Didaktik der Analysis

Table of Contents

1. Frontmatter

2. 1. Warum Analysis in der Sekundarstufe?

   Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

   Zusammenfassung

   In diesem Kapitel werden Ziele des Analysisunterrichts dargestellt und Beziehungen zu den Standards und Kompetenzen im Sinne der KMK-Bildungsstandards aufgezeigt. Neben dem Entwickeln eines grundlegenden Begriffsverständnisses werden verschiedene Ziele unter pragmatischen, kulturellen, erkenntnistheoretischen, kognitiv-konstruktiven, sprachlich-kommunikativen, schöpferisch-kreativen und mathematisch-deduktiven Gesichtspunkten herausgestellt. Dies erfolgt in enger Beziehung zur Entwicklung von Grundvorstellungen mathematischer Begriffe, welche hier zusammenfassend in allgemeiner Form und insbesondere in ihrer Beziehung zum „Concept Image“ erläutert werden. Dann werden digitale Medien hinsichtlich ihrer Arten und Funktionen klassifiziert, wobei vor allem der Werkzeugcharakter dieser Medien im Analysisunterricht wichtig ist, und es werden Überlegungen angestellt, in welcher Weise Künstliche Intelligenz zukünftig den Analysisunterricht beeinflussen oder gar verändern könnte. Schließlich wird noch der Frage nachgegangen, ob der Mathematikunterricht auch ohne Analysis denkbar ist.

3. 2. Folgen, Grenzwerte und Reihen

   Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

   Zusammenfassung

   Dieses Kapitel behandelt die Wechselbeziehungen zwischen dem Folgen-, Grenzwert- und Unendlichkeitsbegriff und zeigt darauf aufbauend einen Zugang zum Begriff der endlichen und unendlichen Reihe auf. Ausgehend von der Entwicklungsgeschichte der Mathematik wird die Bedeutung dieser Begriffe im gesamten Mathematikunterricht dargestellt. Dazu werden insbesondere Grundvorstellungen von Folgen-, Grenzwert- und Reihenbegriff erläutert und es werden Möglichkeiten dargestellt, wie diese im Mathematikunterricht entwickelt werden können – auch mit Hilfe digitaler Medien. Darüber hinaus werden unterrichtliche Zugänge zum Folgen-, Grenzwert- und Reihenbegriff durch zahlreiche unterrichtspraktische Beispiele für die Sekundarstufe I und II aufgezeigt.

4. 3. Funktionen

   Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

   Zusammenfassung

   Im Zentrum des Kapitels steht die Frage, wie Schülerinnen und Schüler ausgehend von vielfältigen Phänomenen Grundvorstellungen zu Funktionen bilden und zu einer Definition des Funktionsbegriffs im Mathematikunterricht gelangen können. Es wird deutlich, dass dies eng mit dem Umgang mit Darstellungen von Funktionen verbunden ist. Im Hinblick auf das Unendliche wird aufgezeigt, wie Verständnis für Grenzwerte von Funktionen entwickelt werden kann, wobei ein intuitives Grenzwertverständnis zunehmend präzisiert und abstrahiert wird. Für Funktionen mit Parametern werden insbesondere die grundlegenden Abhängigkeiten zwischen Parametern und Funktionsgraphen herausgearbeitet. Ein Blick auf den Begriff des funktionalen Denkens rundet das Kapitel zusammenfassend ab.

5. 4. Differenzialrechnung

   Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

   Zusammenfassung

   Das Kapitel nimmt seinen Ausgang bei der geschichtlichen Entwicklung und einer Klärung des Begriffs der Ableitung. Darauf aufbauend werden vier grundlegende Vorstellungen eingeführt: die lokale Änderungsrate, die Tangentensteigung, die lokale Linearität und der Verstärkungsfaktor kleiner Änderungen. Diese Ideen werden näher erläutert und in ihren Zusammenhängen betrachtet. Ziel ist es, eine verständnisorientierte Heranführung an die Differenzialrechnung zu fördern. Im Unterricht zeigt sich dies in Zugängen und Aktivitäten, die Schülerinnen und Schüler beim Aufbau dieser Grundvorstellungen unterstützen. Anschließend richtet sich der Blick auf die Untersuchung von Funktionen und deren Graphen. Dabei wird deutlich, welche zentrale Rolle diese Analysen für Optimierungsaufgaben, Problemstellungen und die Modellbildung mit den Mitteln der Analysis spielen.

6. 5. Integralrechnung

   Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg Weigand

   Zusammenfassung

   Das Kapitel behandelt die historische, fachliche und didaktische Entwicklung des Integralbegriffs und seine Einführung in den Mathematikunterricht. Ausgangspunkt ist die historische Genese des Integrals von den antiken Methoden der Flächen- und Volumenbestimmung über Archimedes, Cavalieri und Newton bis hin zur formalen Fundierung durch Cauchy, Riemann und Lebesgue. Darauf aufbauend wird die schulische Rezeption nachgezeichnet – von den Richtlinien der Meraner Reform und den preußischen Lehrplänen von 1925 über die bildungspolitischen Entwicklungen im 20. Jahrhundert bis zu den aktuellen Bildungsstandards der KMK. Fachlich wird der Integralbegriff als Grenzwert von Summen, als Stammfunktion und als Maß geklärt. Diese Aspekte werden mit zentralen Grundvorstellungen – Flächeninhalt, Rekonstruktion, Mittelwert und Kumulation – verknüpft. Darüber hinaus werden vorbereitende Inhalte der Sekundarstufe I (Flächen- und Volumenberechnungen) sowie unterschiedliche Zugänge und Visualisierungen für den Unterricht diskutiert. Das Kapitel zeigt, wie sich fachhistorische, fachliche und didaktische Perspektiven verbinden, um einen verständnisorientierten Zugang zum Integralbegriff in der Sekundarstufe II zu ermöglichen.

7. Backmatter