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2019 | OriginalPaper | Chapter

Die Geschwindigkeit eines Ruderbootes im Verlauf eines Rennens – ein Beispiel mathematischen Modellierens für die Sekundarstufe II

Author : Thomas Bardy

Published in: Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 6

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Ausgangspunkt ist die Frage, wie die Geschwindigkeit eines Ruderbootes modelliert werden kann. Mithilfe der die Geschwindigkeit beeinflussenden Kräfte werden Differenzialgleichungen hergeleitet, die die Geschwindigkeit des Ruderbootes in der Antriebsphase bzw. in der Freilaufphase beschreiben. Die Gleichungen werden für einen konkreten Achter aufgestellt und Graphen des Geschwindigkeitsverlaufs erzeugt. Wie kann der Achter eine kürzere Endzeit über die 2000 m – Strecke erreichen? Das Zwei-Phasen-Rudern beim Achter (vier Ruderer in der Antriebsphase, vier Ruderer in der Freilaufphase) wird als Alternative diskutiert. Das Thema bietet Anlass, ein die Fächer Mathematik, Physik und Sport verbindendes Projekt zu realisieren (einschließlich Lernen mit neuen Technologien). Über Unterrichtserfahrungen mit der Thematik in einer Jahrgangsstufe 12 wird berichtet.

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Appendix
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Footnotes
1
Hier: Achter, Typ 8+, Riemenboot. Die folgende mathematische Modellbildung kann leicht auch auf 2er- und 4er-Boote (mit/ohne Steuermann) übertragen werden. Auf andere mathematische Modellbildungen zum Rudern wird bei Affeld et al. (1988, S. 168 f.) hingewiesen.
 
2
Im Folgenden wird in den Formulierungen nicht zwischen männlichen und weiblichen Ruderern unterschieden.
 
4
Lazauskas (1997, http://​www.​cyberiad.​net/​library/​rowing/​stroke/​smodel.​htm) beziffert den Anteil des Wasserwiderstands am Gesamtwiderstand mit etwa 90 %.
 
5
Es ist allerdings zu beachten, dass starker Gegenwind den Anteil des Luftwiderstands am Gesamtwiderstand erheblich erhöhen kann, siehe Dudhia (2001, http://​eodg.​atm.​ox.​ac.​uk/​user/​dudhia/​rowing/​physics/​basics.​html). Nach Lazauskas (1997, http://​www.​cyberiad.​net/​library/​rowing/​stroke/​smodel.​htm) lässt sich der Luftwiderstand von Boot und Rudermannschaft nur sehr schwer bestimmen. Er selbst benutzt die folgende Formel, die den Luftwiderstand für einen einzelnen Ruderer angibt und von Millward (1987) aufgestellt wurde: RLuft = 0,02 · m2/3 · u2 [N]. Dabei ist m die Maßzahl der in kg gemessenen Masse des Ruderers und u die Maßzahl der in m/s gemessenen Bootsgeschwindigkeit. Zum Windeinfluss auf die Bootsgeschwindigkeit eines Weltklasse-Achters siehe Kollmann (2001, S. 892).
 
6
Er entsteht durch Druckunterschiede beim Umströmen des Bootskörpers und bewirkt zusammen mit der Bewegung der Ruderer auf den Rollsitzen ein vertikales Absinken des Bootes (vgl. Herberger et al. 1977, S. 22). Dieses Phänomen ist bei Bingelis und Danisevicius (1991, S. 42) in Form einer Differenzialgleichung beschrieben.
 
7
Bei Wassertemperaturen von 14° muss im Vergleich zu 19°/20° mit etwa 4 s längeren Fahrzeiten über die Renndistanz gerechnet werden (vgl. Kollmann 1999, S. 13). Zur Temperaturabhängigkeit der Bootsgeschwindigkeit siehe Oehler und Schneider (1982, S. 212).
 
