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2019 | Book

Grundlagen Read chapter Read first chapter

Diskrete Mathematik

Ein kompakter Einstieg

Author: Dr. Lukas Pottmeyer

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Lehrbuch gibt in kompakter Form und mit lockerem Stil einen ersten Überblick über zentrale Bereiche der diskreten Mathematik. Es ist zur Verwendung im ersten und zweiten Semester mathematischer Studiengänge geeignet: Sie benötigen als Leser kein tieferes mathematisches Vorwissen und werden behutsam an die mathematische Sprache herangeführt; alle behandelten Themen werden formal sauber und dennoch anschaulich und verständlich eingeführt. Auf ein eigenständiges Kapitel zur elementaren Logik und Beweisstrategien wird verzichtet, denn beides erlernen Sie beim Durcharbeiten implizit.

Jedes Kapitel endet mit darauf abgestimmten Übungsaufgaben, deren Lösungen online bereitgestellt werden. Einige besonders zentrale und niedrigschwellige Übungsaufgaben sind explizit gekennzeichnet: Diese sollten Sie nach dem Studium des entsprechenden Kapitels lösen können, bevor Sie zum nächsten Kapitel weiterblättern.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Grundlagen
Zusammenfassung
Hier wollen wir die wesentlichen Objekte einführen, die in diesem Buch behandelt werden. Insbesondere wollen wir präzisieren, was mit Zählen eigentlich gemeint ist. Dies ist anschaulich vollkommen klar, und zum Glück wird uns der abstrakte Zugang zu den natürlichen Zahlen genau das liefern, was wir auch erwartet haben. Um alle (wirklich alle!) Eigenschaften und Konzepte der natürlichen Zahlen herzuleiten, brauchen wir aber erstaunlich wenige (genau fünf) Annahmen.
Lukas Pottmeyer
Kapitel 2. Kombinatorik
Zusammenfassung
In diesem Kapitel studieren wir auf wie viele Arten wir verschiedene Elemente unter gewissen Randbedingungen kombinieren können. Dies führt uns unter anderem zu Aussagen darüber, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, im Lotto zu gewinnen oder wie viele verschiedene Passwörter für eine Uni-Mailadresse möglich sind.
Lukas Pottmeyer
Kapitel 3. Rekursionen
Zusammenfassung
Als Rekursion wird jeder Prozess beschrieben, in dem eine Folge von Zahlen \(a_1,a_2,\ldots \) so erzeugt wird, dass \(a_n\) aus den Elementen \(a_1,\ldots , a_{n-1}\) konstruiert wird. Damit dieser Prozess eindeutig ist, müssen gewisse Anfangswerte bereits gegeben sein. Solche Rekursionen sind uns schon begegnet. So beschreibt die Rekursion
Lukas Pottmeyer
Kapitel 4. Graphentheorie
Zusammenfassung
Bisher haben wir uns nur mit der Anzahl von Elementen endlicher Mengen beschäftigt. In diesem Kapitel werden wir Beziehungen – oder Relationen – zwischen Elementen einer endlichen Menge studieren. Der Anfang der Graphentheorie liegt im sogenannten „Königsberger Brückenproblem“.
Lukas Pottmeyer
Kapitel 5. Elementare und modulare Arithmetik
Zusammenfassung
In der elementaren Arithmetik behandeln wir ein paar Schönheiten, die wahrscheinlich den meisten bereits ansatzweise bekannt sind, wie die eindeutige Primfaktorzerlegung und den euklidischen Algorithmus. In der modularen Arithmetik benutzen wir Teilbarkeitsregeln, um aus den ganzen Zahlen \(\mathbb {Z}\) endliche Mengen zu basteln, auf denen wir immer noch sinnvoll addieren und multiplizieren können.
Lukas Pottmeyer
Kapitel 6. Kryptographie
Zusammenfassung
Kryptographie (altgriechisch etwa: verborgen schreiben) ist die Theorie von verschlüsselter Kommunikation. Diese hat eine sehr lange Tradition, war aber möglicherweise noch nie so bedeutend wie heute. Eine große Herausforderung wurde in den 1970er-Jahren gemeistert: Geheime Datenübertragung zwischen zwei Partein, die sich noch nie getroffen haben, und deren gesamte Kommunikation mitgelesen wird.
Lukas Pottmeyer
Kapitel 7. Lateinische Quadrate
Zusammenfassung
In diesem Kapitel studieren wir wieder Objekte, die jede(r) von Ihnen aus dem Alltag kennt (ähnlich zur Graphentheorie). Deshalb starten wir auch mit einer anschaulichen (informellen) Definition der Objekte, die uns in diesem Kapitel beschäftigen werden.
Lukas Pottmeyer
Kapitel 8. Erzeugende Funktionen
Zusammenfassung
Viele Fragen in der diskreten Mathematik haben uns (unendliche) Folgen von natürlichen Zahlen geliefert. Wir wollen hier solche Folgen in einem einzigen algebraischen Objekt zusammenfassen und dadurch neue Erkenntnisse über diese Folge gewinnen.
Lukas Pottmeyer
Backmatter
Metadata
Title
Diskrete Mathematik
Author
Dr. Lukas Pottmeyer
Copyright Year
2019
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-59663-0
Print ISBN
978-3-662-59662-3
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-59663-0

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