Einige Anwendungen der Homologietheorie

Als erste Anwendung beweisen wir den Satz 1.1.17 von der Invarianz der Dimension; der damalige Beweis ist ja unvollständig, da wir den unbewiesenen Satz von der Invarianz des Gebiets vorausgesetzt hatten. Zu zeigen ist, daß für m ≠ n sowohl Sm ≉ Sn als auch Rm ≉ Rn gilt (zur Aussage Dm ≉ Dn siehe 11.2.5). Für m = 0 ist beides trivial. Sei m ’ 0. Dann ist H_m(Sm) ≅ Z und H _m (Sn) = 0, also sind Sm und Sn nicht homöomorph (sie haben sogar verschiedenen Homotopietyp). Aus Rm ≈ Rn folgt durch Übergang zu den Einpunktkompaktifizierungen Sm ≈ Sn, also m = n. Wer diese Konstruktion nicht benutzen will, kann auch so argumentieren: Aus Rm ≈ Rn folgt Rm\0 ≈ Rn\0, daraus Sm-1 ≃ Sn-1 und somit m = n.