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2021 | Book

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Diskrete Mathematik mit Grundlagen

Lehrbuch für Studierende von MINT-Fächern

Authors: Prof. Dr. Sebastian Iwanowski, Prof. Dr. Rainer Lang

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Lehrbuch wendet sich an Leser ohne Studienvorkenntnisse, gibt eine elementare Einführung in die Diskrete Mathematik und die Welt des mathematischen Denkens und führt den Leser auf ein solides Hochschulniveau. Im Einzelnen werden elementare Logik, Mengenlehre, Beweiskonzepte und die mathematische Terminologie dafür ausführlich erklärt und durch Anwendungsbeispiele motiviert. Darauf aufbauend werden die wichtigsten Disziplinen der Diskreten Mathematik behandelt in einem Umfang, der für jedes MINT-Studium außer der Mathematik selbst ausreicht. Zahlreiche Übungsaufgaben runden das Angebot ab, die Lösungen dazu werden online zur Verfügung gestellt. Das Buch ist zum Selbststudium, als Vorlesungsbegleitung und zum Nachschlagen geeignet.

Die zweite Auflage wurde vollständig überarbeitet. Das Kapitel zur Logik wurde erheblich ausgeweitet, unter anderem durch eine allgemeinverständliche Anleitung mit vielen Beispielen, wie Alltagssprache in logische Sprache übersetzt wird.

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Table of Contents

Frontmatter

Kapitel 1. Logik

Zusammenfassung

Wenn ein Kind in der Schule das erste Mal mit Mathematik in Berührung kommt, dann lernt es die Mathematik als Rechnen mit Zahlen kennen. Später, wenn auch Gleichungen mit Unbekannten hinzukommen, wird das als Algebra bezeichnet. Im herkömmlichen Schulunterricht werden noch weitere Konzepte wie Funktionen, später auch mit ausführlichen Kurvendiskussionen, und Geometrie ausführlich behandelt.

Sebastian Iwanowski, Rainer Lang

Kapitel 2. Mengenlehre

Zusammenfassung

Mengenbegriff. Die zugehörige Theorie - die Mengenlehre - bildet die Grundlage für die gesamte Mathematik. Nur mit Hilfe der Mengenlehre kann man Begriffe wie „Funktion“ und „Relation“ exakt definieren. Das Konzept der Funktion ist vielen aus den Naturwissenschaften bekannt, das Konzept der Relation ist in vielen weiteren Wissenschaften, sogar in Geisteswissenschaften, von Bedeutung. In der Informatik ist ein grundlegendes Verständnis der Mengenlehre wichtig, um mit Datentypen richtig umgehen zu können.

Sebastian Iwanowski, Rainer Lang

Kapitel 3. Beweisverfahren

Zusammenfassung

Logik und Mengenlehre stellen die Grundbausteine zur Verfügung, auf denen alles andere in der Mathematik aufbaut. In diesem Kapitel werden grundlegende Verfahren vorgestellt, wie man diese Grundbausteine miteinander in Beziehung setzen und verknüpfen kann.

Sebastian Iwanowski, Rainer Lang

Kapitel 4. Zahlentheorie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel repräsentieren die Variablen aller Definitionen und Sätze, wenn nicht anders spezifiziert, ganze Zahlen (Elemente von Z). Fast alle Definitionen und Sätze können auch auf N beschränkt werden. Wir werden im Folgenden vieles nur für natürliche Zahlen genau erklären und die Verallgemeinerung für negative ganze Zahlen lediglich skizzieren.

Sebastian Iwanowski, Rainer Lang

Kapitel 5. Algebraische Strukturen

Zusammenfassung

Eine erste algebraische Struktur wurde bereits in Kapitel 2 vorgestellt: Die Boolesche Algebra. Diese beschreibt die konkreten Gesetze der Logik und Mengenlehre auf einer höheren Abstraktionsstufe und ermöglicht dadurch die Anwendung von logischen und mengentheoretischen Gesetzen auf weitere konkrete Beispiele.

Sebastian Iwanowski, Rainer Lang

Kapitel 6. Kombinatorik

Zusammenfassung

Die Kombinatorik befasst sich im weiteren Sinne mit der Theorie der endlichen Mengen und im engeren Sinne mit der Anzahl der Elemente von endlichen Mengen mit vorgegebenen Eigenschaften. Typische Fragen der Kombinatorik sind „Auf wie viele verschiedene Weisen kann man aus einer n-elementigen Menge M k-elementige Teilmengen auswählen?“ oder „Wie viele Worte mit 5 Buchstaben lassen sich aus unserem Alphabet bilden?“

Sebastian Iwanowski, Rainer Lang

Kapitel 7. Graphentheorie

Zusammenfassung

Graphen sind Strukturen aus Punkten und Verbindungen zwischen diesen Punkten. Sie werden in der Ebene durch so genannte Ecken (Punkte) und Kanten (Verbindungen zwischen den Punkten) dargestellt.

Sebastian Iwanowski, Rainer Lang

Backmatter

Title: Diskrete Mathematik mit Grundlagen
Authors: Prof. Dr. Sebastian Iwanowski
Prof. Dr. Rainer Lang
Copyright Year: 2021
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-32760-6
Print ISBN: 978-3-658-32759-0
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-32760-6

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