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2023 | OriginalPaper | Chapter

4. Effiziente risikobehaftete Portfolios

Author : Enzo Mondello

Published in: Finance: Investments

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Die meisten Investoren legen ihr Geld nicht in eine einzelne Anlage, sondern in einem Portfolio von Anlagen an. Dies lässt die Frage aufkommen, wie man die erwartete Rendite und das Risiko von Anlagekombinationen berechnet. Darüber hinaus ist zu bestimmen, welche risikobehafteten Portfolios hinsichtlich Renditeerwartung und Risiko am effizientesten sind. Die Portfoliotheorie von Markowitz zeigt, wie man die Effizienzkurve ermitteln kann, auf der die in Bezug auf Renditeerwartung und Risiko effizientesten risikobehafteten Portfolios liegen. Die Effizienzkurve wird anhand von Kapitalmarktdaten konstruiert, die verwendet werden, um die erwartete Rendite und die Standardabweichung der Renditen von einzelnen Anlagen sowie die Kovarianz bzw. Korrelation zwischen den Renditen von jeweils zwei Anlagenzu ermitteln.

In diesem Kapitel wird die Berechnung der erwarteten Rendite und des Risikos eines risikobehafteten Portfolios beschrieben. Danach wird gezeigt, wie die Effizienzkurve bestimmt werden kann. Das Kapitel endet mit einer Abhandlung über den Diversifikationseffekt und der Anzahl an Aktien, die für ein gut diversifiziertes Portfolio erforderlich ist.

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Vgl. Markowitz 1952: Portfolio selection, S. 77 ff. und Markowitz 1959: Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, S. 1 ff.

Vgl. Abschn. 1.9.

Besteht beispielsweise eine Stichprobe aus 100 Renditen, dann fällt jede Rendite mit einer gleichen Wahrscheinlichkeit von 1 % (= 1/100) an. Die Wahrscheinlichkeit (p_i) von 0,01 ist gleich 1/T bzw. 1/100.

Für die Berechnung des Risikos von einzelnen Anlagen vgl. Kap. 2.

Vgl. Miller 2012: Mathematics and Statistics for Financial Risk Management, S. 56.

Sind die Zufallsvariablen Renditen, dann ist die Einheit der Kovarianz Renditen zum Quadrat.

Vgl. Abschn. 2.2.

Vgl. Miller 2012: Mathematics and Statistics for Financial Risk Management, S. 56.

Ist der Korrelationskoeffizient 1, dann lässt sich Gl. 4.13 als Portfoliovarianz wie folgt schreiben: \( {\sigma}_{\mathrm{P}}^2={\mathrm{w}}_1^2{\sigma}_1^2+{\mathrm{w}}_2^2{\sigma}_2^2+2{\mathrm{w}}_1{\mathrm{w}}_2{\sigma}_1{\sigma}_2 \). Die Portfoliovarianz kann mithilfe der 1. binomischen Formel folgendermaßen umgewandelt werden: \( {\sigma}_{\mathrm{P}}^2={\left({\mathrm{w}}_1{\sigma}_1+{\mathrm{w}}_2{\sigma}_2\right)}^2 \). Wenn man mit der Wurzelfunktion die Varianz in die Standardabweichung umrechnet, gelangt man zu Gl. 4.14.

Ist der Korrelationskoeffizient −1, führt dies zu folgender Portfoliovarianz: \( {\sigma}_{\mathrm{P}}^2={\mathrm{w}}_1^2{\sigma}_1^2+{\mathrm{w}}_2^2{\sigma}_2^2-2{\mathrm{w}}_1{\mathrm{w}}_2{\sigma}_1{\sigma}_2 \). Die Portfoliovarianz kann wie folgt umgewandelt werden: \( {\sigma}_{\mathrm{P}}^2={\left({\mathrm{w}}_1{\sigma}_1-{\mathrm{w}}_2{\sigma}_2\right)}^2 \). Die vertikalen Betragsstriche in Gl. 4.17 bedeuten, dass das Portfoliorisiko nicht unter null fallen kann.

Das Gewicht der Anlage 1 (w₁) in Gl. 4.18 lässt sich wie folgt herleiten: Das Gewicht der Anlage 2 ist w₂ = 1 − w₁, da die Summe der Gewichte 1 ist. Setzt man in Gl. 4.17 1 − w₁ für w₂ ein und setzt die Gleichung gleich 0, so erhält man: w₁σ₁ − (1 − w₁)σ₂ = 0. Wird diese Gleichung nach w₁ aufgelöst, resultiert daraus Gl. 4.18.

Die Portfoliotheorie von Markowitz beruht auf der Annahme, dass sich die Marktteilnehmer risikoavers verhalten. Die Aktie der Mercedes-Benz Group AG besitzt im Vergleich zur Aktie der Linde AG aufgrund der höheren Standardabweichung von 7,53 % (Linde: 5,55 %) eine höhere erwartete Rendite von 0,64 % (Linde: 0,48 %). Siehe Tab. 4.1.

