Top

Hint

Swipe to navigate through the chapters of this book

Published in:

Read chapter Read first chapter

2015 | OriginalPaper | Chapter

2. Einführung in die Tensorrechnung

Authors : Michael Riemer, Jörg Wauer, Walter Wedig

Published in: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

Lernziele

Die Tensorrechnung ist bei der Entwicklung neuer Materialmodelle, zur Beschreibung (geometrisch) komplizierter Flächentragwerke, aber auch in der Strömungslehre bedeutsames mathematisches Hilfsmittel. Eine Darstellung von Grundbegriffen, wie indizierte Größen und Summationskonvention, einer Vektoralgebra zur Einführung in die allgemeine Tensoralgebra für Tensoren zweiter und höherer Stufe sowie der Vektor- und Tensoranalysis mit Funktionen skalarwertiger Parameter und einer Theorie der Felder ist heute wichtig, um einer modernen Einführung bereits in die lineare Elastizitätstheorie als Anwendung zu folgen. Der Nutzer ist nach Durcharbeiten des Inhaltes des vorliegenden Kapitels in der Lage, alle aktuellen Aufgaben der Tensoralgebra und -analysis mit ihren Anwendungen zu verstehen und durchzuführen.

To get access to this content you need the following product:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 102.000 Bücher
über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Maschinenbau + Werkstoffe
Versicherung + Risiko

Jetzt 90 Tage mit der neuen Mini-Lizenz testen!

inform now

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Maschinenbau + Werkstoffe

Jetzt 90 Tage mit der neuen Mini-Lizenz testen!

inform now

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Versicherung + Risiko

Jetzt 90 Tage mit der neuen Mini-Lizenz testen!

inform now

previous chapter Einführung in die Matrizenrechnung

next chapter Einführung in die Theorie linearer Differenzialgleichungen

Es wird damit deutlich unterschieden zwischen „wirklichen“ Vektoren und Spaltenmatrizen, die in Kap. 1 eingeführt und durch Kleinbuchstaben in Fettdruck gekennzeichnet werden.

Ist eine schiefwinklige (affine) Basis abhängig vom jeweiligen Ort, so spricht man manchmal auch von einer „krummlinigen“ Basis in Anlehnung an das zugrunde liegende Koordinatensystem.

Für den eigentlichen Euklidischen Vektorraum fallen duale und reziproke Basis zusammen.

In der Literatur werden die u ^m manchmal auch als Koeffizienten der Komponenten \(u^{\not m}\vec{e}_{\not m}\) oder oft sogar als Komponenten des Vektors \(\vec{u}\) bezeichnet.

Eine Metrik prägt einem Raum dadurch eine sog. topologische Struktur auf, dass der Begriff der Umgebung eingeführt wird. Dabei spielt insbesondere die Festlegung von Entfernungen und Abständen eine Rolle. Eigentliches Ziel ist es, Konvergenz von Folgen erklären zu können.

Die spezielle Berechnung (2.17) lässt sich auch für allgemeine Koordinaten angeben; man erhält mit (2.16) über (2.27) das Ergebnis (2.28). Wegen (2.7) folgt aus (2.28) sofort der Spezialfall (2.17) für kartesische Koordinaten \(u_{\alpha}=u^{\alpha},v_{\alpha}=v^{\alpha}\).

Die Koordinaten u _i und u ⁱ sind also nicht voneinander unabhängig; sie werden deshalb auch als assoziierte Koordinaten des Vektors \(\vec{u}\) bezeichnet.

Der Name rührt daher, dass man den Betrag des Spatprodukts als Volumen der durch die Basisvektoren \(\vec{e}_{i},\;\,\vec{e}_{k}\) und \(\vec{e}_{m}\) aufgespannten Parallelepipeds (Spats) interpretieren kann.

In der Literatur werden über \(\det\,(g_{ik})e_{ikl}=\varepsilon_{ikl}\) bzw. \(\det\,(g^{ik})e^{ikl}=\varepsilon^{ikl}\) anstelle der \(\varepsilon_{ikl}\) bzw. \(\varepsilon^{ikl}\) auch normierte Permutationssymbole e _ikl bzw. \(e^{ikl}\) benutzt.

Dies ist der entscheidende Unterschied zu einer sog. Punkttransformation oder Abbildung. Dort wird das Koordinatensystem beibehalten, aber das „Objekt“ geändert (also z. B. der Vektor \(\vec{u}\,\) in einen anderen Vektor \(\vec{v}\) „abgebildet“.

Ein Tensor (2. Stufe) wird manchmal auch als „Dyade“ bezeichnet.

Man bezeichnet diesen tensoriellen Produktraum mit \(\mathcal{E}^{3}\otimes\mathcal{E}^{3}\) . Er ist neun-dimensional und wird von den tensoriellen Produkten \(\vec{e}_{i}\otimes\vec{e}_{k}\) der Basis \(\vec{e}_{i}\) „aufgespannt“.

Wäre \(\vec{\vec{\;\delta}}\) ein Tensor, würde gemäß Gl. (2.61 ) nämlich \(\delta^{ik}=g^{kl}\delta^{i}_{l}\) gelten. Mit der „Ausblend“-Eigenschaft würde daraus \(\delta^{ik}\equiv g^{ki}\) folgen. Dies kann jedoch nicht sein, da i. Allg. \(g^{ki}\not=1\) oder \(\not=0\) ist. Also nicht \(\delta^{ik}\) ist der Tensor, sondern \(g^{ik}\) bzw. \(g_{ik},\,g^{i}_{k}\), und nur in der gemischtvarianten Darstellung gilt \(g^{i}_{k}\equiv\delta^{i}_{k}\).

