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2018 | Book

Algebra-Grundwissen Read chapter Read first chapter

Brückenkurs Mathematik für den Studieneinstieg

Grundlagen, Beispiele, Übungsaufgaben

Authors: Dr. Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Buch schlägt eine Brücke zwischen den mathematischen Grundlagen aus der Schule und den fachlichen Anforderungen an der Hochschule. Für MINT-interessierte Schüler und Schülerinnen reicht der reguläre Mathematikunterricht häufig nicht als Vorbereitung auf ein Studium aus – wichtige Themen werden entweder ganz weggelassen oder können aus Zeitmangel nur oberflächlich behandelt werden. Aufbaukurse an der Schule sowie Vorkurse an der Hochschule sind deshalb inzwischen weit verbreitet, sie bieten den angehenden Studierenden eine wichtige Einstiegshilfe in die Grundvorlesungen naturwissenschaftlicher Fächer. Bücher wie das vorliegende unterstützen dabei sowohl den Lernenden wie auch den Lehrenden.

Dieser Band enthält eine gut verständliche Einführung in grundlegende Konzepte der Analysis wie Komplexe Zahlen, Grenzwerte, Stetigkeit oder auch Taylorreihen. Eine Vielzahl an Beispielen und ausführlich gelösten Übungsaufgaben hilft dabei, den Stoff aufzufrischen, zu vertiefen oder sogar erst ganz neu zu erlernen.

