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About this book

Die Mengenlehre ist eine eigenständige mathematische Disziplin. Zugleich ist sie eine Grundlagendisziplin, die für alle mathematischen Gebiete ein begriffliches Gerüst bereithält. In dieser Universalität offenbart sich eine große Tragweite des Mengenbegriffs und seiner Axiomatisierung. Die vorliegende Einführung gibt daher nicht nur einen Einblick in die Theorie und belegt deren Bedeutung für die Mathematik, sie behandelt auch Methoden und Ergebnisse, die auf eine möglichst weitgehende Rechtfertigung der mengentheoretischen Axiomsysteme zielen. Geschichtliche und erkenntnistheoretische Betrachtungen runden das Bild ab.

Das Buch setzt keine spezifischen mathematischen Kenntnisse voraus. Es richtet sich an alle, die an den Grundlagen der Mathematik interessiert und mit Gedankengängen mathematischer Prägung vertraut sind. Rund 200 Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen bieten eine zusätzliche Hilfe, insbesondere dann, wenn man das Buch zur eigenständigen Erarbeitung des dargebotenen Stoffes nutzen möchte.

Die Neuauflage ist vollständig durchgesehen und enthält jetzt eine systematische Behandlung der konstruktiblen Hierarchie, die Beweise der relativen Widerspruchsfreiheit des Auswahlaxioms und der Cantorschen Kontinuumshypothese erlaubt.

Table of Contents

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Ziel dieses Kapitels ist es, den Einstieg in die Mengenlehre vorzubereiten, den dabei eingeschlagenen Weg zu motivieren und den Blick für die Tragweite unseres Unterfangens zu schärfen. Den Ausgangspunkt unserer Betrachtungen bildet der naive Mengenbegriff. Seine Analyse in §1 führt in Kapitel III zu den ersten Axiomen.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 2. Der Rahmen der Darstellung

Zusammenfassung
Bei der Entwicklung der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre lassen wir uns, Zermelo folgend, von einer typenfreien Mengenvorstellung leiten. Wir unterscheiden also nicht zwischen Mengen verschiedenen Typs oder verschiedener Stufe. Im Sinne dieser Auffassung ist es nur konsequent und fördert es die begriffliche Einfachheit weiter, wenn wir auch die Urelemente als Mengen auffassen, also diejenigen Objekte der Mathematik wie etwa Zahlen oder Punkte, die wir intuitiv nicht von vornherein als Mengen ansehen.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 3. Das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem

Zusammenfassung
Wir wollen im Folgenden das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem der Mengenlehre vorstellen. Um eine erste Vertrautheit mit den Axiomen zu vermitteln, verbinden wir ihre Einführung mit einigen einfachen Folgerungen. Kommentare inhaltlicher Natur sollen den Blick für das Konzeptionelle schärfen und die eingehende Diskussion in den letzten Kapiteln vorbereiten.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 4. Relationen und Funktionen

Zusammenfassung
Im Anschluss an die Formulierung des Extensionalitätsaxioms haben wir dargelegt, dass in unserem Universum kein Platz für Urelemente ist und dass wir daher, möchten wir mathematische Fragestellungen behandeln, nicht umhin kommen, für die Urelemente der Mathematik wie die natürlichen oder die reellen Zahlen, aber auch für die übrigen Objekte wie Eigenschaften, Funktionen oder Strukturen, einen adäquaten mengentheoretischen Ersatz zur Verfügung zu stellen. Wir wollen das in diesem Kapitel für einige Begriffe im Umfeld von Relationen und Funktionen tun, im nächsten Kapitel dann für die natürlichen Zahlen und, stürker gerafft, für die restlichen Zahlbereiche.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 5. Natürliche Zahlen und Zahlbereiche

Zusammenfassung
Bislang haben wir auf der in Kapitel III geschaffenen axiomatischen Basis eine Reihe geläufiger mathematischer Begriffe definiert. Zugleich haben wir damit einen bescheidenen Teil des Rüstzeugs bereitgestellt, das für Untersuchungen in der Mengenlehre selbst unerlässlich ist. Beiden Gesichtspunkten dient in besonderer Weise eine mengentheoretische Formulierung des Zahlbegriffs, der wir uns jetzt zuwenden.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 6. Fundierte Strukturen und Ordinalzahlen