8
Zum Einfluss der Wassertiefe auf die Bootsgeschwindigkeit siehe Herberger et al. (1977, S. 23).
 
9
Die Renn-Ruder machen weniger als 5 % der Gesamtmasse (einschließlich der Ruder-Mannschaft) aus (vgl. Dudhia 2001, http://​eodg.​atm.​ox.​ac.​uk/​user/​dudhia/​rowing/​physics/​basics.​html), nach meiner späteren Beispielrechnung sogar nur etwa 2,3 %.
 
11
„In Bezug auf das Wasser beschreibt das Blatt keinen Kreisbogen.“ (Herberger et al. 1977, S. 31) „Das Blatt führt neben geringer Rotation eine zur Fahrtrichtung entgegengesetzt fortschreitende (translatorische) Bewegung aus, wobei das charakteristische Schlupfbild entsteht.“ (a. a. O., S. 32).
 
12
Die Firma Empacher (http://​www.​empacher.​com/​fileadmin/​DE/​baublatt/​Baublatt-Riemen-1016-GER.​pdf) gibt an: bei einer Masse von 10 kg auf den Ansatz des Blattes am Riemen verbiegt sich das Ruder am Blattende um 4,4 cm. Zur Verformung eines Ruders siehe Brearley und deMestre (2000).
 
13
Ich nehme an, dass das Boot während des gesamten Rudervorgangs auf einer geraden Linie bleibt.
 
14
Sie macht 20–30 % der Gesamtmasse des Systems Ruderer-Boot aus (vgl. Dudhia 2001, http://​eodg.​atm.​ox.​ac.​uk/​user/​dudhia/​rowing/​physics/​basics.​html).
 
15
Sie macht 80–70 % des Systems aus (vgl. a. a. O.).
 
16
D. h. Einleiten des Kraftimpulses durch Änderung der Bewegungsrichtung des Blattes (Riemen) in Richtung Heck (vgl. Herberger et al. 1977, S. 16).
 
17
D. h. Herausführen der Blätter aus dem Wasser mit anschließender Änderung der Bewegungsrichtung der Blätter in Richtung Bug (vgl. a. a. O.).
 
18
Dieser Widerstand ist natürlich abhängig von dem betrachteten Bootsrumpf und nur experimentell bestimmbar. Für mich ist dies nicht möglich. Im Folgenden werde ich somit die Formel, die bei Brearley et al. (1998, S. 404) angegeben ist und auf Messungen von Wellicome (1967) zurückgreift, verwenden. Formeln für diesen Widerstand finden sich auch bei Affeld et al. (1988, S. 169) und Schatté (1981, S. VI).
 
19
Rückwärts gerichtet heißt entgegengesetzt zur Fahrtrichtung.
 
20
Sie ist gestrichelt eingezeichnet, da sie nicht auf das Boot wirkt.
 
21
Letztlich vom Wasserwiderstand, der auf die Ruderblätter wirkt.
 
22
Verlustlos in Fahrtrichtung wirkt diese Kraft nur, „[…] wenn sich der Riemen in 90°-Stellung zum Boot befindet“ (Herberger et al. 1977, S. 30). In allen anderen Stellungen ergeben sich seitliche Verlust-komponenten.
 
23
Die Riemen stoßen sich sozusagen an den Blättern als feste Punkte ab (zum Antrieb des Ruderbootes siehe auch Nolte 1989, S. 448).
 
24
Siehe auch http://​home.​hccnet.​nl/​m.​holst/​recover1.​html: dort ist eine mittlere Rollsitzgeschwindigkeit von 0,9 m/s angegeben.
 
25
Erwähnt sei, dass Lazauskas (1997, http://​www.​cyberiad.​net/​library/​rowing/​stroke/​smodel.​htm) \( \frac{\text{h}}{\text{l}}{\text{P}} = {\text{P}}_{\hbox{max} } \sin^{2} \left( {\frac{{\uppi \cdot {\text{t}}}}{{\uptau_{1} }}} \right) \), \( 0 \le {\text{t}} \le\uptau_{1} \), also eine sin2-Kurve, benutzt. Ich folge jedoch dem Ansatz von Brearley et al. (1998, S. 392).
 
