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2023 | Book

Tonsysteme Read chapter Read first chapter

Die Mathematik hinter Klang und Musik

Author: Götz Kersting

Publisher: Springer International Publishing

Book Series : Mathematik Kompakt

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Klang und Musik bieten vielfältiges Material, um die Anwendbarkeit von Mathematik darzulegen. Im vorliegenden Buch haben wir die Mathematik auf dem Niveau eines Bachelorstudiums vor Augen. Die Themen auf Seite von Klang und Musik betreffen u.a. Tonleitern, Schallwellen in Streich- und Blasinstrumenten, Kugelwellen, Töne und Obertöne, schwingende Membrane, Impedanz und gekoppelte schwingende (Klavier)saiten. Die Akustik bietet Anlass und viel Stoff, um auf ganz unterschiedliche Themen aus der Mathematik einzugehen und exemplarisch die Anwendbarkeit von elementarer wie fortgeschrittener Mathematik darzulegen. Themen aus der Mathematik sind u.a. Kettenbrücke, die Wellengleichung in verschiedenen Dimensionen, Fourieranalyse, Besselfunktionen und Besselgleichung, das Verfahren der stationären Phase, die Diskriminante von Polynomen. Das Konzept ist in mehreren Vorlesungen erprobt: Stoff aus Analysisvorlesungen wird durch die anschaulichen Themen dieses Buches lebendig gemacht, was insbesondere für Lehramtstudierende hilfreich sein kann.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Tonsysteme
Zusammenfassung
Ein Merkmal abendländischer Musik ist die Mehrstimmigkeit, die Verflochtenheit von Melodie und Harmonie. An die zugrunde liegenden Tonsysteme erwachsen daraus Anforderungen, die teils gar nicht miteinander vereinbar sind. Die Problemstellungen sind auch mathematischer Natur, wie wir in diesem Kapitel sehen werden.
Götz Kersting
Kapitel 2. Wellen und Töne
Zusammenfassung
Die Welt ist voller Geräusche, die Akustik spricht von Schall. Er ist Ausdruck feinster Druckschwankungen, die die Luft in Wellen durchlaufen und in ihrer Größenordnung gerade einmal ein Milliardstel bis ein Millionstel des Luftdrucks ausmachen. Bei einer periodischen Schwingung hört man einen Ton. Musikinstrumente sind darauf ausgelegt, solche periodische Oszillationen des Luftdrucks zu erzeugen. Dies kann auf direkte Weise geschehen, wie bei einem Blasinstrument, oder auf Umwegen, wie im Falle eines Saiteninstruments, bei dem die Schwingungen der Saiten über den Korpus des Instruments in Oszillationen des Luftdrucks verwandelt werden.
Götz Kersting
Kapitel 3. Klangspektren
Zusammenfassung
Eine periodische Schwingung des Luftdrucks wird, wie wir schon im ersten Kapitel festgestellt haben, vom Gehör als Ton wahrgenommen.
Götz Kersting
Kapitel 4. Schwingungsmoden
Zusammenfassung
Eine komplette Lösung, wie sie der Satz von d’Alembert für die eindimensionale Wellengleichung bietet, lässt sich für komplexere schwingende Systeme meist nicht mehr finden. In solchen Fällen kann man erkunden, was für stehende Wellen möglich sind. Für den resultierenden Klang ergeben sich daraus die Frequenzen der Teiltöne, und man erfährt, ob ein (nahezu) harmonisches oder aber ein inharmonisches Klangspektrum vorliegt.
Götz Kersting
Kapitel 5. Rund um den Schwingungswiderstand
Zusammenfassung
Unsere bisherige Behandlung von schwingenden Saiten und Luftsäulen war idealisiert und sieht bei Musikinstrumenten über einen wesentlichen Umstand hinweg. Für die schwingenden Saiten gingen wir davon aus, dass sich deren Enden beide nicht bewegen. Es müssen aber die Oszillationen auf den Resonanzkörper übertragen werden, damit sie hörbar werden. Das gelingt, indem ein Saitenende gemeinsam mit dem Korpus schwingt.
Götz Kersting
Backmatter
Metadata
Title
Die Mathematik hinter Klang und Musik
Author
Götz Kersting
Copyright Year
2023
Electronic ISBN
978-3-031-31640-1
Print ISBN
978-3-031-31639-5
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-31640-1

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