Dynamik der Baukonstruktionen

Die bei baudynamischen Problemen auft retenden Massenbewegungen sind i. Allg. geführte Bewegungen: Die Trägheitswirkungen der beteiligten Massen sind mit den sie verursachenden Bewegungen in einer einfach zu überblickenden Weise verknüpft , z. B.:

Die technische Mechanik kann in die Bereiche „Statik“ und „Dynamik“ gegliedert werden, wobei die Statik eigentlich ein Sonderfall der Dynamik ist (Abb. 2.1). Die Statik geht von der Vorstellung einer – im Vergleich zur Eigenschwingungszeit – unendlich langsamen Lastaufbringung aus. Es treten zwar Bewegungen (Verschiebungen, Verdrehungen) auf, doch sind damit keine Massenkräfte verbunden. In der Dynamik hat man es mit schnellen Belastungsänderungen zu tun: Bauwerk und Bauteile reagieren dynamisch, dadurch werden Trägheitskräft egeweckt.

Eine zusammenhängende Anhäufung von Punktmassen dm mit festliegender Bindung und Anordnung zueinander ergibt einen Körper. Nach der Art der Bindung werden starre und deformierbare Körper unterschieden. Ist die gegenseitige Anordnung unveränderlich, spricht man von einem starren Körper. Abb. 3.1a zeigt einen derartigen Körper in Form einer Wandscheibe auf elastischer Bettung.

Das Koordinatensystem x, y wird zweckmäßig in die Symmetrieebene (Mittelebene) des ebenen starren Körpers gelegt. Liegt der Nullpunkt im Schwerpunkt, sind x und y Schwerachsen. Die senkrecht dazu stehende z-Achse ist dann eine Hauptachse, Abb. 4.1a, b. Das Massenmoment (2. Ordnung) des Körpers um diese Achse berechnet sich zu (vgl. Gl. 10 in Abschn. 3)

Bei einem Einfreiheitsgradschwinger (EFS) vermag sich die Masse nur in einer Richtung zu bewegen. In Abb. 5.1 ist dies die lotrechte Richtung. Die Bewegungskoordinate ist y. Sie wird von der statischen Ruhelage aus gemessen. Um diese schwingt das System.

Wie im vorangegangenen Abschnitt gezeigt, wird der Bewegungszustand y = y(t) eines Einfreiheitsgradschwingers (EFS) mit linearen (und zeitinvarianten) Eigenschaft en durch die Differenzialgleichung

Wird bei einem Tragwerk die an der Schwingungsbewegung beteiligte kontinuierliche Massebelegung zu mehreren Punktmassen zusammengezogen, entsteht ein Mehrfreiheitsgradschwinger (MFS, Abb. 7.1). Gegebenenfalls weist das System a priori Massekonzentrationen auf, z. B. in Form von Starrkörpern. Bei einem ebenen Stabtragwerk wird die Bewegung jeder Punktmasse durch drei Komponenten vollständig beschrieben: Zwei Verschiebungen und eine Verdrehung.

Wegen der fehlenden Biegesteifi gkeit sind Seile und aus ihnen zusammengesetzte Tragwerke (Seilwerke) schwingungsanfällige Bauteile bzw. Konstruktionen. Man denke an Freileitungen, Seilbahnen, seilverspannte Tragwerke wie abgespannte Funkmaste, seilverankerte Meeresplattformen, Seilnetzkonstruktionen, Schrägseil- und Hängebrücken. Durch die Höhe der Seilverspannung einerseits und die Art der Seilführung andererseits lässt sich die „Steifigkeit“ steigern.

Die Mehrzahl der Baukonstruktionen sind Stabwerke. Sie bestehen aus kontinuierlich mit Masse belegten dehn-, torsions-, biegesteifen Stäben (Balken, Träger). Ihrer Schwingungsanalyse kommt daher besonders große Bedeutung zu.

Im vorangegangenen Kapitel (Abschn. 9) wurden am massebehaft eten, schubstarren Euler-Bernoulli-Stab die Grundlagen der Stabwerksdynamik aufgezeigt. Hierbei waren zwei Komplexe zu bearbeiten.

Die Schwingungsanfälligkeit eines Tragwerkes steht mit seiner Steifigkeit und Massebelegung in direktem Zusammenhang: Je weicher und leichter die Struktur, umso eher ist damit zu rechnen, dass sich der statischen Beanspruchung eine dynamische infolge auftretender Schwingungen überlagert. Seil- und Stabtragwerke weisen gegenüber Flächen- und Körpertragwerken i. Allg. eine geringere Steifigkeit auf.