Eigentlich müsste man diesen Rendite-Risiko-Punkt als Minimum-Standardabweichung-Portfolio bezeichnen, da die Standardabweichung und nicht die Varianz ins Verhältnis zur erwarteten Rendite gesetzt wird. Vgl. Roy 1952: Safety first and the holding of assets, S. 431 ff.

Gl. 4.20 kann wie folgt hergeleitet werden: Zuerst wird die Formel für die Portfoliovarianz genommen \( {\sigma}_{\mathrm{P}}^2={\mathrm{w}}_1^2{\sigma}_1^2+{\mathrm{w}}_2^2{\sigma}_2^2+2{\mathrm{w}}_1{\mathrm{w}}_2{\rho}_{1,2}{\sigma}_1{\sigma}_2 \) und w₂ mit (1 − w₁) ersetzt. Danach wird die Gleichung nach w₁ abgeleitet und diese gleich 0 gesetzt. Wird die Gleichung nach w₁ aufgelöst, erhält man Gl. 4.20.

Für das Konzept der Risikoaversion vgl. Abschn. 5.2.1.

Im Vergleich zu Portfolio 2 ist die Anlagekombination 2′ in Abb. 4.3 nicht effizient und liegt demnach nicht auf der Effizienzkurve, weil bei einem gleichen Risiko die erwartete Rendite von Portfolio 2 größer ist.

Eine konkave Kurve ist immer dann gegeben, wenn eine Gerade durch zwei beliebige Punkte, die sich auf der Kurve befinden, unterhalb der Kurve verläuft. Ein konvexer Verlauf hingegen ist durch eine Gerade zwischen zwei Punkten gekennzeichnet, die oberhalb der Kurve liegt. Ein linearer Rendite-Risiko-Zusammenhang zwischen zwei Anlagen, also ein Korrelationskoeffizient von −1 und 1, ist sowohl konkav als auch konvex.

Vgl. D‘Ambrosio 1990: Portfolio Management Basics, S. 2–21.

Die Anlage mit der höchsten erwarteten Rendite liegt auf der Effizienzkurve. Möchte man diese Rendite in einem Long-Portfolio (also ohne die Möglichkeit, Short-Positionen in Anlagen einzugehen) erzielen, ist dies nur mit einer einzelnen Anlage realisierbar, die unter allen Finanzprodukten über die höchste erwartete Rendite verfügt. Aufgrund der Annahme der Risikoaversion besitzt diese Anlage auch das höchste Risiko.

Zum Beispiel: Verkauft man eine Aktie für EUR 100 leer und kauft das Papier zu einem späteren Zeitpunkt auf dem Markt für EUR 90, ergibt sich ein Gewinn von EUR 10. Fällt während der offenen Short-Position eine Dividende von EUR 2 an, reduziert sich der Gewinn auf EUR 8 (= EUR 10 − EUR 2).

Das Gewicht der Short-Position in Aktie A beträgt −1000 % (= − EUR 1000 / EUR 100), während das Gewicht der Long-Position in Aktie B bei 1100 % (= EUR 1100 / EUR 100) liegt. Die Summe der Gewichte ist 100 % (= −1000 % + 1100 %). Das Portfoliorisiko von 287,92 % lässt sich wie folgt berechnen:\( {\sigma}_{\mathrm{P}}=\sqrt{{\left(-10\right)}^2\times 0,{2}^2+{11}^2\times 0,{3}^2+2\times \left(-10\right)\times 11\times 0,5\times 0,2\times 0,3}=287,92\ \% \).

Anzahl Kovarianzen = 100 × (100 − 1) / 2 = 4950.

E(r)_max ist für ein Portfolio mit Long- und Short-Positionen in Anlagen unbegrenzt. Demzufolge muss die höchste erwartete Rendite arbiträr gewählt werden. Im Gegensatz dazu besitzt ein Portfolio bestehend aus Long-Anlagen eine maximale erwartete Rendite, die durch die risikobehaftete Anlage mit der höchsten erwarteten Rendite und Risiko gegeben ist.

Rendite-Risiko-Optimierungsverfahren, die auf Long-Anlagen beschränkt sind, verwenden neben der Lagrange-Methode den Kuhn-Tucker-Ansatz, um die zusätzliche Nebenbedingung von positiven Anlagegewichten (w_i ≥ 0) in den Algorithmen zu verarbeiten. Für mögliche Algorithmen zur Berechnung der Effizienzkurve vgl. Markowitz 1959: Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, S. 309 ff. Bei der Entwicklung der Portfoliotheorie besteht der Hauptverdienst von Markowitz in der Bestimmung der Effizienzkurve anhand von Renditeerwartungen, Standardabweichungen und Korrelationskoeffizienten (Diversifikation) sowie in der Berechnung der Effizienzkurve mit Algorithmen.

