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2016 | Book

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Didaktik der Analysis

Aspekte und Grundvorstellungen zentraler Begriffe

Authors: Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Book Series : Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II

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About this book

Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II kommt der Analysis eine zentrale Rolle zu. Dieses Buch bietet eine umfassende Darstellung der Didaktik der Analysis unter Berücksichtigung der aktuellen didaktischen Diskussion, theoretischer Konzepte, praktischer Unterrichtserfahrungen und der Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz. Es unterstützt Studierende, Referendarinnen und Referendare, aber auch Lehrkräfte dabei, das Gebiet angemessen – kompetenzorientiert - unterrichten zu können. Dazu gibt es Orientierung über die allgemeinbildende Bedeutung der Analysis und beleuchtet die zentralen Begriffe Funktion, Folge, Grenzwert, Ableitung und Integral. Für diese, für den Analysisunterricht, zentralen Begriffe werden wichtige Aspekte und Grundvorstellungen herausgearbeitet sowie typische unterrichtliche Zugänge vorgestellt. Die Chancen digitaler Mathematikwerkzeuge für das Lernen und ihre Bedeutung im Analysisunterricht werden besprochen. Übungsaufgaben geben Impulse für selbstständiges Anwenden und Vertiefen der Inhalte.

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Table of Contents

Frontmatter

1. Ziele der Analysis, Aspekte und Grundvorstellungen

Zusammenfassung

Mithilfe definierter Ziele des Analysisunterrichts kann auf die Frage, warum Analysis an allgemeinbildenden Schulen unterrichtet wird, Antwort gegeben werden. Dabei sind diese Antworten jedoch keine einmal zu findenden und dann unumstößlich geltenden Erkenntnisse, sondern werden in einem Diskussionsprozess unterschiedlicher gesellschaftlicher Gruppen ausgebildet und müssen in einer sich ständig verändernden Welt im Hinblick auf ihre Aktualität stets neu diskutiert und überprüft werden (vgl. etwa Heymann 1996). Aufgabe der Fachdidaktik ist es, insbesondere Argumente zur Legitimation der Inhalte und Methoden des Analysisunterrichts zu benennen.

Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

2. Funktionen

Zusammenfassung

Funktionen stellen einen zentralen Inhaltsbereich der Mathematik dar. In diesem Bereich sollen Schülerinnen und Schüler vielfältige inhaltsbezogene und allgemeine mathematische Kompetenzen erwerben; sie sollen lernen, mit Funktionen flexibel und auf vielerlei Weise umzugehen.

Im Zentrum dieses Kapitels stehen Analysen, wie Schülerinnen und Schüler ausgehend von einem breiten Spektrum an Phänomenen Grundvorstellungen zum Funktionsbegriff entwickeln können, wie diese Vorstellungen mit fachlichen Aspekten von Funktionen verwoben sind und wie daraus im Mathematikunterricht Definitionen des Funktionsbegriffs auf verschiedenen Abstraktionsstufen entstehen können. Eingebettet ist dies in historische Bezüge, fachliche Grundlagen zu reellen Zahlen sowie weiterführende didaktische Überlegungen beispielsweise zu einer dynamischen Sicht auf Funktionsgraphen oder zu funktionalem Denken

Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

3. Folgen und Grenzwerte

Zusammenfassung

Dieses Kapitel geht zunächst – im Rahmen eines kurzen historischen Abrisses – auf die Wechselbeziehungen zwischen Folgen-, Grenzwert- und Unendlichkeitsbegriff in der Entwicklungsgeschichte der Mathematik ein. Dies geschieht vor allem deshalb, da sich Probleme und Schwierigkeiten in der historischen Entwicklung in ähnlicher Weise auch immer wieder bei Lernenden zeigen und die Hoffnung besteht, dass Lösungsansätze in der Geschichte der Mathematik Hinweise auf Strategien beim Lernen und Lehren im heutigenMathematikunterricht geben können. Dann wird auf die Bedeutung des Folgenbegriffs in der Sekundarstufe I eingegangen. Das Herausarbeiten der verschiedenen Aspekte dieses Begriffs sowie die damit einhergehenden Grundvorstellungen sind zentral für das Verständnis des Grenzwertbegriffs, vor allem auch im Rahmen aktueller sog. intuitiver oder propädeutischer Zugänge. Schließlich wird die aktuelle Sichtweise des Folgen- und Grenzwertbegriffs in den derzeitigen KMK-Bildungsstandards kritisch hinterfragt. Dazu wird auf die Entwicklung eingegangen, die zu der heutigen Situation im Hinblick auf die Behandlung der grundlegenden Begriffe der Analysis im Mathematikunterricht geführt hat, und es werden Perspektiven für einen zukünftigen, vor allem auch rechnerunterstützten Analysisunterricht entwickelt.

Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

4. Differenzialrechnung

Zusammenfassung

Kapitel 4 widmet sich dem Begriff der Ableitung. Ausgehend von der historischen Entwicklung und der fachlichen Klärung des Begriffs werden Grundvorstellungen der Ableitung - lokale Änderungsrate, Tangentensteigung, lokale Linearität und Verstärkungsfaktor kleiner Änderungen - vorgestellt, erläutert und diskutiert.

Darauf aufbauend ist die verständnisorientierte Entwicklung der Differenzialrechnung das zentrale Ziel, das sich im Analysisunterricht in Zugängen und Aktivitäten widerspiegelt, die diese Grundvorstellungen adäquat zu konstruieren versuchen. Dann führen Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln zur Untersuchung und Charakterisierung von Funktionsklassen und deren Graphen. Schließlich gibt das (mathematische) Modellieren mithilfe der Differenzialrechnung anhand verschiedener konkreter Beispiele einen Einblick in die Anwendungen dieses Themenbereichs.

Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

5. Integralrechnung

Zusammenfassung

Kapitel 5 ist dem Begriff des Integrals gewidmet. Ausgehend von der historischen Entwicklung und fachlichen Klärung des Integralbegriffs sowie der Flächen- und Volumenberechnung in der Sekundarstufe I werden ausführlich die Aspekte und Grundvorstellungen zum Integralbegriff diskutiert. Zu den Grundvorstellungen zählt neben Flächen-, Rekonstruktions- und Mittelwertsvorstellung auch die der Kumulation. Insbesondere werden vier typische Zugänge zur Integralrechnung im Analysisunterricht behandelt und an konkreten Beispielen erläutert.

Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

Backmatter

Title: Didaktik der Analysis
Authors: Gilbert Greefrath
Reinhard Oldenburg
Hans-Stefan Siller
Volker Ulm
Hans-Georg Weigand
Copyright Year: 2016
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-48877-5
Print ISBN: 978-3-662-48876-8
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-48877-5

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