Bauwerke, insbesondere schlanke, turmartige, können durch Windeinwirkung zu Schwingungen angeregt werden. Die Ursache solcher Schwingungen kann sehr unterschiedlich sein. Hinsichtlich der aerodynamischen Schwingungsphänomene werden unterschieden

Auf der Erde, die vor ca. 4,5 Mrd. Jahren durch Akkretion, d. h. Absturz und Verklumpung von Planetesimalen, entstand, laufen seither unablässig dynamische Prozesse ab. Die kalte, feste Erdkruste bewegt sich in Form von Platten (Tafeln, Schollen) auf dem oberen Mantel, der ca. 600 km dick ist und aus Olivin und Spinell besteht, gefolgt vom unteren Mantel (Perowskit) und dem metallischen Kern, . Abb. 13.1. Der Radius der Erde betragt ca. 6400 km. Die Erdkruste mit den Kontinenten und Meeren ist 30 bis 100 km dick, man nennt sie Lithosphäre. Mit den Platten verschieben sich die Kontinente. An den Rändern gleiten die Platten aneinander und übereinander und tauchen in den heißen Mantel ab. An den klaffenden Fugen tritt Magma auf und bildet neue Lithosphäre.

Im Ergebnis muss jede baudynamische Untersuchung zwei Fragen beantworten:

Vibrationen pflanzen sich in festen, flüssigen und gasförmigen Medien in Form von Wellen, z. B. als Schall- oder Schwingungsenergie, fort. Die der Wellenfortpflanzung zugrunde liegende Physik hat in der Bautechnik im Schall-, Lärm- und Erschütterungsschutz auf der einen und in der Bauakustik auf der anderen Seite Bedeutung. Im ersten Falle geht es darum, die Lästigkeit störender Schall-, Lärmund Erschütterungsquellen aktiv oder passiv zu dämmen (Bauphysik), im anderen, die Hörbarkeit von Sprache und Musik in geschlossenen und offenen Räumen in definierter Weise zu beeinflussen (Bauakustik).

In der Schwingungstechnik kommen Feder- und Dämpfungselemente bzw. -materialien für die verschiedenartigsten Aufgaben zum Einsatz, insbesondere zur Schwingungs- und Stoßisolierung. Damit im Zusammenhang stehen Schutzmaßnahmen gegen Vibrationen aller Art, u. a. gegen Körperschall und Erschütterungen. Die Elemente erfüllen Aufgaben des Umweltschutzes. Bei den Federn werden Metall-, Elastomer- (Gummi-) und Luft federn unterschieden.

Abhängig von der Art der Einwirkung werden Maschinengründungen für periodische und aperiodische (stoßende) Erregung unterschieden. Maschinen mit periodischer Erregung sind Anlagen mit umlaufenden oder oszillierenden (hin- und hergehenden) Massen. Zu ersteren zählen Elektromotoren, Gas- und Dampft urbinen, Generatoren, Kompressoren (Verdichter), Pumpen, Gebläse, Zentrifugen, Werkzeugmaschinen, Prüfstände u. a. Oszillierende Massenkräft e werden in Benzin- und Dieselmotoren, ehemals in Dampfmaschinen, in Kolbenverdichtern sowie in Maschinen mit unwuchtiger Arbeitsweise, wie in Unwuchtförderern, Sieben, Druckereimaschinen und vergleichbaren Anlagen induziert.

Neben den im vorangegangenen Abschnitt behandelten Techniken zur aktiven und passiven Schwingungs- und Stoßisolation stellt die Dämpfertechnik eine weitere wirkungsvolle Maßnahme zur Schwingungsabwehr dar. Sie wurde im Maschinenbau entwickelt und wird inzwischen auch in der Bautechnik – nach anfänglicher Zurückhaltung – mit Erfolg eingesetzt. Gemeint sind jene Maßnahmen, bei denen an die zu bedämpfende Konstruktion eine zusätzliche Masse angekoppelt wird.

Für Fußgängerverkehr bestimmte Brücken kommen in den unterschiedlichsten Formen in Holz- , Stahl-, Aluminium- und Betonbauweise zur Ausführung. Da die anzusetzende Verkehrslast vergleichsweise gering ist, fallen Fußwegbrücken relativ leicht und schlank aus, was aus architektonischen Gründen meist erwünscht ist. Die Erfahrung zeigt, dass solche Brücken schwingungsanfällig sind, wenn deren Grundfrequenz näherungsweise mit der Schrittfrequenz des Menschen übereinstimmt.

Das Befahren einer Brücke ist ein instationärer dynamischer Vorgang, bewegen sich doch die mit Massenträgheit behaft eten Brückenbauteile und Fahrzeuge innerhalb der auft retenden Durchbiegungen auf und ab und ändern letztere fortlaufend ihre Stellung. Insbesondere bei Eisenbahnbrücken, bei denen das Verhältnis der Belastung zum Eigengewicht der Brücke hoch ist, kann dies zu erheblichen dynamischen Zusatzbeanspruchungen führen. Dies ist bereits seit den Anfängen des Eisenbahnbrückenbaus in der Mitte des 19.

Tritt in einem Tragwerk ein sprödbruchartiges Versagen eines Tragwerkteiles ein, so bedeutet das i. Allg. eine ernste Gefährdung der Tragsicherheit insgesamt. Grund des Versagens kann ein echter Sprödbruch sein (mehrachsiger Eigenspannungszustand, stoßartige Belastung, tiefe Temperatur), ein Bruch infolge Spannungsrisskorrosion oder ein Restbruch aus einem nicht entdeckten Ermüdungsriss heraus. Bei Schraubenverbindungen sind Brüche infolge Wasserstoffversprödung nach Feuerverzinkung bekannt geworden.