Table of Contents

Frontmatter

Teil - 1

Frontmatter
Kapitel 1. Algebra-Grundwissen
Zusammenfassung
Dieses Kapitel richtet sich an diejenigen unter Ihnen, die noch einmal einige grundlegende Regeln, Fertigkeiten oder Kenntnisse aus der Mittelstufe wiederholen möchten. Dabei geht es im Wesentlichen um Teilbereiche der Algebra, im Schwerpunkt um grundlegende Rechenregeln, Terme, Termumformungen, Bruchrechnung, Binomische Formeln und ihre Verallgemeinerung sowie um Potenz- und Wurzelgesetze. Sie können dieses Kapitel auch zunächst überspringen und bei Bedarf später einen Blick hineinwerfen. Des Weiteren werden wir in diesem Kapitel noch nicht die auf das Studium vorbereitende präzise mathematische Fachsprache verwenden, die erst in den nächsten Kapiteln entwickelt werden soll.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 2. Beweisverfahren
Zusammenfassung
Mathematik lebt davon, dass ihre Aussagen sich einem Beweis unterziehen müssen, um als mathematische Sätze Gültigkeit zu erlangen. Dabei reicht es nicht aus, sich einige Beispiele anzuschauen und dann von der Richtigkeit dieser Beispiele auf die Allgemeingültigkeit der Aussage zu schließen. In der Schulmathematik begnügt man sich häufig damit, einige Spezialfälle behandelt zu haben und daraus auf einen allgemeinen Zusammenhang zu schließen.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 3. Aussagenlogik und Mengenlehre
Zusammenfassung
In diesem Kapitel sollen zunächst einige Grundbegriffe und Grundregeln der Aussagenlogik formuliert werden, da ein grundlegendes mathematisches Verständnis darauf beruht. Im Anschluss betrachten wir einige wesentliche Grundbegriffe der Mengenlehre, die ebenfalls für das Verständnis vieler mathematischer Zusammenhänge notwendig sind. Des Weiteren bilden diese Grundbegriffe die Grundlage für das Verständnis der mathematischen Fachsprache, deren Kenntnis an der Hochschule vorausgesetzt wird.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 4. Abbildungen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden Ihnen einige aus dem Schulunterricht bekannte Begriffe in anderem Gewand präsentiert, z. B. der Funktionsbegriff. Insbesondere werden wir diesen Begriff auf ein sicheres mathematisches Fundament stellen. Dabei spielen die in Kap. 2 formulierten mengentheoretischen Begriffe eine wichtige Rolle.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 5. Gleichungen und Ungleichungen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir verschiedene Gleichungstypen behandeln, mit denen man in der Schule nur am Rande in Berührung kommt. Es handelt sich um Betragsgleichungen, Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen. Wir werden zeigen, dass man diese Gleichungen häufig auf einfachere Gleichungen wie lineare oder quadratische Gleichungen zurückführen kann. Man muss jedoch dabei in vielen Fällen eine gewisse Vorsicht walten lassen, was die Lösungsmenge betrifft. Des Weiteren werden wir uns in diesem Kapitel mit Ungleichungen beschäftigen, die z. B. bei Abschätzungen in den folgenden Kapiteln vorkommen.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 6. Komplexe Zahlen
Zusammenfassung
Bisher haben wir immer nur mit reellen Zahlen gearbeitet. In Ihrer bisherigen Schullaufbahn sind Sie auch nur mit diesen Zahlen in Berührung gekommen, Sie haben allenfalls Spezialfälle wie natürliche Zahlen, ganze Zahlen oder rationale und irrationale Zahlen kennengelernt.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 7. Folgen und Grenzwerte
Zusammenfassung
In diesem Kapitel legen wir die Grundlagen für das Verständnis des für die Analysis so wichtigen Grenzwertbegriffs. In den Lehrplänen für die gymnasiale Oberstufe wird dieser Begriff nur noch rudimentär behandelt, was der Möglichkeit eines grundlegenden Verständnisses zuwiderläuft. Auf diese Art wird nur noch ein grundlegend intuitiver Umgang mit diesem Begriff vermittelt, ohne dass das mathematische Fundament dahinter begriffen werden kann. Wir wollen hier den Grenzwert spezieller Funktionen, den so genannten Zahlenfolgen, behandeln, um in einem späteren Kapitel diesen Grenzwertbegriff auf allgemeine Funktionen zu übertragen.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 8. Reihen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir uns mit den Grundideen der Reihen beschäftigen. Reihen entstehen durch Aufsummieren der Glieder einer Folge.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 9. Grenzwerte bei Funktionen
Zusammenfassung
In der Schule haben Sie sich ausführlich mit dem Verhalten von Polynomfunktionen (auch ganzrationale Funktionen genannt) für |x| → ∞ befasst. Worum geht es hierbei?
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 10. Stetigkeit
Zusammenfassung
Im Vergleich zu der Funktion aus Bsp. 8.2 (siehe Abb. 8.2) hat der Graph dieser Funktion keine hebbare Lücke, die man durch einen Punkt schließen kann, sondern macht an der Stelle 1 einen Sprung. Die Funktion ist auf ganz ℝ definiert, und es gilt f (1) = 4.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 11. Grundlagen der Differentialrechnung: Differenzierbarkeit und Ableitung
Zusammenfassung
In diesem Kapitel soll es darum gehen, das Schulwissen um den Begriff der Ableitung einer Funktion auf eine solide mathematische Grundlage zu stellen, die den Bedürfnissen der Hochschulen gerecht wird. Wir werden insbesondere unsere Kenntnisse über Grenzwerte bei Funktionen aus Kap. 8 nutzen, um in den Kern des Begriffes Differenzierbarkeit vorzudringen. Beginnen wollen wir mit dem klassischen Tangentenproblem.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 12. Sätze aus der Differentialrechnung: Funktionsuntersuchung
Zusammenfassung
Ableitungen und Ableitungsregeln werden im Unterricht der Oberstufe verwendet, um Funktionsgraphen zu untersuchen z. B. hinsichtlich der Existenz von Extremoder Wendepunkten. Diese Untersuchungen bilden sogar einen zentralen Teil des Analysisunterrichts. Hierbei spielen hinreichende und notwendige Kriterien für das Vorhandensein solcher Punkte eine Rolle (siehe Kap. 2.1). Wir wollen in diesem Kapitel zur Auffrischung Ihrer Kenntnisse einige Kriterien, die Ihnen aus dem Oberstufenunterricht noch bekannt sein sollten, wiederholen, teilweise beweisen und mit Beispielen unterstützen.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 13. Rationale Funktionen
Zusammenfassung
Eine wichtige Funktionenklasse, die aus vielen Lehrplänen für die gymnasiale Oberstufe leider verschwunden ist, stellen die (gebrochen-)rationalen Funktionen dar. Diese Funktionenklasse ist jedoch in besonderem Maße geeignet, asymptotisches Verhalten und Verhalten in der Nähe so genannter Singularitäten zu beleuchten. Wir wollen uns daher in diesem Kapitel etwas genauer mit dieser Funktionenklasse auseinandersetzen.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 14. Berechnung spezieller Grenzwerte – die de l’Hospital’schen Regeln
Zusammenfassung
In diesem Kurzkapitel soll es um die Berechnung von Grenzwerten mithilfe der Differentialrechnung gehen. Wir werden hierzu die de l’Hospital’schen Regeln herleiten, benannt nach Guillaume F. A. de l’Hospital (1661-1704), der diese Regeln von dem bedeutenden Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli (1667-1748) gekauft hat. De l’Hospital, der den jungen Bernoulli in die mathematischen Kreise Frankreichs eingeführt hatte, stellte diesen als seinen Privatlehrer ein, und Bernoulli hatte sich verpflichtet, gegen Bezahlung gewisse mathematische Resultate an de l’Hospital zu verkaufen (siehe T. Sonar, 3000 Jahre Analysis, Springer 2011, S. 442/443).
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 15. Integralrechnung
Zusammenfassung
In der Oberstufe haben Sie sich mit der Integralrechnung beschäftigt. Sie haben vermutlich verschiedene Zugänge zu ihr kennengelernt. Ein klassischer Zugang funktioniert über die Flächenberechnung krummlinig berandeter Flächen mittels Oberund Untersummen, deren gemeinsamer Grenzwert als bestimmtes Integral bezeichnet wird. Ein anderes Verfahren führt über die Rekonstruktion von Größen, z. B. lässt sich aus der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion eines Bewegungsvorgangs die gefahrene Strecke rekonstruieren.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 16. Gewöhnliche Differentialgleichungen
Zusammenfassung
Dieses Kapitel soll Ihnen eine Einführung in den Gebrauch einer in den Natur- und Ingenieurwissenschaften sehr wichtigen Klasse von Gleichungen geben, den gewöhnlichen Differentialgleichungen. Hierbei handelt es sich um Gleichungen, die einen Zusammenhang zwischen Ableitungen einer Funktion und der Funktion selbst herstellen. Am Wort „Gebrauch“ erkennen Sie schon, dass es uns hier nicht so sehr um die theoretischen Grundlagen als vielmehr um die Lösungen solcher Gleichungen geht. Eine solche Gleichung zu lösen bedeutet, die unbekannten Funktionen zu finden, die sie erfüllen.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Kapitel 17. Taylorreihen und Polynomapproximationen
Zusammenfassung
Sie haben bereits in Kap. 7 die Exponentialreihe kennengelernt. Diese Reihe besteht aus aufsummierten Polynomen immer höherer Ordnung. Sie können sich somit die Exponentialfunktion f : ℝ → ℝ, x → f (x) = e x durch das Aufsummieren von Gliedern dieser Reihe, also durch Polynome, approximiert denken.
Sabrina Proß, Thorsten Imkamp
Backmatter
Metadata
Title
Brückenkurs Mathematik für den Studieneinstieg
Authors
Dr. Sabrina Proß
Thorsten Imkamp
Copyright Year
2018
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-56723-4
Print ISBN
978-3-662-56722-7
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-56723-4

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