26
Eine ähnliche Differenzialgleichung, die die Vorwärtsbewegung des Systems Boot-Ruderer-Riemen (relativ zum unbewegten Wasser) beschreibt, findet sich bei Zaciorskij und Jakunin (1981, S. 91).
 
27
Die Werte in Newton und die Bezeichnungen Q, F und R in Abb. 14 ergänzt durch T. Bardy; 1 lbf ≈ 4,4482 N (Kuchling 1989, S. 44).
 
28
Lazauskas (1997, http://​www.​cyberiad.​net/​library/​rowing/​stroke/​smodel.​htm) kommt mit der Formel τ1 = 0,00015625(r − 24)2 − 0,008125(r − 24) + 0,8, wobei r die Schlagrate pro Minute ist, auf eine errechnete Zeit von τ1 ≈ 0,719 s (mit r = 37,5). I. Allg. ist die Antriebsphase kürzer als die Freilaufphase (siehe auch Held und Kreiß 1973, S. 31).
 
29
Bei Young und Muirhead (1991, http://​phys.​washington.​edu/​~wilkes/​post/​temp/​phys208/​shell.​acceleration.​html) findet man eine Dauer von ca.1,5 s (siehe auch Abb. 16).
 
30
Lazauskas (1997, http://​www.​cyberiad.​net/​library/​rowing/​stroke/​smodel.​htm) gibt folgende Daten an: Für einen 57 kg schweren Ruderer ist a1 = 0,315 m, und für einen 95 kg schweren Ruderer ist a1 = 0,374 m.
 
31
Damit wird der Anteil der Masse der Ruderer an der Gesamtmasse mit etwa 82 % angenommen (vgl. die Fußnoten 14 und 15).
 
32
Mit der Angabe von vier wesentlichen Ziffern ist hier nicht gemeint, dass die betreffende Kraft auf 0,1 N genau bekannt ist, sondern dass diese Anzahl von wesentlichen Ziffern benötigt wird, um die späteren Rechnungen genau genug durchführen zu können. Zur Kraft, die ein Rennruderer aufbringt, siehe auch Herberger et al. (1977, S. 29), wo die Angabe von Brearley et al. (1998) näherungsweise bestätigt ist.
 
33
Dudhia (2001, http://​eodg.​atm.​ox.​ac.​uk/​user/​dudhia/​rowing/​physics/​basics.​html) verwendet die folgenden Daten: 3,75 m (Ruderlänge) bzw. 1,15 m (Innenhebel). Bei Nolte (1984, S. 302) findet man: Ruderlänge: 3,82 m bis 3,87 m; Innenhebel: 1,11 m bis 1,15 m. In http://​www.​rish.​de/​rudern/​boote/​trimmen steht (dort übernommen aus Affeld et al. (1994, 69 f.)): Ruderlänge: 3,84 m; Innenhebel: 1,135 m bis 1,14 m. Riemen des Bootsherstellers Empacher (http://​www.​empacher.​com/​fileadmin/​DE/​baublatt/​Baublatt-Riemen-1016-GER.​pdf): Ruderlänge: 373 cm bis 378 cm; Innenhebel: 110 cm bis 122 cm; Blattlänge: 53,5 cm bis 55 cm. Herberger et al. (1977, S. 34) schreiben, dass man, um auf die Längen l und h zu kommen, noch 10 cm beim Griffende und 25 cm beim Blattende subtrahieren muss.
 
34
Bei diesen Gleichungen handelt es sich um sog. Riccatische Differenzialgleichungen (siehe dazu z. B. Stepanow 1963, 41 ff.), die sich i. Allg. nicht exakt, d. h. termmäßig, lösen lassen, sondern nur numerisch.
 
