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Table of Contents

Frontmatter

1. Einleitung, Grundbegriffe

Zusammenfassung
Regeln heißt, eine gegebene Vorschrift so gut wie möglich trotz Störungen einzuhalten. Dazu wird die zu regelnde physikalische Größe (Regelgröße) eines Systems fortlaufend gemessen und mit der Führungsgröße (Vorschrift → Sollwert) verglichen. Tritt eine Abweichung zwischen der Regel- und der Führungsgröße auf, wird das System durch die Regelung so beeinflußt, daß es zu einem Angleichen der gestörten Regelgröße (Istwert) an die Führungsgröße (Sollwert) kommt.
Jochem Unger

2. Stationäres Verhalten

Zusammenfassung
Nach Auftreten einer Störung z ist der Regelvorgang stets beendet, wenn am Vergleicher (Bild 4) wieder
$$ {X_a} = \sum {{X_{{e_i}}}} = 0$$
(2.1)
gilt. Vom Regler wird dann kein Stellsignal ausgesendet. Das Stellglied bleibt in Ruhe, es herrscht Gleichgewicht. Dieses stationäre oder statische Verhalten ist immer zu beobachten, wenn die statische Gleichgewichtsbedingung (2.1) erfüllt ist. Im einfachsten Fall stehen sich dabei zwei Effekte gegenüber, die sich gerade kompensieren.
Jochem Unger

3. Zeitverhalten

Zusammenfassung
Es wird nun das zeitliche Verhalten von Regelkreisgliedern (Regelstrecken, Regler, Untersysteme) untersucht. Zu diesem Zweck denken wir uns theoretisch oder experimentell Störungen auf diese Systeme aufgeschaltet. Verwendet man immer das gleiche Störsignal, erzeugen die verschiedensten zu untersuchenden Systeme wohl zugeordnete Ausgangssignale (Antworten), die systembedingte Eigenschaften offenbaren und somit eine Klassifizierung (Ordnung) dieser Systeme gestatten. Wir wählen als Teststörung eine zeitlich sprunghafte Veränderung (Bild 37). Diese Teststörung läßt in den meisten Anwendungsfällen eine mathematisch einfache Behandlung zu und ist andererseits für einen Regler gleichzeitig der extremste Störfall. Den Systemtest können wir uns einfachheitshalber auch ditekt durch eine entsprechende Änderung der Eingangsgröße xe vorgenommen denken. Die Reaktion oder Antwort xa(t) eines Systems auf solch einen Eingangssprung von xe(t<0)=0 auf xe(t>O)=xo nennen wir Sprungantwort. Insbesondere aufgrund des asymptotischen Verhaltens xa =xa(t→∞) können alle Systeme in zwei Oberklassen eingeordnet werden. Entweder bleibt die Sprungantwort (Bild 38) für große Zeiten t→∞ beschränkt (I:xa,<) oder sie wächst über alle Grenzen an (I:xa,<). Im Fall I läuft die Sprungantwort asymptotisch gegen einen konstanten, nach oben begrenzten Wert. Systeme mit diesem Verhalten haben wir bereits in Abs.2 kennengelernt und das vorliegende Verhalten mit dem Merkmal “Selbstregelungseigenschaft” gekennzeichnet. Wir sprechen hier auch von Systemen mit Ausgleich. Bei fehlendem Ausgleich dagegen driftet die Antwort xa(t) mit wachsender Zeit t ungehemmt ab. In diesem Fall II haben wir es mit Systemen ohne Selbstregelungseigenschaft zu tun, die auch als Systeme ohne Ausgleich bezeichnet werden. Gerätetechnisch gibt es natürlich immer einen Anschlag. Dies ist aber keine systemspezifische Begrenzung, denn beim Wegrücken des Anschlags läuft ein System ohne Ausgleich weiter. Obwohl auch unsere weiteren Überlegungen zur Klassifizierung letztlich für beliebige Regelkreisglieder gültig sind, betrachten wir exemplarisch zunächst allein Regelstrecken.
Jochem Unger

