Einführung in Algebra und Zahlentheorie

In den Grundvorlesungen über lineare Algebra werden zur Zeit allgemeine algebraische Grundbegriffe in sehr unterschiedlichem Ausmaß behandelt. In diesem Kapitel werden deshalb die für das Weitere benötigten Grundlagen zusammengestellt. Im Einzelnen geht es um die Definitionen der Begriffe Gruppe, Ring und Körper sowie um den (abstrakten) Polynomring über einem beliebigen Körper.

Bevor wir mit der eigentlichen Zahlentheorie anfangen, werden wir in diesem Abschnitt die für unsere Zwecke wichtigsten Zahlenmengen, die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen vorstellen und die Darstellung dieser Zahlen in der Schrift und im Rechner betrachten.

In diesem Kapitel untersuchen wir die Teilbarkeitsrelation im Ring \({\mathbb{Z}}\) der ganzen Zahlen. Dabei stellt sich heraus, dass sich viele Eigenschaften der Teilbarkeit in \({\mathbb{Z}}\) bereits zeigen lassen, wenn man nur einen kleinen Teil der Struktur von \({\mathbb{Z}}\) voraussetzt; diese Eigenschaften können also auf viele andere Ringe übertragen werden, etwa auf Polynomringe in einer oder in mehreren Variablen. Deshalb beginnen wir mit den schwächsten Voraussetzungen, unter denen sich eine Teilbarkeitstheorie sinnvoll formulieren lässt, und betrachten zunächst Teilbarkeitstheorie in einem beliebigen kommutativen Ring mit Einselement, der nullteilerfrei ist (einem Integritätsbereich). Wir kehren dann wieder zu den natürlichen Zahlen zurück und untersuchen Primzahlen und den Fundamentalsatz der Arithmetik über die eindeutige Zerlegung einer beliebigen natürlichen Zahl in ein Produkt von Primzahlen bzw. Primzahlpotenzen.

In diesem Kapitel wird die Teilbarkeitstheorie vor allem in allgemeinen Hauptidealringen weiter entwickelt. Wir sehen zunächst, dass sich der von den ganzen Zahlen her bekannte Begriff des größten gemeinsamen Teilers auf sehr allgemeine Ringe verallgemeinern lässt und der Schlüssel für das Studium arithmetischer Fragen in Hauptidealringen ist. In denjenigen Hauptidealringen, in denen sich auch ein Analogon der Division mit Rest definieren lässt (den euklidischen Ringen), kann man darüber hinaus mit Hilfe des euklidischen Algorithmus viele Fragen \über Teilbarkeit und nach Lösungen von linearen Gleichungen algorithmisch lösen. Insbesondere erhalten wir Ergebnisse über Lösungen linearer diophantischer Gleichungen, also über ganzzahlige Lösungen linearer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten.

In diesem Kapitel geht es zunächst um Aussagen über ganze Zahlen, die man dadurch erhält, dass man statt mit den Zahlen selbst mit den Resten rechnet, die diese bei Division durch ein festes \(m\in{{\mathbb{N}}}\) lassen. Will man Analoga dieser Ideen für allgemeine kommutative Ringe formulieren und beweisen, wird man auf den Begriff des Ideals in einem Ring sowie auf das Rechnen in Restklassenringen geführt. Zentrale Sätze sind der Homomorphiesatz für Ringe sowie der chinesische Restsatz über Lösungen von Systemen simultaner Kongruenzen. In einem ergänzenden Abschnitt wird der Ring \(m\in{{\mathbb{Z}}}\)[i] der ganzen Gauß’schen Zahlen behandelt und mit seiner Hilfe das Problem gelöst, welche ganzen Zahlen Summen von zwei Quadraten sind.

Dieses Kapitel ist den Grundlagen der Gruppentheorie gewidmet. Wir behandeln Gruppen, Untergruppen, zyklische Gruppen, Normalteiler, Nebenklassen, Faktorgruppen, Homomorphiesatz und Isomorphiesätze, direktes und semidirektes Produkt. Kompositionsreihen und der Satz von Jordan-Hölder werden in einem ergänzenden Abschnitt behandelt. Die Sätze über zyklische Gruppen in diesem Kapitel sind später die Grundlage für die Behandlung der primen Restklassengruppe. Da es keinen einheitlichen Standard dafür gibt, wie viel Gruppentheorie in der Grundvorlesung über lineare Algebra behandelt wird, beginnen wir sicherheitshalber noch einmal mit der Definition einer Gruppe und wiederholen hier auch das, was wir im Kapitel 0 bereits über Gruppen aufgelistet haben.

Der in diesem Kapitel behandelte Begriff der Operation einer Gruppe auf einer Menge formalisiert das Auftreten von Gruppen in verschiedenen Bereichen der Mathematik als Mengen der Symmetrien irgendwelcher mathematischen Objekte. Mit Hilfe der Begriffe Bahn und Stabilisator können gruppentheoretische Methoden insbesondere für konzeptionell begründete Zählverfahren (Bahnformel, Bahnengleichung, Klassengleichung) eingesetzt werden. In einem ergänzenden Abschnitt benutzen wir diese Methoden für die Theorie der Sylowgruppen.