Seile und Seilkonstruktionen kommen in vielen Bereichen des Ingenieurwesens zur Anwendung. Aufgrund ihrer fehlenden Biegesteifigkeit sind sie in Verbindung mit ihrer geringen Masse häufig schwingungsanfällig. Einen Überblick über die historische Entwicklung von Seiltheorien gibt [1]. Im Folgenden werden die klassischen analytischen Verfahren zur Untersuchung von Seilschwingungen behandelt.

Unter turmartigen Bauwerken werden hier freistehende Schornsteine, Türme, Hochhäuser, Wolkenkratzer u. a. verstanden. Wind und in seismischen Zonen Erdbeben sind die maßgebenden Einwirkungen. Bei solchen Tragwerken handelt es sich um Sonderbauwerke. Sie werden sowohl statisch wie dynamisch mit numerischen Methoden berechnet.

Die Bodendynamik hat sich in den letzten Jahrzehnten zu einem eigenen Wissensgebiet herausgebildet. Einen Überblick geben monografische Darstellungen von Lorenz [1], Richart u. a. [2], Studer u. a. [3], Kramer [4], Wolf [5], Savidis [6] und Vrettos [7–9], sowie die Arbeiten [10-16].

Zentrale Aufgabe jeder Schwingungsuntersuchung ist die Berechnung der Eigenfrequenzen. Das läuft in vielen Fällen auf die Lösung transzendenter oder algebraischer Gleichungen hinaus, d. h. auf die Bestimmung ihrer Nullstellen (Wurzeln). Die Gleichungen sind von „nichtlinearem“ Typ wie beispielsweise.

Führen lineare baustatische oder baudynamische Probleme auf Gleichungssysteme höherer Ordnung, lassen sich diese mithilfe der Matrizenalgebra besonders übersichtlich und computerorientiert formulieren. Die folgende Formelsammlung enthält hierzu die wichtigsten Rechenregeln und eine Reihe von Prozeduren. Bezüglich Beweise und Erweiterungen wird auf die einschlägige Literatur verwiesen [1–10].

Im erstgenannten Falle lässt sich die zu differenzierende bzw. integrierende Funktion beliebig eng berechnen. Im zweitgenannten Falle ist das i. Allg. nur dann möglich, wenn die Funktion das Ergebnis einer numerischen Berechnung ist. Allerdings gibt es diesbezüglich Grenzen, die rechenzeitbedingt sind.

Wird ein dynamisches Problem von einer nichtlinearen Bewegungsgleichung oder von einem System solcher Gleichungen beherrscht, lassen sich hierfür i. Allg. keine analytisch-geschlossenen Lösungen angeben. Man ist dann auf numerische Lösungsalgorithmen für die kennzeichnende Differenzialgleichung bzw. das kennzeichnende Differenzialgleichungssystem angewiesen.

Die in den Bewegungsgleichungen auft retenden Beschleunigungsterme kennzeichnen die Trägheitswirkungen der an der Bewegung beteiligten Massen. Das ist eine unmittelbare Folge des Newton’schen Grundgesetzes. Es ist daher naheliegend, spezielle Integrationsformeln zu entwickeln, mittels derer die Geschwindigkeit aus der Beschleunigung und der Weg aus der Geschwindigkeit berechnet werden kann.

Wirkt auf ein schwingungsfähiges System eine äußere Erregung (Eingang, actio, input), antwortet das System mit Schwingungen (Ausgang, reactio, Output), Abb. 30.1. Sowohl actio wie reactio sind Funktionen der Zeit, z. B. Erregerkraft F = F (t ) und Schwingungen y = y(t ).

Eine Funktion f (x) soll im Intervall von x = a bis x = b durch eine andere Funktion g(x) angenähert werden.

Wie in Abschn. 31 gezeigt, lässt sich eine periodische Funktion x(t) mit der Periode T unter sehr allgemeinen Bedingungen in eine Fourier-Reihe entwickeln.

Handelt es sich bei der Zeitfunktion x = x(t) um eine analytisch nicht darstellbare Funktion, lässt sich die Fourier-Transformation nur numerisch bewerkstelligen. Voraussetzung ist, dass x(t) eine periodische Funktion ist (Abb. 33.1). Handelt es sich bei x(t) um eine aperiodische Funktion, gelingt nur eine Näherung, indem eine fiktive Periode T eingeführt wird.

Eine Reihe baudynamischer Fragestellungen lässt sich nur beantworten, wenn die die Schwingungen auslösenden Anregungen und Phänomene als Zufallsprozesse begriffen und behandelt werden. Deren mathematische Analyse fällt in das Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, speziell in das Gebiet der deskriptiven und analytischen Statistik [1–8]. Aufgabe der in der Wahrscheinlichkeitstheorie bereitgestellten Rechenanweisungen ist es, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines unsicheren Ereignisses, eben eines zufälligen, zahlenmäßig anzugeben. Der Typ der Zufallsgröße X ist entweder diskret oder kontinuierlich.