Zusammenfassung
Die Ordnung (ω, \(\varepsilon \)ω) genügt dem Prinzip vom kleinsten Element: Jede nicht leere Teilmenge von ω besitzt eine kleinste Zahl (vgl. Satz V.1.10). Diese Eigenschaft steht in enger Beziehung zu der Möglichkeit, induktive Beweise zu führen und rekursive Definitionen zu rechtfertigen. Wir stellen solche Möglichkeiten jetzt in einem allgemeineren Rahmen bereit.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 7. Rekursionen und Fundiertheit

Zusammenfassung
Im vorangehenden Kapitel haben wir eine Reihe von Möglichkeiten kennengelernt, induktiv Beweise zu führen. Ihnen stellen wir in diesem Kapitel Methoden zur Seite, induktiv oder rekursiv Funktionen und Operationen zu definieren. Zunächst wenden wir uns Funktionen zu, dann Operationen.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 8. Das Auswahlaxiom

Zusammenfassung
Motiviert durch die Frage nach der Existenz von Repräsentantensystemen für Äquivalenzrelationen haben wir in III. 7 das Auswahlaxiom AC folgendermaßen formuliert.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 9. Mächtigkeiten

Zusammenfassung
In Definition V.3.6 haben wir den endlichen Mengen eine Mächtigkeit zugewiesen, nämlich die eindeutig bestimmte natürliche Zahl, zu der sie gleichmächtig sind. Im vorliegenden Kapitel dehnen wir diese Betrachtungen auf beliebige Mengen aus, indem wir die Mächtigkeit unendlicher Mengen durch geeignete unendliche Ordinalzahlen messen. Den Schlüssel dazu liefert das Auswahlaxiom, stellt es doch sicher, dass jede Menge zu einer Ordinalzahl gleichmächtig ist.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 10. Das Universum als kumulative Hierarchie

Zusammenfassung
Bereits in I. 4 haben wir erwähnt, dass die Widerspruchsfreiheit von ZFC nicht bewiesen werden kann. Im nächsten Kapitel werden wir uns diesem Problem genauer zuwenden. Angesichts der Bedeutung, die der Mengenlehre im Gefüge der mathematischen Theorien zukommt, enthebt uns die grundsätzliche Unmöglichkeit eines Widerspruchsfreiheitsbeweises jedoch nicht der Aufgabe, ZFC, wenn nicht vollständig, so doch möglichst weitgehend zu rechtfertigen. Hierzu bieten sich mehrere Wege an.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 11. Metamathematische Fragestellungen

Zusammenfassung
Zu Beginn unserer Betrachtungen haben wir in I. 4 unsere Erwartungen an einen axiomatischen Aufbau der Mengenlehre in die folgenden vier Fragen gekleidet.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 12. Anhang: Zum Verhältnis von ZF und NBG

Zusammenfassung
In I. 3 sind wir im Zusammenhang mit der Russellschen Antinomie kurz auf die von Neumann-Bernays-Gödelsche (Klassen-)Mengenlehre NBG eingegangen. Wir präzisieren in diesem Kapitel den bereits dort erwähnten Sachverhalt, dass die Systeme ZF und NBG in bezug auf Mengen von gleicher Stärke sind, und beweisen ihn so weit, wie es mit den uns zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln möglich ist. Zuvor geben wir die NBG-Axiome explizit an und zeigen, dass es zu NBG im Gegensatz zu ZF ein gleich starkes endliches Axiomensystem gibt.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

Kapitel 13. Hinweise zur Lösung der Aufgaben

Zusammenfassung
Die Vorschläge sind von unterschiedlicher Art: Bei manchen Aufgaben wird die Lösung nur angedeutet oder angegeben; bei anderen, insbesondere bei solchen, auf die im Haupttext zurückgegriffen wird, sind die Argumentationen von einer Ausführlichkeit, die der des Haupttextes nahekommt. Einige wenige Aufgaben, vornehmlich solche, deren Lösung auf der Hand liegt oder der Lösung der vorangehenden Aufgabe ähnlich ist, sind unberücksichtigt geblieben.
Heinz-Dieter Ebbinghaus

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