4. Stabilität

Zusammenfassung
Ein Regelkreis ist nur brauchbar, wenn er sich stabil verhält. Wie be- reits in Abs.3.2.3 diskutiert, ist dies nur möglich, wenn die Eigenwerte λn des Regelkreises ausschließlich in der linken, schraffierten Halb-ebene nach Bild 112 liegen, die Realteile dieser Eigenwerte stets negativ sind. Dabei sind die Eigenwerte λn die Lösungen der charakteristischen Gleichung oder auch Stabilitätsgleichung, die der Dgl. des Regelkreises zugeordnet ist, die man mit dem wirksamen eλt-Ansatz erhält. Bisher sind wir stets auf charakteristische Gleichungen in Polynomform gestoßen. Dies ändert sich, wenn auch Systeme mit Totzeit Tt zugelassen werden. Es taucht dann ein Exponentialterm e−λTt auf, so daß die charakteristische Gleichung transzendent wird. Damit wird das bekannte Hurwitz-Kriterium unbrauchbar, das nur für Stabilitätsgleichungen in Polynomform gilt. Wir verwenden deshalb im folgenden das in der Regelungstechnik übliche Nyquist-Kriterium, das Totzeitanteile zuläßt und ohne große Rechnung Stabilitätsaussagen ermöglicht. Eine detaillierte Kenntnis der λ-Werte ist auch gar nicht vonnöten, denn es genügt letztlich eine Aussage, die sicherstellt, daß keine Eigenwerte des Regelkreises mit positiven Realteilen existieren. Um eine solche Stabilitätsaussage (Abs.4.2) formulieren zu können, werden noch einige Hilfsmittel benötigt, die jetzt bereitgestellt werden.
Jochem Unger

5. Reglerwahl, Streckenidentifikation, Reglereinstellung

Zusammenfassung
Prinzipiell ist nicht jeder Regler mit jeder Regelstrecke verträglich. Bei der Reglerwahl müssen diejenigen Fälle von vornherein ausgeschlossen werden, die zur Strukturinstabilität neigen. Ein typisches Beispiel hierfür ist die Unverträglichkeit zwischen einem I-Regler und einer I-Strecke. Am unproblematischsten ist die Verwendung eines PI-Reglers, da dieser aufgrund des P-Anteils schnell anspricht und die Regelabweichung mit Hilfe des I-Anteils ohne Stabilitätsverlust zum Verschwinden gebracht werden kann. Bei Verwendung eines PID-Reglers kann das Regelergebnis noch verbessert werden. Dies wird jedoch nur erreicht, wenn die Verstärkung des P-Anteils und die Zeitkonstanten des I- und D-Anteils richtig aufeinander abgestimmt sind (s.Gegenbeispiel → Abs.3.2.3). Der klassische PID-Regler ist universell genug, um die überwiegende Anzahl der in der Praxis anstehenden Regelprobleme zufriedenstellend lösen zu können. In den meisten Anwendungsfällen (Strecke mit entsprechend hoher Verzögerung und/oder Totzeit) werden wir es mit einem parameterstabilen System zu tun haben. Liegt die stabile Auslegung eines solchen Regelkreises zu nahe an der Stabilitätsgrenze (Stabilitätskarte), ist beim Einregeln nach einer aufgetretenen Störung eine nur schwach gedämpfte Schwingung zu erwarten (Bild 141). Die bereits durch die Stabilitätsgrenze eingeschränkte Einstellmöglichkeit der Regler-Parameter muß noch weiter eingeschränkt werden, um ein übermäßiges Überschwingen bezüglich des sich asymptotisch einstellenden stationären Werts der Regelgröße und eine zu lange Einschwingzeit vermeiden zu können. In jedem Fall sind die Einstellwerte des Reglers so zu wählen, daß ein Abstand zur Stabilitätsgrenze gewahrt ist, der sich etwa durch die Amplitudenreserve nach (4.42) mit AR>1 beschreiben läßt. Allgemeingültige Aussagen zu einem “optimalen” Regelverhalten gibt es nicht, da eine Abhängigkeit nicht nur vom Regelkreis selbst, sondern auch von der jeweiligen Regelaufgabe besteht. Die Reglereinstellung wird somit letztlich von Nebenbedingungen bestimmt. Es kommt ganz darauf an, ob einem möglichst geringen Überschwingen, einer möglichst kurzen Einregelzeit oder gar einem aperiodischen Regelverhalten Priorität eingeräumt wird. Diese Nebenbedingungen sind nicht gleichzeitig erfüllbar. Hier muß jeweils im Hinblick auf die konkrete Regelaufgabe ein Kompromiß gefunden werden.
Jochem Unger

6. Anhang

Zusammenfassung
Die Werkzeuge, die wir etwa zur Beantwortung der Fragen nach dem Zeitverhalten und der Stabilität dynamischer Systeme (Strecken, Regler, Regelkreise) kennengelernt haben, sind mathematische Abbildungen von realen Systemen, die deren gesamte Information beinhalten.
Jochem Unger

7. Übungsaufgaben und Lösungen

Zusammenfassung
Für das skizzierte thermische System mit Selbstregelungseigenschaft gebe man die statischen Kennlinien an, berechne den stationären Zustand (Gleichgewicht) und zeichne das Betriebspunkt-Diagramm.
Jochem Unger

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