Im Rahmen einer linearen Theorie, wie sie hier verfolgt wird, macht es keinen Unterschied, ob man vom Piola-Kirchhoffschen (2. Art) oder vom Cauchyschen Spannungstensor [s. auch Abschn. 4.2.2, Gl. (4.103) ff.] spricht.

Im vorliegenden Buch wird insbesondere in Kap. 3 davon Gebrauch gemacht.

Die zugehörige kontravariante Basis \({\vec{e}}^{\;i}\) wird mit Hilfe der Orthogonalitätsrelation (2.11) eingeführt. Eine zu (2.121) analoge Definition kontravarianter Basisvektoren \({\vec{e}}^{\;i}=\frac{\partial\vec{x}}{\partial\xi_{i}}\) ist nicht sinnvoll, weil sie i. Allg. nicht mit (2.11) verträglich ist.

In der Ebene sind die beiden „Koordinatenlinien“ in P die Kurven \(\xi^{1}=\text{const}\) und \(\xi^{2}=\text{const}\). Im Raum sind die drei „Koordinatenlinien“ in P Schnittkurven der (paarweise geschnittenen) „Koordinatenflächen“ \(\xi^{1}=\text{const}\), \(\xi^{2}=\text{const}\) und \(\xi^{3}=\text{const}\).

Die Darstellung des Ortsvektors in krummlinigen Koordinaten ist also \(\vec{x}=x^{\alpha}\vec{e}_{\alpha}=x_{\alpha}a_{\alpha}^{\cdot i}\vec{e}_{i}\). Mit (2.42 )\({}_{1}\) wird man auf \(\vec{x}=x^{i}\vec{e}_{i}\) geführt und nicht etwa auf \(\vec{x}=\xi^{i}\vec{e}_{i}\). D. h. in krummlinigen Koordinaten sind die Koordinaten eines Punktes \(P(\xi^{1}|\xi^{2}|\xi^{3})\) nicht identisch mit den Koordinaten \(x^{1},x^{2},x^{3}\) des Ortsvektors \(\vec{x}=x^{i}\vec{e}_{i}\).

Die gleichzeitige Definition einer kontravarianten Ableitung analog zu (2.136) und (2.137) ist nicht sinnvoll, weil die so entstehenden „Tensorkoordinaten“ \((\,)^{|k}\) i. Allg. nicht mit der mittels des Metriktensors \(g^{lk}\) „gezogenen“ kovarianten Ableitung \((\,)_{|l}g^{lk}\equiv(\,)^{|k}\) übereinstimmen.

Viele Autoren verwenden diese Bezeichnungen für die wirklichen Winkeländerungen \(\gamma_{xy}=\varepsilon_{xy}/2,\;\gamma_{xz}=\varepsilon_{xz}/2\) und \(\gamma_{yz}=\varepsilon_{yz}/2\) .

Auf die Thematik dieses Kapitels wird übrigens im Rahmen analytischer Methoden der Mechanik (s. Abschn. 4.2.2) nochmals und hinsichtlich einiger Details sogar ausführlicher eingegangen.

de Boer, R.: Vektor- und Tensorrechnung für Ingenieure. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (1982)

Duschek, A., Hochrainer, A.: Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung. Bd. 3. Springer, Wien (1955)

Duschek, A., Hochrainer, A.: Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung. Bd. 1, 4. Aufl. Springer, Wien (1960)

Duschek, A., Hochrainer, A.: Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung. Bd. 2, 2. Aufl. Springer, Wien (1961)

Ericksen, J.L.: Tensor fields. In: Flügge, S. (Hrsg.) Handbuch der Physik III/1. Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg (1960)

Flügge, W.: Tensor Analysis and Continuum Mechanics. Springer, New York (1972)

Green, A.E., Zerna, W.: Theoretical Elasticity. Clarendon Press, 2nd Ed., Oxford (1968)

Klingbeil, E.: Tensorrechnung für Ingenieure. Bibl. Inst., Mannheim (1966)

Michal, A.D.: Matrix and Tensor Calculus. John Wiley & Sons, New York/London (1947)

10.

Riemer, M.: Technische Kontinuumsmechanik. B.I.-Wiss.-Verlag, Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich (1993)

11.

Schultz-Piszachich, W.: Tensoralgebra und -analysis. Harry Deutsch, Thun/Frankfurt (1979)

12.

Sokolnikoff, I.S.: Tensor Analysis. John Wiley & Sons, New York (1951)

Title: Einführung in die Tensorrechnung
Authors: Michael Riemer
Jörg Wauer
Walter Wedig
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
Book: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik
Print ISBN: 978-3-658-07534-7

Electronic ISBN: 978-3-658-07535-4

Copyright Year: 2015
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-07535-4_2

Springer Professional

Hint

Swipe to navigate through the chapters of this book

Lernziele

Please log in to get access to this content

To get access to this content you need the following product:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Springer Professional "Technik"

Springer Professional "Wirtschaft"

Premium Partners