Skip to main content
main-content
Top

About this book

Dieses Buch beruht auf Vorlesungen über lineare Algebra und analytische Geometrie, die ich jeweils in zweisemestrigen Kursen an den Universitäten Freiburg und Dortmund für Mathematiker, Physiker, Informatiker und Statistiker gehalten habe. Der Umfang ent­ spricht ungefähr dem Inhalt des ersten Semesters. Mit dem vorliegenden Text soll aber nicht nur das formale Fundament für den zweiten Teil gelegt werden, vielmehr erscheint es mir vernünftig, eine Einführung in das gesamte Gebiet zu geben und dabei gleich wesentliche Probleme der linearen Algebra anzupacken. Deshalb ist dieses Buch nicht nur für Mathematikstudenten des Diploms und des Lehramtes geeignet, sondern ebenso für Nichtmathematiker, die ihre Ausbildung in linearer Algebra in einem Semester absolvieren müssen und trotzdem einen etwas größeren Einblick erhalten sollen. Auch zum Selbst­ studium dürfte sich der Band gut benützen lassen. Wie soll man Mathematik lernen? Dafür gibt es kein Patentrezept, aber eines kann man sagen: Mathematik lernt man am besten kennen, indem man sie betreibt; das Betreiben aber ist eng mit dem Interesse verbunden. Ich habe deswegen immer versucht, den Leser zur eigenen, teilnehmenden Beschäftigung mit der Mathematik anzuregen, einerseits durch die Vorführung vieler Beispiele, andererseits durch einen Aufbau der Theorie, der von einfachen, konkreten Fragen ausgeht und möglichst direkt zu zentralen Themen gelangt. Gestartet wird hier mit dem expliziten Lösen linearer Gleichungssysteme, das ohnehin in der Praxis ständig gebraucht wird. Am Ende des Weges steht die 10rdansche Normalform, also die Feinstruktur der linearen Selbstabbildungen.

Table of Contents

Frontmatter

0. Orientierung

Zusammenfassung
Ein zentrales Problem in der Mathematik ist das Lösen von Gleichungen. Hier geht es speziell um lineare Gleichungssysteme. Die Rechenregeln für reelle Zahlen werden im Augenblick als bekannt vorausgesetzt. Sie werden aufgrund der Körpereigenschaften in der Analysisvorlesung entwickelt; systematisch gehen wir etwas später hierauf ein. Wenn im vorliegenden Abschnitt 0.1 von Zahlen die Rede ist, kann sich der Leser darunter immer reelle Zahlen vorstellen, obwohl die bewiesenen Sätze allgemeiner für Elemente eines kommutativen Körpers gültig bleiben. Zunächst orientieren wir uns an einigen Beispielen.
Rolf Walter

1. Einige Grundstrukturen der Algebra

Zusammenfassung
Wir beginnen jetzt mit dem systematischen Aufbau. Dabei gehen wir im wesentlichen axiomatisch vor, d. h. es werden jeweils gewisse Grundregeln vorgegeben und aus diesen Folgerungen gezogen. Auf diese Weise entstehen die verschiedenen Strukturen der Mathematik. Das Ziehen von Folgerungen, das Beweisen, geschieht auf rein logischem Wege. Die naive Anschauung ist dafür kein sicheres Fundament. Deshalb können intuitive Argumente in einem mathematischen Beweis keinen Platz haben, sie stellen jedoch oft ein wesentliches Hilfsmittel dar, um Beweisideen ausfindig zu machen.
Rolf Walter

2. Vektorräume

Zusammenfassung
Die zentrale Struktur der linearen Algebra ist der Vektorraum. Ein Beispiel dafür haben wir bereits kennengelernt, nämlich den R n , dessen Grundregeln im Satz A [0.1.8] aufgeschrieben sind. Diese dort beweisbaren Regeln werden nunmehr als Axiome verwendet. Dabei wird in zwei weiteren Richtungen verallgemeinert: Einmal sind statt reeller Zahlen die Elemente eines beliebigen Körpers als „Skalare“ zugelassen, zum zweiten wird vorerst keine Einschränkung über die „Dimension“ gemacht.
Rolf Walter

3. Lineare Abbildungen

Zusammenfassung
Mittels linearer Abbildungen lassen sich Vektorräume hinsichtlich ihrer linearen Struktur vergleichen. In der Analysis sind lineare Abbildungen die einfachsten Abbildungen, durch die man kompliziertere Funktionen annähern kann.
Rolf Walter

4. Determinanten

Zusammenfassung
Im ganzen Kapitel bezeichne V einen K-Vektorraum der endlichen Dimension n ≧ 1.
Rolf Walter

5. Reelle Räume mit Skalarprodukt

Zusammenfassung
Die Vektorräume, die in den Anwendungen und in anderen Gebieten der Mathematik auftreten, besitzen meistens eine Zusatzstruktur metrischer oder topologischer Natur, so daß man Längen oder Umgebungen von Vektoren zur Verfügung hat (was in einem „nackten“ Vektorraum nicht der Fall ist). Wir behandeln hier die Zusatzstruktur „Skalarprodukt“. Euklidische Vektorräume, die in 0.3 motiviert wurden, sind z. B. reelle Vektorräume mit einem positiv definiten Skalarprodukt.
Rolf Walter

6. Eigenwerte und Jordansche Normalform

Zusammenfassung
Eigenwerte und Eigenvektoren sind erste Stufen zur Einsicht in die Feinstruktur eines einzelnen linearen Operators.
Rolf Walter

Backmatter

Additional information