelt werden. Insbesondere in den Randbereichen der Einzugsgebiete bilden sich Wasserscheiden mit sehr flachen Gradienten und geringen Wasserbewegungen aus. In der Realität sind die Einzugsgebiete nicht durch eine exakt definierbare Grenze getrennt, vielmehr bilden sich dort Zonen mit geringen Fließgeschwindigkeiten aus, die je nach hydrologischem Zustand im Oberflächengewässer variieren können. Grundwassermessstellen zur Wasserqualitätsüberwachung in diesen Randbereichen besitzen nur eine geringe Aussagekraft in Hinblick auf die Wasserqualität im Brunnen. Werden die Einzugsgebiete mit den berechneten Stromlinien mit ausreichender Präzision erfasst, so entspricht die ermittelte Wasserzusammensetzung der zuströmenden Wassermenge eines Brunnens der tatsächlich gemessenen Entnahmemenge im Brunnen mit nur geringen Abweichungen. Die Anteile der einzelnen Quellen (Wasserherkunft) eines Brunnens können somit deutlich verbessert interpretiert werden. Durch die Ermittlung der Fließzeiten der einzelnen Mengenanteile einer Quelle bis zum Brunnen kann zusätzlich eine vertiefende Information über die minimale und mittlere Fließzeit dargestellt werden.