Während die Klassiffkation (also die explizite Au

istung aller Isomorphietypen) beliebiger Gruppen selbst im Fall endlicher Gruppen eine praktisch unlösbare Aufgabe ist, können wir die Möglichkeiten für den Isomorphietyp einer abelschen Gruppe recht einfach bestimmen, wenn wir uns auf endlich erzeugte abelsche Gruppen beschränken. Der Beweis des entsprechenden Satzes (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen) für endliche Gruppen ist das erste Hauptergebnis dieses Kapitels. Eine allgemeinere Version hiervon ist der ganz analoge Satz über die Struktur von Moduln über Hauptidealringen und deren Untermoduln, der auch als Elementarteilersatz bekannt ist, er wird in einem ergänzenden Abschnitt behandelt und in einem weiteren ergänzenden Abschnitt für den bekannten eleganten Beweis der Sätze der linearen Algebra über die Jordan’sche Normalform und über rationale Normalformen von Endomorphismen von Vektorräumen benutzt. Ebenfalls in diesem Kapitel wird die Charaktertheorie der endlichen abelschen Gruppen und mit ihrer Hilfe die Theorie der diskreten Fouriertransformation behandelt.

Dieses Kapitel behandelt einige zentrale Ergebnisse der elementaren Zahlentheorie. Nach dem grundlegenden Satz von Fermat und Euler (auch kleiner Fermat’scher Satz genannt) und seiner Anwendung in der public-key Kryptographie wird untersucht, für welche natürlichen Zahlen m die multiplikative Gruppe der zu m primen Reste modulo m zyklisch ist. Für solche m wird dann die Theorie der Potenzreste näher behandelt, der allgemeine Fall kann darauf mit Hilfe des chinesischen Restsatzes zurückgeführt werden. Besonders wichtig und auch besonders schön ist die Theorie der quadratischen Reste; wir formulieren und beweisen das quadratische Reziprozitätsgesetz. Ein ergänzender Abschnitt behandelt Anwendungen dieser Theorie auf Primzahltests.

In diesem Kapitel behandeln wir die Theorie der Körper und der Körpererweiterungen. Insbesondere geht es um algebraische Konstruktionen (im Gegensatz zu den analytischen Konstruktionen der Körper der reellen und der komplexen Zahlen) für Erweiterungskörper eines Grundkörpers K, in denen eine vorgelegte Polynomgleichung f(X) = 0 mit Koeffzienten im Körper K eine Nullstelle besitzt oder gar vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Diese Konstruktionen funktionieren dann auch über anderen Grundkörpern als dem Körper ℚ der rationalen Zahlen, insbesondere über den endlichen Körpern 𝔽p = ℤ/pℤ für eine Primzahl p. Sie ermöglichen zudem exakte Rechnungen für Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffzienten oder mit Koeffzienten in einem endlichen Körper, etwa dem Körper 𝔽p. In einem ergänzenden Abschnitt behandeln wir die Anwendung der Körpertheorie auf das klassische Problem der Konstruktion mit Zirkel und Lineal (Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels, Konstruktion des regelmäßigen n-Ecks).

Endliche Körper treten sowohl in der Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie als auch in den Anwendungen der Algebra für Fragen der diskreten Mathematik häufig auf. Wir zeigen, dass es für jede Potenz q einer Primzahl bis auf Isomorphie genau einen Körper mit q Elementen gibt und untersuchen die möglichen Erweiterungen endlicher Körper und ihre Automorphismengruppen. Ferner geht es um die Frage, wie viele irreduzible normierte Polynome eines gegebenen Grades es über einem endlichen Körper gibt. Als zahlentheoretische Anwendung dieser Theorie ergibt sich ein weiterer Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze. Ein ergänzender Abschnitt behandelt Anwendungen in der Theorie der fehlerkorrigierenden Codes.

In diesem Kapitel geht es darum, handhabbare Kriterien für das Testen von Polynomen auf Irreduzibilität und für ihre Zerlegung in irreduzible Faktoren zu finden. Insbesondere führen wir das Problem für Polynome mit rationalen Koeffzienten mit Hilfe des Gauß’schen Lemmas auf ganzzahlige Polynome zurück und beweisen das Kriterium von Eisenstein. Algorithmen zur Faktorzerlegung über einem endlichen Körper sind das Thema eines ergänzenden Abschnitts.

Die Theorie von Galois, deren Grundzüge in diesem ergänzenden Kapitel dargestellt und an Beispielen erläutert werden, zeigt, dass die für endliche Körper im vorigen Kapitel festgestellte bemerkenswerte Korrespondenz zwischen Zwischenkörpern einer Körpererweiterung einerseits und Untergruppen der Automorphismengruppe andererseits auch für gewisse endliche Körpererweiterungen L/K beliebiger Körper besteht. Historisch kam die Behandlung der Erweiterungen von ℚ vor der Einführung und Behandlung endlicher Körper. Diese Beschreibung verdankt ihre Wichtigkeit der Tatsache, dass häufig die Bestimmung der Untergruppen der Automorphismengruppe (schon alleine wegen ihrer Endlichkeit) leichter als die Bestimmung der Zwischenkörper ist, und man sich daher auf dem Umweg über das Studium der Untergruppen der Automorphismengruppe einen Überblick über die Zwischenkörper der Erweiterung verschaffen kann. Als Beispiel dafür beweisen wir, dass das im vorigen Kapitel hergeleitete notwendige Kriterium für die Konstruierbarkeit des regelmäßigen n-Ecks auch hinreichend ist. Der fundamentale Satz über die Nichtauflösbarkeit der allgemeinen Gleichung vom Grad 5 oder höher bleibt einer vertiefenden Algebra-Vorlesung vorbehalten. Schon der Stoß dieses Kapitels wird meist nicht in eine einsemestrige einführende Vorlesung nach dem Konzept dieses Buches passen; er dient hier mehr dazu, interessierte LeserInnen neugierig auf mehr zu machen.