Strebt N gegen unendlich, dann geht der erste Term der Gl. 4.25 von \( \left(1/\mathrm{N}\right){\overline{\sigma}}^2 \)gegen 0, während der zweite Term von \( \left[\left(\mathrm{N}-1\right)/\mathrm{N}\right]\overline{C\ ov} \) gegen die durchschnittliche Kovarianz strebt. Folglich entspricht bei einer großen Anzahl an risikobehafteten Anlagen die Portfoliovarianz der durchschnittlichen Kovarianz.

Abb. 4.8 ist nur unter der Annahme gültig, dass das Risiko nicht additiv ist bzw. der Korrelationskoeffizient zwischen den Aktien unter 1 liegt und damit ein Diversifikationseffekt erreicht werden kann.

Die Kovarianz von zwei Zufallsvariablen ist der Korrelationskoeffizient multipliziert mit den Standardabweichungen der zwei Variablen. Die Annahme ist, dass alle Aktien die gleiche Standardabweichung der Renditen besitzen, sodass die durchschnittliche Kovarianz mit dem Korrelationskoeffizienten wie folgt berechnet wird: \( \overline{Cov}=\overline{\rho}{\overline{\sigma}}^2 \).

\( {\sigma}_{\mathrm{P}}^2={\overline{\sigma}}^2\left(\frac{1+\left(\mathrm{N}-1\right)\overline{\rho}}{\mathrm{N}}\right)={\overline{\sigma}}^2\left(\frac{1+\mathrm{N}\overline{\rho }-\overline{\rho}}{\mathrm{N}}\right)={\overline{\sigma}}^2\left(\frac{1-\overline{\rho}}{\mathrm{N}}+\frac{\mathrm{N}\overline{\rho }}{\mathrm{N}}\right)={\overline{\sigma}}^2\left(\frac{1-\overline{\rho}}{\mathrm{N}}+\overline{\rho}\right) \).

Vgl. DeFusco et al. 2004: Quantitative Methods for Investment Analysis, S. 607 ff.

Vgl. Abschn. 3.3.4.

Vgl. Evans und Archer 1968: Diversification and the reduction of dispersion: an empirical analysis, S. 761 ff.

Vgl. Statman 1987: How many stocks make a diversified portfolio?, S. 353 ff. Der kreditnehmende Anleger nimmt Geld zu einem bestimmten Zinssatz auf, um mehr als 100 % in ein Aktienportfolio zu investieren. Im Gegensatz dazu legt ein kreditgebender Investor ein Teil seines Geldes in erstklassige zinstragende Papiere an, während der verbleibende Teil in Aktien investiert wird.

Vgl. Spremann 2000: Portfoliomanagement, S. 155 f.

Vgl. z. B. Zisler 1990: Real Estate Portfolio Management, S. 10–52.

DeFusco, R.A., McLeavy, D.W., Pinto, J.E., Runkle, D.E.: Quantitative Methods for Investment Analysis, 2. Aufl. CFA Institute, Charlottesville (2004)

D’Ambrosio, C.A.: Portfolio Management Basics. In: Maginn, J. L., Tuttle, D. L. (Hrsg.): Managing Investment Portfolios: A Dynamic Process, 2. Aufl. Wiley, Boston/New York (1990)

Evans, J.L., Archer, S.H.: Diversification and the reduction of dispersion: An empirical analysis. Journal of Finance. 23(5), 761–767 (1968)

Ibbotson, R.G., Harrington, J.P.: Stocks, Bonds, Bills, and Inflation^® (SBBI^®) – 2021 Summary Edition. CFA Institute, Charlottesville (2021)

Markowitz, H.: Portfolio selection. Journal of Finance. 7(1), 77–91 (1952)

Markowitz, H.: Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. Wiley, New York (1959)

Miller, M.B.: Mathematics and Statistics for Financial Risk Management. Wiley, Hoboken (2012)

Roy, A.D.: Safety first and the holding of assets. Econometrica. 20(3), 431–439 (1952)CrossRef

Spremann, K.: Portfoliomanagement. Oldenbourg, München/Wien (2000)

Statman, M.: How many stocks make a diversified portfolio? Journal of Financial and Quantitative Analysis. 22(3), 353–363 (1987)CrossRef

Zisler, R.C.: Real Estate Portfolio Management. In: Maginn, J. L., Tuttle, D. L. (Hrsg.): Managing Investment Portfolios: A Dynamic Process, 2. Aufl. Wiley, Boston/New York (1990)

Title: Effiziente risikobehaftete Portfolios
Author: Enzo Mondello
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
Book: Finance: Investments
Print ISBN: 978-3-658-36803-6

Electronic ISBN: 978-3-658-36804-3

Copyright Year: 2023
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-36804-3_4