Differenzialgleichungen – Zusammenspiel von Funktionen und ihren Ableitungen

Während wir in der Mathematik eine Ableitung einer Funktion berechnen oder eine Stammfunktion bestimmen, tauchen in den Anwendungen Funktionen und ihre Ableitungen häufig in eigenständigen Rollen auf. So können wir bei einem Fahrzeug von der zum Zeitpunkt $$t$$ t zurückgelegten Strecke $$s(t)$$ s ( t ) sprechen und von der Momentangeschwindigkeit $$v(t)$$ v ( t ) . Erst durch die Naturgesetze oder zu treffende Annahmen entsteht der mathematische Zusammenhang zwischen diesen Größen, nämlich dass die eine die Ableitung der anderen ist.Durch die Kombination der verschiedenen Naturgesetze gelangt man von Anwendungsproblemen zu Gleichungen, die einen Prozess mathematisch beschreiben. Durch die oben beschriebenen Zusammenhänge tauchen dann Funktionen und ihre Ableitungen in derselben Gleichung auf. Die Funktion ist hierbei die Unbekannte, sie ist zu bestimmen. Solche Gleichungen bezeichnet man als Differenzialgleichungen.Zur Lösung solcher Gleichungen werden wir das gesamte Arsenal der Differenzial- und Integralrechnung benötigen. Ähnlich wie schon bei der Integration wird man vielen Gleichungen mit gewissen Tricks oder wenig offensichtlichen Ansätzen zu Leibe rücken. Die Motivation für die einzelnen Lösungstechniken darzulegen, damit es nicht scheint, als würde mit Magie oder zumindest undurchschaubaren Methoden gearbeitet, ist ein besonderes Anliegen dieses Kapitels.