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About this book

Das Buch ist an der Schnittstelle zwischen linearer Algebra und rechnerischer Geometrie angesiedelt. Einerseits werden die klassischen Geometrien (euklidisch, affin, projektiv, nicht-euklidisch) mit Mitteln der linearen Algebra behandelt. Andererseits werden grundlegende Strukturen der rechnerischen Geometrie (Splinekurven, Mittelachsen, Triangulierungen) und algorithmische Methoden diskutiert. Der Schwerpunkt liegt dabei auf den geometrischen Eigenschaften, gleichzeitig werden auch relevante algorithmische Konzepte vorgestellt. Zahlreiche Übungsaufgaben (mit Lösungshinweisen) ergänzen die Darstellung.

Das Buch eignet sich für Studierende aus den Fachrichtungen Mathematik, Informatik, Maschinenbau, Bauingenieurwesen und verwandter Studiengänge ab dem zweiten Semester. Es kann als Lehrbuch verwendet werden oder als ergänzende Literatur für Grundvorlesungen über angewandte Geometrie, analytische Geometrie, rechnerische Geometrie (Computational Geometry) sowie Computer Aided Geometric Design.

Table of Contents

Frontmatter

1. Koordinaten und Transformationen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel führen wir verschiedene Arten von Koordinaten ein, die wir zur Beschreibung geometrischer Objekte verwenden werden. Wir leiten erste geometrische und kombinatorische Resultate über Konfigurationen von Punkten und Geraden in der Ebene her. Abschließend stellen wir die geometrischen Transformationsgruppen vor, die der euklidischen, der affinen und der projektiven Geometrie zugrunde liegen.
Oswin Aichholzer, Bert Jüttler

2. Euklidische Geometrie

Zusammenfassung
Euklidische Geometrie ist die anschaulichste Geometrie, da sie sich direkt mit den Eigenschaften von Objekten im Anschauungsraum beschäftigt. Neben der Untersuchung der Eigenschaften geometrischer Transformationen (Bewegungen und Ähnlichkeiten) in dieser Geometrie werden wir uns mit einer Konstruktion für aus Kreisbögen zusammengesetzten Spline-Kurven sowie mit Mittelachsen, Delaunay-Triangulierungen und Voronoi- Diagrammen auseinandersetzen.
Oswin Aichholzer, Bert Jüttler

3. Affine Geometrie

Zusammenfassung
Eine erste Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie, bei der man auf die Orthogonalität der Transformationsmatrix verzichtet, führt auf den Begriff der affinen Geometrie. Eine wichtige invariante Eigenschaft in dieser Geometrie betrifft die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes bezüglich eines Simplexes (Dreieck oder Tetraeder für d = 2 oder 3) und das Teilverhältnis. Beide Begriffe besitzen Anwendungen bei der Konstruktion und Beschreibung von polynomialen Kurven, die ein wichtiges Werkzeug im Computer Aided Design (CAD) darstellen. Zum Abschluss dieses Kapitels werden Algorithmen zur Berechnung der konvexen Hülle einer Menge von Punkten vorgestellt.
Oswin Aichholzer, Bert Jüttler

4. Projektive Geometrie

Zusammenfassung
Die projektive Geometrie entstand als Verallgemeinerung der affinen und der euklidischen Geometrie, insbesondere im Zusammenhang mit der perspektivischen Darstellung dreidimensionaler Objekte des Anschauungsraums in der Ebene. Sie erlaubt es, die anderen Geometrien als Spezialfälle zu behandeln. Dieses Kapitel behandelt die Invarianten der projektiven Geometrie, beschreibt die Darstellung rationaler Kurven sowie die Klassifizierung der Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung und geht abschließend darauf ein, wie sich andere Geometrien (sowohl die bereits bekannte affine Geometrie und euklidische Geometrie als auch weitere, nichteuklidische Geometrien) durch Einschränkungen der projektiven Abbildungsgruppe gewinnen lassen.
Oswin Aichholzer, Bert Jüttler

5. Weiterführendes und Anhänge

Zusammenfassung
Zahlreiche Themen konnten in diesem kompakten Lehrbuch nur kurz angerissen werden. Zum Abschluss stellen wir hier einige Hinweise auf weiterführende Bücher (vor allem Lehrbücher) zusammen, insbesondere im Hinblick auf die verschiedenen Anwendungsgebiete der Geometrie.
Oswin Aichholzer, Bert Jüttler

Backmatter

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