35
Diese Formel liefert bei einer minimalen Geschwindigkeit von 4,6 m/s im „steady-state“ (siehe Abb. 22) einen Wasserwiderstand von ≈249 N, bei einer maximalen Geschwindigkeit von 7,0 m/s einen Wasserwiderstand von ≈586 N. Bei der errechneten Durchschnittsgeschwindigkeit von 5,93 m/s beträgt dieser Widerstand ≈417 N, ein um etwa 5 % kleinerer Wert als das entsprechend der Dauer der beiden Phasen gewichtete Mittel (249 N · 0,7 + 586 N · 0,9)/1,6 ≈ 439 N.
 
36
Um die Widerstände am fahrenden Boot zu minimieren, ist eine nahezu konstante Geschwindigkeit des Bootes anzustreben. Diese Forderung bleibt aber nach Fritsch (1990, S. 89) eine Idealvorstellung, da der Antrieb im Rudern intermittierend ist. Er kann nicht kontinuierlich gestaltet werden. Geschwindigkeitsschwankungen (bis zu 25 % Abweichung von der mittleren Bootsgeschwindigkeit) und die damit verbundenen erhöhten Widerstände (sie steigen mit dem Quadrat der Geschwindigkeit des Bootes) sind unvermeidlich (vgl. a. a. O.).
 
37
Bei Townend (1984, S. 89–92) werden andere als die üblichen Anordnungen der Ruderer diskutiert. Auch wurde mit sog. Rollauslegerbooten experimentiert, bei denen feste Sitzplätze (mit Rückenlehne) sowie bewegliche Stemmbretter und Ausleger angebracht wurden (vgl. Herberger et al. 1977, S. 29).
 
38
Der Bootshersteller BBG Bootsbau Berlin GmbH (http://​www.​bbg-rowing.​com) berichtet in einer E-Mail an T. Bardy von einer Länge von Mitte Dollenstift zu Mitte Dollenstift von 2660 mm bis 2800 mm in Längsrichtung, je nach Länge und Einteilung des Ruderplatzes beim (Riemen-)Achter-Boot aus eigener Herstellung.
 
39
Herberger et al. (1977, S. 22) berichten, dass durch eine Verlängerung des Bootes bis 19,30 m gute Widerstandsverhältnisse entstanden. Jedoch traten Probleme in der Stabilität und der Beherrschung des Bootes auf.
 
40
Angaben der Firma BBG Bootsbau Berlin GmbH (http://​www.​bbg-rowing.​com) in ihrer E-Mail an T. Bardy: Länge Rollbahnende bis Anfang Stemmbrettschiene bugwärts 20 mm bis 80 mm je nach Einstellung der Rollbahn und je nach Länge des Ruderplatzes; außerdem Länge der Rasterschiene des Stemmbretts ca. 200 mm. Ein Riemen-Achter dieser Firma besitzt standardmäßig einen Rollraum von 710 mm Länge und einen Fußraum von 690 mm Länge.
 
41
Dieser Wert entsteht aus den errechneten Punkten, die jeweils die Durchschnittsgeschwindigkeit für einen vollständigen Zug darstellen.
 
42
Dieser Wert ist aus den mit MATHEMATICA erhaltenen Durchschnittsgeschwindigkeiten berechnet worden.
 
43
Idealerweise könnte die mathematische Modellbildung zur Geschwindigkeit eines Ruderbootes im Rahmen einer Sportwoche mit praktischen Rudererfahrungen (z. B. bei Aufenthalt in einem Ruderheim) erfolgen. Wenn „selber rudern!“ so nicht geht, gelingt vielleicht eine Exkursion zu einem nahe gelegenen Ruderverein mit der Gelegenheit zum Experteninterview: Lernende fragen Ruderer (mit entsprechender Vorbereitung in der Klasse). (Diese Vorschläge stammen von den Herausgebern).
 
