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2012 | OriginalPaper | Chapter
6. Das Wasserstoff-Atom
Author : Peter Schmüser
Published in: Theoretische Physik für Studierende des Lehramts 1
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Die Schrödinger-Gleichung für das H-Atom lautet
$$ - \frac{\hbar^{2}}{2m_{e}} \nabla^{2} \psi + V(r) \psi = E \psi \quad \text{mit} \quad V(r) = - \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r} $$
(6.1)
Die Elektronenmasse wird hier mit m
e
bezeichnet, um eine Verwechslung mit der magnetischen Quantenzahl m zu vermeiden. Das Proton wird als raumfest angesehen. Wegen der sphärischen Symmetrie des Hamilton-Operators muss der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten ausgedrückt werden (siehe Anhang A):
$$ \nabla^{2} \psi = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^{2} \frac{\partial \psi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} \theta} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial \varphi^{2}} $$
(6.2)