Literature
Affeld, K., Schichl, K., Ruan, S.: Über ein mathematisches Modell des Ruderns. In: Steinacker, J.M. (Hrsg.) Rudern: Sportmedizinische und sportwissenschaftliche Aspekte, S. 168–176. Springer, Berlin (1988) CrossRef
Bingelis, A., Danisevicius, J.: Mathematische Modellierung der effektiven Schlagfrequenz beim Rudern. Leistungssport 21(6), 42–44 (1991)
Blum, W.: Anwendungsorientierter Mathematikunterricht in der didaktischen Diskussion. Math. Semesterberichte 32(2), 195–232 (1985)
Brearley, M.N., deMestre, N.J.: Improving the efficiency of racing shell oars. Math. Gaz. 84(11), 405–414 (2000) CrossRef
Brearley, M.N., deMestre, N.J., Watson, D.R.: Modelling the rowing stroke in racing shells. Math. Gaz. 82(11), 389–404 (1998) CrossRef
Fritsch, W.: Handbuch für das Rennrudern: Planung-Training-Leistung. Meyer und Meyer, Aachen (1990)
Fritsch, W.: Handbuch für den Rudersport: Training-Kondition-Freizeit. Meyer und Meyer, Aachen (1992)
Held, H., Kreiß, F.: Vom Anfänger zum Rennruderer. BLV Verlagsgesellschaft, München (1973)
Herberger, E., Beyer, G., Harre, D., Krüger, H.O., Querg, H., Sieler, G.: Rudern: Ein Lehrbuch für Trainer, Übungsleiter und Sportlehrer, Berlin (1977)
Kollmann, W.: Rennanalysen zur WM 1998 in Köln (Teil I). Rudersport 117(1), 11–13 (1999)
Kollmann, W.: WM-Analysen Luzern 2001: Gelingen und Misslingen von Renntaktiken/Spitzenleistungen auch ohne Weltbestzeiten. Rudersport 119(24), 892–894 (2001)
Kuchling, H.: Taschenbuch der Physik. Harri Deutsch, Frankfurt a. M. (1989)
Maaß, K.: Vorstellungen von Schülerinnen und Schülern zur Mathematik und ihre Veränderung durch Modellierung. MU 49(3), 30–53 (2003)
Martin, T.P., Bernfield, J.S.: Effect of stroke rate on velocity of a rowing shell. Med. Sci. Sports Exerc. 12(4), 250–256 (1980)
Millward, A.: A study of the forces exerted by an oars man and the effect on boat speed. J. Sport Sci. 5, 93–103 (1987) CrossRef
Nolte, V.: Die Wahl der Ruderlänge und der richtigen Hebel. Rudersport 102(13), 300–303 (1984)
Nolte, V.: Der Antrieb des Ruderbootes – Biomechanische Grundlagen. Vortrag beim 3. Hamburger Symposium. Rudersport 107(17), 446–450 (1989)
Oehler, P., Schneider, T.: Temperaturabhängigkeit der Bootsgeschwindigkeit. Rudersport 100(9), 212 (1982)
Schatté, E.: Schneller durch leichte Boote. Rudersport 99, 3 (1981) (Beilage Trainer-Journal. Lehrbriefe für Trainer und Übungsleiter 76(1), V–VII)
Stepanow, W.W.: Lehrbuch der Differentialgleichungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Leipzig (1963) MATH
Townend, M.S.: Mathematics in Sport. E. Horwood, Chichester (1984) MATH
Wellicome, J.F.: Report on resistance experiments carried out on three racing shells. Nat. Phys. Lab. Ship T.M. 184,1 (1967)
Zaciorskij, Y.M., Jakunin, N.A.: Zur Biomechanik des Ruderns (Übersichtsdarstellung). Beiheft zu Leistungssport: Rudern (Redaktion: Nickel, H.), S. 83–98 (1981)
Metadata
Title
Die Geschwindigkeit eines Ruderbootes im Verlauf eines Rennens – ein Beispiel mathematischen Modellierens für die Sekundarstufe II
Author
Thomas Bardy
Copyright Year
2019
Book
Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 6

Print ISBN: 978-3-658-24296-1

Electronic ISBN: 978-3-658-24297-8

Copyright Year: 2019

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-24297-8_2

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